葉銘 李暉 童強(qiáng) 張瑞清

摘 ?要： 極化碼是未來(lái)5G通信中的控制信道編碼方案。針對(duì)碼長(zhǎng)類型不同的極化碼之間的碼長(zhǎng)不等性和距離譜性能分析的不確定性等難點(diǎn)問(wèn)題，提出一種基于碼長(zhǎng)近似度的極化碼性能分析方法。該方法能根據(jù)碼長(zhǎng)近似度直接評(píng)估基于2×2核矩陣[G2]和[l×l]多維核矩陣[Gl]的極化碼的性能。實(shí)際情況和仿真結(jié)果都表明：基于2×2核矩陣[G2]的極化碼比基于3×3核矩陣[G3]的極化碼具有更好的誤比特率和誤幀率性能;碼長(zhǎng)近似度越大，所提方法極化碼性能分析的精度越高。

關(guān)鍵詞： 極化碼; 碼長(zhǎng)近似度; 多維核矩陣; 距離譜; 信道編碼; 誤碼率; 誤幀率

中圖分類號(hào)： TN919.3+1?34; TN911.7 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2019）11?0024?04

Abstract： Polar codes coding scheme is a kind of channel?controlling coding scheme for future 5G communication. In allusion to the difficulties of the inequality of code lengths between polar codes with different code length types and uncertainty of distance spectrum performance analysis， a performance analysis method of the polar codes is proposed， which is based on code length approximation degree （CLAD）. The performances of polar codes based on 2×2 kernel matrix [G2] and l×l multidimensional kernel matrix [Gl] are evaluated directly according to CLAD. The actual situation and simulation results show that the polar codes based on 2×2 kernel matrix [G2] have higher performances in the aspects of bit error rate （BER） and frame error rate （FER） than polar codes based on 3×3 kernel matrix [G3]. The experimental results demonstrate that the greater the code length approximation degree is， the higher the analysis accuracy of the polar codes performance is.

Keywords： polar code; code length approximation degree; multidimensional kernel matrix; distance spectrum; channel coding; bit error rate; frame error rate

0 ?引 ?言

信道編碼方案中的極化碼是5G通信領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。最初介紹的極化碼是非系統(tǒng)極化碼（Non?Systematic Polar Codes，NSPCs）[1]。它是一種具有編譯碼復(fù)雜度低、可達(dá)二進(jìn)制離散無(wú)記憶信道對(duì)稱容量的編碼構(gòu)造方法。這類極化碼的生成矩陣是基于2×2極化核矩陣的。當(dāng)碼長(zhǎng)[N]足夠大，且[β<][12]時(shí)，對(duì)于任意二進(jìn)制輸入離散無(wú)記憶信道[W]且其對(duì)稱容量[I（W）]小于碼率[R]，極化編碼在串行抵消（Successive Cancellation，SC）譯碼下的譯碼誤塊率[peN，R=o（2-Nβ）]，即[G2]有指數(shù)[2][12]。當(dāng)核矩陣足夠大時(shí)，該指數(shù)可任意逼近1，且越接近1極化碼的性能越好[3]。因此，研究基于[l×l]核矩陣[Gl]構(gòu)造的極化碼（[l≥3]的核矩陣為多維核矩陣）具有重要意義。

碼長(zhǎng)類型為[Nl=ln]的（[l≥3]）極化碼的合理性已被證明[3]，這類極化碼的構(gòu)造方法也被提出。因此，碼長(zhǎng)類型為[N2=2n]形式的限制被打破，極化碼的碼長(zhǎng)更加靈活。然而，碼長(zhǎng)類型不同的極化碼由于碼長(zhǎng)的不等性，給其性能分析帶來(lái)很大的困難。與極化核矩陣[G2]只有一種形式所不同的是，多維極化核矩陣在形式方面擁有更多的選擇，在編碼構(gòu)造上復(fù)雜度更大的同時(shí)也更加靈活。相應(yīng)地，基于[l×l]多維核矩陣的極化碼相比基于2×2核矩陣的極化碼更加復(fù)雜，前者的編碼構(gòu)造和碼長(zhǎng)類型也不同于后者。

對(duì)于多維核矩陣構(gòu)造的極化碼，本文僅考慮基于3×3核矩陣的極化碼的分析。距離譜可以用來(lái)分析極化碼的性能趨勢(shì)，但卻不能用來(lái)具體地分析多維核矩陣構(gòu)造的極化碼的性能[2，4]。因?yàn)楦鶕?jù)距離譜得到的只是極化碼性能的模糊上界。針對(duì)這些問(wèn)題，本文提出一種可以直接分析碼長(zhǎng)類型不同的極化碼之間的性能方法。仿真結(jié)果表明，碼長(zhǎng)近似度越大，該方法極化碼性能分析的精度越高。上述方法對(duì)極化碼性能的評(píng)估與優(yōu)化有重要的借鑒意義和理論價(jià)值。

1 ?基于3×3核矩陣的極化碼

對(duì)于二進(jìn)制刪除信道（Binary Erasure Channel，BEC），基于3×3多維核矩陣[G3]的極化碼的信道[W（i）N]的可靠性可由下式計(jì)算得到[2]：

信道[W（i）N]的可靠性也可通過(guò)密度進(jìn)化或高斯近似的方法計(jì)算[5?6]。 基于2×2核矩陣[G2]的極化碼只有一種核矩陣形式，即[G2=1011]，而多維核矩陣[Gl]隨著[l]的增大而擁有更多的形式，碼長(zhǎng)類型為[Nl=ln]的極化碼在編碼構(gòu)造上更靈活，同時(shí)也更難找出一個(gè)更好的核矩陣形式。例如，碼長(zhǎng)類型為[N3=3n]的極化碼的核矩陣[G3]就有[24=16]種可能形式，而不同的多維核矩陣形式[G3]滿足信道極化條件的也只有四種[7]。

由不同的多維核矩陣形式構(gòu)造的極化碼，其性能存在一定的差異。在本文中，不同的多維核矩陣形式[G3]中最好的形式為[G3]427，碼長(zhǎng)類型為[N3=3n]的極化碼是基于多維核矩陣[G3]427構(gòu)造的。

2 ?性能評(píng)估方法

這里提出一種新方法以分析基于2×2核矩陣和[l×l]多維核矩陣[Gl]的極化碼之間的性能。

如果要分析碼長(zhǎng)類型不同的極化碼，即碼長(zhǎng)類型為[Nl=ln]（[l≥2，n≥1]），那么應(yīng)先設(shè)定一個(gè)碼長(zhǎng)閾值[Nf]和碼長(zhǎng)近似度閾值[fN]，即核矩陣[Gl（l≥2）]構(gòu)造的極化碼，約定其碼長(zhǎng)不能超過(guò)[Nf]且碼長(zhǎng)近似度[f≥fN]。碼長(zhǎng)近似度[f]為碼長(zhǎng)類型不同的極化碼中小的碼長(zhǎng)數(shù)值與較大的碼長(zhǎng)數(shù)值兩者之間的比值。一般選用碼長(zhǎng)數(shù)值相近的兩個(gè)值求碼長(zhǎng)近似度[f]，進(jìn)而求得數(shù)值較大的[f]。規(guī)定碼長(zhǎng)近似度[f≤]1。任意一種碼長(zhǎng)類型的極化碼都可以作為一個(gè)模板，選其中的一種碼長(zhǎng)類型的極化碼作為模板。對(duì)于要分析的碼長(zhǎng)類型的極化碼與模板，將其碼長(zhǎng)數(shù)值作比較以求碼長(zhǎng)近似度[f]，再逐一選擇其中碼長(zhǎng)近似度符合要求的碼長(zhǎng)數(shù)值組。最后，將選擇的碼長(zhǎng)數(shù)值組視為碼長(zhǎng)相等來(lái)直接分析并判定碼長(zhǎng)類型不同的極化碼之間的性能優(yōu)劣。

上述方法被稱為基于碼長(zhǎng)近似度的極化碼性能評(píng)估方法。本方法經(jīng)過(guò)一些處理忽略不同碼長(zhǎng)類型的極化碼在碼長(zhǎng)數(shù)值上的不等性，而直接分析基于核矩陣[G2]和多維核矩陣[Gl]的極化碼的性能，簡(jiǎn)單而有效。一般將碼長(zhǎng)類型為[N2=2n]的極化碼作為模板，因?yàn)槠浯a長(zhǎng)數(shù)值較為靈活，碼長(zhǎng)數(shù)值間的差距最小。

3 ?仿真結(jié)果

假設(shè)要對(duì)碼長(zhǎng)類型分別為[N2=2n]和[N3=3n]（[n≥1]）的極化碼進(jìn)行性能分析和判定。分別設(shè)碼長(zhǎng)閾值[Nf=]3 000，碼長(zhǎng)近似度閾值[f=0.95]。以碼長(zhǎng)類型為[N2=2n]的極化碼為模板，則碼長(zhǎng)近似度如表1所示。事實(shí)上，表1中一些不合理的碼長(zhǎng)數(shù)值已被去掉。

表1 ?碼長(zhǎng)類型分別為[N2=2n]和[N3=3n]的極化碼的碼長(zhǎng)近似度

3.1 ?碼長(zhǎng)近似度[f=0.95]

從表1中可知，碼長(zhǎng)數(shù)值分別為256與243的這組碼長(zhǎng)數(shù)值的碼長(zhǎng)近似度符合要求。那么，可將碼長(zhǎng)[N2=]256視為與碼長(zhǎng)[N3=243]相等，然后直接進(jìn)行這兩種碼長(zhǎng)類型的極化碼的性能分析與判定。這里的仿真實(shí)驗(yàn)是在加性高斯白噪聲信道（Additive White Gaussian Channel，AWGN）下，對(duì)碼率為[12]、碼長(zhǎng)[N]分別為243和256的極化碼進(jìn)行的。調(diào)制方式為二進(jìn)制相移鍵控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）。串行抵消列表（Successive Cancellation List，SCL）譯碼器的列表大小[8?9]設(shè)為32。

根據(jù)上面的方法，這里將碼長(zhǎng)[N2=256]和[N3=243]視為等長(zhǎng)。碼長(zhǎng)[N2=256]和[N3=243]的系統(tǒng)極化碼（Systematic Polar Codes，SPCs）[10]和非系統(tǒng)極化碼的誤碼率的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 ?碼長(zhǎng)[N2=]256和[N3=]243的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼的誤碼率

仿真結(jié)果表明：基于2×2核矩陣[G2]的非系統(tǒng)極化碼在誤碼率性能上比基于3×3多維核矩陣[G3]的非系統(tǒng)極化碼更具有優(yōu)勢(shì);基于2×2核矩陣[G2]的系統(tǒng)極化碼也比基于3×3多維核矩陣[G3]的系統(tǒng)有更好的誤碼率性能。

基于2×2核矩陣[G2]和3×3多維核矩陣[G3]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼的誤幀率的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 ?碼長(zhǎng)[N2]=256和[N3]=243的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼的誤幀率

仿真結(jié)果表明，碼長(zhǎng)類型為[N2=256]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼分別比碼長(zhǎng)類型為[N3=243]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼具有更好的誤幀率性能。

綜上所述，根據(jù)基于CLAD的極化碼性能評(píng)估方法，能夠得出這樣的一個(gè)基本結(jié)論：基于2×2核矩陣[G2]的極化碼比基于3×3多維核矩陣[G3]的極化碼有更好的誤碼率和誤幀率性能。

3.2 ?碼長(zhǎng)近似度[f=0.53]

如表1中所示，當(dāng)[f=0.53]，選取的一組碼長(zhǎng)數(shù)值為[N2=128]與碼長(zhǎng)[N3=243]。那么，將碼長(zhǎng)[N2=128]視為與碼長(zhǎng)[N3=243]相等，然后再直接進(jìn)行這兩種碼長(zhǎng)類型的極化碼之間的性能分析與判定。這里的仿真實(shí)驗(yàn)是在AWGN下，對(duì)碼率為[12]、碼長(zhǎng)[N]分別為243和128的極化碼進(jìn)行的。調(diào)制方式為BPSK。SCL譯碼器的列表大小也設(shè)為32。

這里將碼長(zhǎng)[N2=128]和[N3=243]視為等長(zhǎng)。碼長(zhǎng)[N2=128]和[N3=243]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼的誤碼率的仿真結(jié)果如圖3所示。通過(guò)觀察圖3可知，碼長(zhǎng)類型為[N3=243]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼分別比碼長(zhǎng)類型為[N2=128]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼具有更好的誤碼率性能。由此，也許會(huì)判定基于3×3多維核矩陣[G3]的極化碼比基于2×2核矩陣[G2]的極化碼有更好的誤幀率性能。然而，這種情況與實(shí)際情況是不相符的。

圖3 ?碼長(zhǎng)[N2=128]和[N3=243]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼的誤碼率

圖4 ?碼長(zhǎng)[N2]=128和[N3]=243的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼的誤幀率

仿真結(jié)果表明，碼長(zhǎng)類型為[N2=]128的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼分別比碼長(zhǎng)類型為[N3=243]的系統(tǒng)極化碼和非系統(tǒng)極化碼在誤幀率性能上具有優(yōu)勢(shì)。因而，可以判定基于2×2核矩陣[G2]的極化碼比基于3×3多維核矩陣[G3]的極化碼具有較好的誤幀率性能。

4 ?討 ?論

實(shí)際上，距離譜不能用來(lái)具體地分析極化碼的性能，但根據(jù)距離譜分析得出的性能上界卻能如實(shí)反映出基于2×2核矩陣[G2]和3×3多維核矩陣[G3]的極化碼之間的性能趨勢(shì)[2，4]。當(dāng)[f=]0.95，仿真結(jié)果表明，基于2×2核矩陣[G2]的極化碼比基于3×3多維核矩陣[G3]的極化碼具有較好的誤碼率和誤幀率性能。根據(jù)距離譜的分析，這種情況與實(shí)際情況是一致的。當(dāng)[f=]0.53，仿真結(jié)果表明的卻不是這種情況。至于誤幀率性能，[f=]0.95時(shí)的仿真結(jié)果比[f=]0.53時(shí)的仿真結(jié)果更符合距離譜分析所反映的誤幀率性能趨勢(shì)。

因此，這里可以得出另一個(gè)結(jié)論：碼長(zhǎng)近似度[f]越大，極化碼性能評(píng)估方法的精度越高。碼長(zhǎng)類型為[N5=5n]的極化碼的編譯碼是未來(lái)研究的重要課題，該方法也會(huì)因此得到進(jìn)一步的驗(yàn)證。

5 ?結(jié) ?語(yǔ)

基于多維核矩陣的極化碼的構(gòu)造理論及其應(yīng)用尚待進(jìn)一步的研究。當(dāng)碼長(zhǎng)近似度足夠大時(shí)，從本文提出的性能評(píng)估方法得出的判定結(jié)果與實(shí)際情況相符合。該方法還需要進(jìn)一步的驗(yàn)證，但對(duì)極化碼性能的評(píng)估與優(yōu)化具有重要的借鑒意義和理論價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] ARIKAN E. Channel polarization： a method for constructing capacity achieving codes for symmetric binary?input memoryless channels [J]. IEEE transactions on information theory， 2009， 55（7）： 3051?3073.

[2] LIU Zhenzhen， CHEN Kai， DONG Chao， et al. Performance analysis of polar codes based on 3×3 kernel matrix [C]// Proceedings of 2015 the 10th IEEE International Conference on Communications and Networking in China. Shanghai： IEEE， 2015： 382?386.

[3] KORADA S B， SASOGLU E， URNAKE R. Polar codes： cha?racterization of exponent of exponent， bounds， and construction [J]. IEEE transactions on information theory， 2010， 56（12）： 6253?6264.

[4] LIU Zhenzhen， CHEN Kai， NIU Kai， et al. Distance spectrum analysis of polar codes [C]// Proceedings of 2014 IEEE Wireless Communications and Networking Conference. Istanbul， Turkey： IEEE， 2014： 490?495.

[5] RICHARDSON T， URBANKE R. Modern coding theory [M]. UK： Cambridge University Press， 2008.

[6] MORI R， TANAKA T. Performance of polar codes with the construction using density evolution [J]. IEEE communications letters， 2010， 56（12）： 6253? 6264.

[7] ZHANG Liang， ZHANG Zhaoyang， WANG Xianbin. Polar code with block?length [N=3n] [C]// 2012 International Confe?rence on Wireless Communications and Signal Processing. Huangshan： IEEE， 2012： 1?6.

[8] TAL I， VARDY A. List decoding of polar codes [J]. IEEE transactions on information theory， 2012， 61（5）： 2213?2226.

[9] CHEN Kai， NIU Kai， LIN Jiaru. Improvement successive cancellation decoding of polar codes [J]. IEEE transactions on communications， 2013， 61（8）： 3100?3107.

[10] ARIKAN E. Systematic polar codes [J]. IEEE communications letters， 2011， 15（8）： 860?862.