賀景瑞，李小將，萬 敏

(航天工程大學(xué) 宇航科學(xué)與技術(shù)系，北京 101416)

電磁軌道發(fā)射器是一種利用電能取代傳統(tǒng)化學(xué)能的新型發(fā)射器，在導(dǎo)彈防御、艦載火炮和導(dǎo)彈彈射等方面具有應(yīng)用潛力[1-4]。當(dāng)前，美國海軍的電磁軌道發(fā)射技術(shù)正逐漸從實(shí)驗(yàn)室走向軍事化應(yīng)用[5]，其測試的電磁軌道發(fā)射器能推動(dòng)炮彈以2 km/s以上的速度射出，并且擊穿160 km以外的混凝土。美國海軍將在此基礎(chǔ)上推進(jìn)發(fā)射速率為10發(fā)/min的長壽命發(fā)射器的研制工作。我國對(duì)電磁軌道發(fā)射器的研究仍處于關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段[6]。

為準(zhǔn)確模擬電磁軌道發(fā)射器的電磁過程并預(yù)測其性能，研究人員在數(shù)值模擬方面進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[7-9]采用矢量磁位和標(biāo)量電位描述的電磁場擴(kuò)散方程建立了三維瞬態(tài)電磁場計(jì)算模型，利用有限元/邊界元耦合方法進(jìn)行求解，計(jì)算了電樞運(yùn)動(dòng)過程、電磁場和溫度。文獻(xiàn)[10]基于磁擴(kuò)散方程、安倍定律和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過有限元計(jì)算求得考察點(diǎn)磁場和電場特性。文獻(xiàn)[11-16]以磁通密度Bz為自變量，建立了軌道和電樞內(nèi)的二維磁擴(kuò)散模型。文獻(xiàn)[17-19]基于觸發(fā)策略自動(dòng)計(jì)算方法，建立了電磁軌道發(fā)射器電路模型，能夠求解電樞的運(yùn)動(dòng)過程。

筆者考慮摩擦力、空氣阻力的影響，基于磁擴(kuò)散方程、熱傳導(dǎo)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立電磁軌道發(fā)射器的計(jì)算模型。針對(duì)矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和增強(qiáng)型發(fā)射器進(jìn)行數(shù)值模擬，分析其電磁場、溫度場和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。結(jié)合電磁發(fā)射試驗(yàn)中的測量數(shù)據(jù)，對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 電磁軌道發(fā)射器控制方程

1.1 電磁場控制方程

根據(jù)麥克斯韋方程結(jié)合歐姆定律及本構(gòu)方程，得磁場擴(kuò)散方程[20]:

(1)

式中：B為磁通密度；μ為材料磁導(dǎo)率；σ為電導(dǎo)率；v為電樞相對(duì)軌道的運(yùn)動(dòng)速度；t為時(shí)間。

為簡化計(jì)算，采用固定電樞，軌道相對(duì)電樞運(yùn)動(dòng)的方式進(jìn)行等效替換，軌道速度為負(fù)值。將式(1)簡化為二維磁擴(kuò)散方程，推得軌道中的磁擴(kuò)散方程為

(2)

電樞中的磁擴(kuò)散方程為

(3)

電磁軌道發(fā)射器的二維求解模型如圖1所示。

電磁場邊界條件設(shè)置如下。

1.1.1 第1種邊界條件

電樞后端邊界S5，軌道內(nèi)側(cè)邊界S4、S7設(shè)為Dirichlet邊界條件，具體表達(dá)式根據(jù)發(fā)射器結(jié)構(gòu)不同而不同，確定邊界條件如下。

1.1.1.1 矩形電樞普通發(fā)射器

根據(jù)磁場疊加原理對(duì)軌道進(jìn)行分析，軌道內(nèi)側(cè)磁通密度由軌道內(nèi)電流產(chǎn)生的磁通密度和另一軌道在其表面激發(fā)的磁通密度兩部分組成。因此，軌道內(nèi)表面的磁通密度BPR可表示為

(4)

式中：I為電流；h為軌道高度；r為軌道間距；w為軌道寬度。

根據(jù)安培環(huán)路定律，通過電樞的電流產(chǎn)生的磁通密度為

(5)

式中，la為矩形電樞長度。

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，軌道在電樞上激發(fā)的磁通密度為

(6)

因此，普通型電磁軌道發(fā)射器電樞后部磁通密度為

BPA=BPA00+BPAR0.

(7)

1.1.1.2 C形電樞普通發(fā)射器

C形電樞頭部后側(cè)磁通密度由流過電樞和流過軌道的電流共同產(chǎn)生。C形電樞頭部后表面的磁通密度可表示為

(8)

式中：ha為電樞高度；ra為電樞頭部半徑。

1.1.1.3 C形電樞增強(qiáng)型發(fā)射器

增強(qiáng)型電磁軌道發(fā)射器采用在主軌道外側(cè)串聯(lián)一對(duì)副軌道的方式來增強(qiáng)磁場，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

增強(qiáng)型電磁軌道發(fā)射器軌道內(nèi)表面的磁通密度由流過軌道電流產(chǎn)生的磁通密度和其他軌道產(chǎn)生的磁通密度疊加而成，表示為

(9)

電樞頭部后側(cè)表面的磁通密度由電樞電流產(chǎn)生的磁通密度和軌道產(chǎn)生的磁通密度疊加而成，表示為

(10)

1.1.2 第2種邊界條件

電樞前端邊界S6，軌道前端邊界S3、S9、S11、S12和軌道外側(cè)邊界S2、S10設(shè)為Dirichlet邊界條件B=0.

1.1.3 第3種邊界條件

根據(jù)磁擴(kuò)散方程得到發(fā)射器內(nèi)每一點(diǎn)的磁通密度后，可由安培定律推得發(fā)射器內(nèi)電流密度表達(dá)式：

(11)

1.2 溫度場控制方程

發(fā)射過程中發(fā)射器產(chǎn)生的焦耳熱可表示為

(12)

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程結(jié)合式(12)，得發(fā)射器二維熱傳導(dǎo)方程：

(13)

式中：T為溫度；ρ為材料密度；cp為材料比熱容；k為材料熱導(dǎo)率。

溫度場中求解域的邊界條件為：

2)初始時(shí)刻T(x,y)|t=0=300 K.

1.3 電樞運(yùn)動(dòng)方程

電樞在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸向受到電磁推力F作用向前運(yùn)動(dòng)，電樞向前運(yùn)動(dòng)的同時(shí)壓縮前方空氣，受到滑動(dòng)摩擦力fd和空氣阻力fk.

電樞受到的電磁推力由洛倫茲力公式計(jì)算：

(14)

式中：S為積分面積；dτ為微小面積元素。

電樞受到的空氣阻力為

fk=1.1ρa(bǔ)Av2,

(15)

式中：ρa(bǔ)為電樞前空氣的初始密度；A為電樞的橫截面積；v為電樞運(yùn)動(dòng)速度。

電樞與軌道的摩擦力為

fd=μdFN，

(16)

式中：μd為摩擦系數(shù)；FN為電樞與軌道的接觸壓力。

樞軌接觸面的的磨損會(huì)使電樞過盈壓力下降，但是電樞溫升帶來的膨脹，抵消了磨損造成的尺寸變化?？山普J(rèn)為電樞運(yùn)動(dòng)過程中過盈壓力保持不變，并且忽略溫度影響。因此，接觸壓力可由兩部分表示：一是裝入電樞時(shí)產(chǎn)生的過盈壓力；另一部分是作用在電樞的電磁力帶來的電樞形變與軌道間產(chǎn)生的壓力。接觸壓力近似表示為

FN=F0+Fm，

(17)

式中：F0為電樞過盈壓力；Fm為作用在電樞上的電磁力引起的形變帶來的縱向壓力。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)室測量，電樞過盈壓力F0取值100 N。Fm采用COMSOL Multiphysics中的固體力學(xué)模塊求解。

發(fā)射器設(shè)為線彈性材料，位移場和速度場初始值設(shè)為0。在電樞兩側(cè)尾翼分別施加體載荷條件，體載荷大小為電磁場控制方程求解出的電樞電磁力垂直運(yùn)動(dòng)方向分力在該時(shí)刻的數(shù)值。軌道外表面設(shè)為固定約束，其他表面設(shè)為自由條件。

由牛頓第二定律得電樞加速度、速度和位移方程：

(18)

式中：a為電樞加速度；x為電樞位置。

2 電磁軌道發(fā)射器數(shù)值模擬

2.1 仿真計(jì)算模型

2.1.1 脈沖電源模型

脈沖電源模型采用Simulink中的Simscape模塊建立，如圖3所示。

圖3中，C1為儲(chǔ)能電容，D1為續(xù)流二極管，D2為反向截止二極管，R1為除軌道外的電路總電阻，L1為除軌道外的電路總電感，R2為軌道電阻，L2為軌道電感。為便于計(jì)算，固定軌道電阻和電感，不隨電樞運(yùn)動(dòng)改變。儲(chǔ)能電容設(shè)為8 mF，輸出電流曲線如圖4所示。

2.1.2 電磁場和溫度場有限元模型

在COMSOL Multiphysics中分別建立矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和C形電樞增強(qiáng)發(fā)射器的幾何模型,如圖5所示。

軌道長度為1 000 mm，寬度為7 mm，高度為20 mm，軌道材料采用銅。矩形電樞長度為110 mm，寬度為20 mm，高度為20 mm。C形電樞結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖6所示，圖中單位為毫米。所有電樞材料均采用鋁。

采用COMSOL Multiphysics中的偏微分方程模塊求解電磁場和溫度場控制方程。按照電磁軌道發(fā)射器控制方程一節(jié)中給出的域方程和邊界條件設(shè)置偏微分方程求解模塊。網(wǎng)格劃分采用自由剖分三角形網(wǎng)格。

2.1.3 模型求解流程

仿真計(jì)算模型使用MATLAB作為腳本編寫工具設(shè)置和求解COMSOL Multiphysics有限元程序，將電磁軌道發(fā)射中的電路模型、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、電磁場模型、傳熱學(xué)模型集成起來，分析軌道炮發(fā)射過程中的場分布與電樞運(yùn)動(dòng)規(guī)律。仿真模型求解思路如圖7所示。

仿真過程中，設(shè)置各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真計(jì)算參數(shù)

2.2 仿真計(jì)算

將軌道內(nèi)側(cè)的磁通密度和電樞后部磁通密度作為邊界條件,輸入電磁軌道發(fā)射器控制方程并進(jìn)行求解，得到發(fā)射器的電磁場、溫度場和電樞速度計(jì)算結(jié)果。

2.2.1 電磁場計(jì)算

圖8為1 ms時(shí)刻矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和增強(qiáng)型發(fā)射器的電磁場分布圖。

從圖8中可以看出，在發(fā)射過程中，發(fā)射器內(nèi)產(chǎn)生速度趨膚效應(yīng)，即速度引起了磁通密度和電流在電樞和軌道接觸面后部集中的現(xiàn)象。在使用相同脈沖電源的條件下，1 ms時(shí)刻，矩形電樞上的最大磁通密度為2.56 T，C形電樞上的最大磁通密度為3.51 T.采用C形電樞后發(fā)射器的磁通密度提升了37%.在采用C形電樞的條件下，增強(qiáng)型軌道發(fā)射器的最大磁通密度為4.08 T，相比普通型發(fā)射器磁通密度提升了16%.

圖9為1 ms時(shí)刻矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和增強(qiáng)型發(fā)射器的電流密度分布圖。圖9中，矩形電樞普通發(fā)射器的最大電流密度為1.81×109A/m2，C形電樞普通發(fā)射器的最大電流密度為1.46×109A/m2.采用C形電樞能夠明顯降低發(fā)射器的最大電流密度。增強(qiáng)型發(fā)射器的最大電流密度為2.52×109A/m2，高于普通型發(fā)射器。這是因?yàn)樵? ms時(shí)，增強(qiáng)型發(fā)射器的速度為177.52 m/s，速度趨膚效應(yīng)強(qiáng)于普通型發(fā)射器。

2.2.2 溫度場計(jì)算

在電磁發(fā)射過程中，發(fā)射器會(huì)產(chǎn)生大量的熱能，導(dǎo)致發(fā)射器溫度瞬間升高。過高的溫度會(huì)引發(fā)發(fā)射器損傷，進(jìn)而影響發(fā)射效能。因此，有必要對(duì)不同類型發(fā)射器的溫度變化進(jìn)行分析。

圖10為矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和C形電樞增強(qiáng)型發(fā)射器電樞出口時(shí)刻的溫度分布圖。矩形電樞普通發(fā)射器的高溫區(qū)域出現(xiàn)在樞軌接觸面尾部及其附近區(qū)域，最高溫度為335.7 K;C形電樞普通發(fā)射器的高溫區(qū)域?yàn)闃熊壗佑|面附近和電樞喉部，最高溫度為333.4 K;增強(qiáng)型發(fā)射器的高溫區(qū)域?yàn)闃熊壗佑|面后方、電樞尾翼和電樞喉部，最高溫度出現(xiàn)在樞軌接觸面后方，為346.9 K.

2.2.3 電樞速度計(jì)算

圖11為矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和C形電樞增強(qiáng)型發(fā)射器電樞速度曲線。矩形電樞普通發(fā)射器的出口速度為216.9 m/s；C形電樞普通發(fā)射器的出口速度為310.7 m/s；C形電樞增強(qiáng)型發(fā)射器的出口速度為444.9 m/s.

電磁軌道發(fā)射器系統(tǒng)效率可表示為：

(19)

式中：Ek為電樞出口動(dòng)能；E0為系統(tǒng)初始儲(chǔ)能。

系統(tǒng)初始儲(chǔ)能為

(20)

式中：C為電容值；U為電容器初始電壓。

通過計(jì)算得到矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和C形電樞增強(qiáng)型發(fā)射器的系統(tǒng)效率分別為5%、11%和24%.

3 電磁軌道發(fā)射器發(fā)射試驗(yàn)

采用增強(qiáng)型電磁軌道發(fā)射器進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)。發(fā)射器管身口徑為20 mm×20 mm.軌道材料采用H62黃銅，軌道尺寸為1 000 mm×40 mm×7 mm.發(fā)射電流由電容儲(chǔ)能型脈沖電源產(chǎn)生，發(fā)射試驗(yàn)參數(shù)如表2所示。

表2 發(fā)射試驗(yàn)參數(shù)

選擇利用高速相機(jī)對(duì)電樞的出口速度進(jìn)行測量，結(jié)果如圖12所示。圖12(a)為電樞運(yùn)動(dòng)軌跡圖，測得電樞出口速度為343.23 m/s；圖12(b)為電樞速度的數(shù)值模擬結(jié)果。電樞出口速度數(shù)值模擬結(jié)果為335.3 m/s，與試驗(yàn)結(jié)果的偏差為2.3%.數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)測量結(jié)果相近，驗(yàn)證了本文所建模型的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)束語

筆者建立了基于磁擴(kuò)散方程、熱傳導(dǎo)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的電磁軌道發(fā)射器計(jì)算模型。根據(jù)安培環(huán)路定律和畢奧-薩伐爾定律確定了矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和增強(qiáng)型發(fā)射器的控制方程邊界條件B，并對(duì)矩形電樞普通發(fā)射器、C形電樞普通發(fā)射器和增強(qiáng)型發(fā)射器進(jìn)行數(shù)值模擬，得到磁場分布、電流密度分布、溫度分布和電樞速度曲線。計(jì)算結(jié)果表明，C形電樞相比矩形電樞能夠提升磁通密度和出口速度，并降低電流密度和溫度。增強(qiáng)型發(fā)射器相比普通發(fā)射器能夠提升磁通密度和出口速度，但其電流密度和溫度因速度趨膚效應(yīng)影響而上升。

在電磁發(fā)射試驗(yàn)中，采用增強(qiáng)型電磁軌道發(fā)射器進(jìn)行了發(fā)射試驗(yàn)。利用高速相機(jī)測得電樞出口速度，數(shù)值模擬和發(fā)射試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，偏差為2.3%，驗(yàn)證了本文計(jì)算模型的準(zhǔn)確性。