馮 奇，曲長(zhǎng)文，周 強(qiáng)，郭林鵬

（海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

無(wú)源定位是一種觀(guān)測(cè)設(shè)備自身不輻射信號(hào)，僅通過(guò)接收目標(biāo)電磁信號(hào)來(lái)估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的技術(shù)。相對(duì)于雷達(dá)、聲納等有源探測(cè)技術(shù)，無(wú)源定位系統(tǒng)［1］具有生存能力強(qiáng)、偵察作用距離遠(yuǎn)、能夠有效應(yīng)對(duì)隱身目標(biāo)等優(yōu)點(diǎn)。無(wú)源定位的本質(zhì)就是通過(guò)優(yōu)化求解觀(guān)測(cè)方程獲得目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)［2］。

時(shí)差（Time Difference of Arrival，TDOA）、頻差（Frequence Difference of Arrival，F(xiàn)DOA）與目標(biāo)狀態(tài)的非線(xiàn)性關(guān)系很強(qiáng)，導(dǎo)致其觀(guān)測(cè)方程不能直接進(jìn)行偽線(xiàn)性處理［3］，需要借助中間變量。對(duì)此文獻(xiàn)［4］利用球面插值（Spherical Interpolation，SI）法推導(dǎo)了觀(guān)測(cè)方程的偽線(xiàn)性形式，然后利用線(xiàn)性最小二乘（Least Squares，LS）估計(jì)目標(biāo)位置。文獻(xiàn)［5-6］改進(jìn)了SI法，考慮了偽線(xiàn)性方程中誤差項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)特性及目標(biāo)狀態(tài)與中間變量之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上提出了兩步加權(quán)最小二乘（Two-Stage Weighted Least-Squares，TS-WLS）算法。文獻(xiàn)［7］進(jìn)一步將此類(lèi)偽線(xiàn)性定位方法抽象歸納，提出一種基于加權(quán)最小二乘（Weighted Least-Squares，WLS）的定位理論模型。但是由于WLS運(yùn)算中回歸量以及回歸附屬量之間的誤差相關(guān)性導(dǎo)致此類(lèi)WLS算法的狀態(tài)估計(jì)是有偏的［8］。

針對(duì)WLS估計(jì)有偏的問(wèn)題，文獻(xiàn)［9］中討論了基于CWLS的無(wú)源定位閉式解算理論框架。本文將該理論框架應(yīng)用于TDOA/FDOA無(wú)源定位場(chǎng)景，在TS-WLS基礎(chǔ)上提出一種基于CWLS的TDOA/FDOA無(wú)源定位閉式解算方法。通過(guò)理論分析證明了本文算法在保持了TS-WLS算法定位精度基礎(chǔ)上，有效減小了目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)偏差。

1 定位模型

不失一般性，考慮多運(yùn)動(dòng)觀(guān)測(cè)站對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的TDOA/FDOA無(wú)源定位場(chǎng)景。顯然，TDOA定位就是該場(chǎng)景中觀(guān)測(cè)站與目標(biāo)速度為零的情況下的一個(gè)特例，因此，本文結(jié)論完全適用于TDOA無(wú)源定位算法。

2 CWLS定位算法

本文算法在TS-WLS算法框架基礎(chǔ)上改進(jìn)，第1步中使用CWLS算法代替WLS算法，在保持WLS算法定位精度的基礎(chǔ)上，有效減小估計(jì)偏差，下面給出基于CWLS的定位模型。

第1步：TDOA/FDOA無(wú)源定位體制的觀(guān)測(cè)方程借助中間變量進(jìn)行偽線(xiàn)性化處理得

式（7）中，0m×1表示m行的零向量。WLS算法通過(guò)選擇使下式最小化的t作為估計(jì)值

同上，將向量h1表示為確定矩陣與噪聲向量乘積的形式，可得

將式（11）帶入式（10）得

其中，誤差項(xiàng)ΔD是零均值的，因此，對(duì)式（12）兩邊求均值得

將式（18）代入式（17）得

估計(jì)誤差可以表示為

至此，第1步結(jié)束，第2步與TS-WLS算法完全相同。綜上，所提基于CWLS的閉式解保持了與TS-WLS算法相同的定位精度。文獻(xiàn)［5］給出了TS-WLS目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)MSE的具體表達(dá)式，且證明了其漸近有效性，本文不再贅述。

下面根據(jù)前面的推導(dǎo)及分析給出算法的實(shí)現(xiàn)步驟：

1）借助中間變量對(duì)TDOA/FDOA無(wú)源定位方程進(jìn)行偽線(xiàn)性化處理，構(gòu)造擴(kuò)維系數(shù)矩陣D。

2）將擴(kuò)維系數(shù)矩陣D每一列表示為系數(shù)矩陣與誤差向量乘積形式，如式（11）所示。

3）令權(quán)重矩陣W1=Qα，計(jì)算得到矩陣和 E［G］。對(duì)矩陣束進(jìn)行廣義特征值分解，選取最小特征值min對(duì)應(yīng)的特征向量作為選擇向量，則目標(biāo)狀態(tài)向量估計(jì)值。

4）利用步驟3）中目標(biāo)狀態(tài)粗估計(jì)值，求得精確的權(quán)重矩陣W1。重復(fù)步驟3）得目標(biāo)狀態(tài)精估計(jì)值，第1步結(jié)束。

5）第2步與TS-WLS算法相同，進(jìn)一步提高定位精度。

需要說(shuō)明的是，TS-WLS算法第2步中系數(shù)矩陣G2為常系數(shù)矩陣，不能將每一列表示為系數(shù)矩陣與誤差向量的乘積形式，因此，無(wú)法應(yīng)用本文算法優(yōu)化。

3 算法分析

綜合式（23）、式（24）可得

同理，可得

由式（17）可得，本文算法閉式解是通過(guò)對(duì)WLS估計(jì)值進(jìn)行雙邊補(bǔ)償?shù)玫降摹＞C合式（25）～式（27）可得本文所提閉式解定位偏差小于WLS估計(jì)值偏差，具有減小定位偏差特性。

4 仿真分析

本節(jié)對(duì)TDOA/FDOA無(wú)源定位體制進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，將本文算法與文獻(xiàn)［5］所提TS-WLS算法及CRLB進(jìn)行性能比較。

觀(guān)測(cè)站狀態(tài)參數(shù)真值如表1所示。觀(guān)測(cè)時(shí)刻目標(biāo)位置為（2000m 2500m 3000m），運(yùn)動(dòng)速度為（-20 m/s 15 m/s 40 m/s）。觀(guān)測(cè)站位置測(cè)量誤差方差取。各觀(guān)測(cè)站站址測(cè)量誤差不同，且相互獨(dú)立，觀(guān)測(cè)站的站址誤差協(xié)方差矩陣

式中：diag（·）表示以其中元素為對(duì)角線(xiàn)的對(duì)角矩陣。觀(guān)測(cè)站速度測(cè)量誤差協(xié)方差陣。TDOA、FDOA測(cè)量誤差服從零均值高斯分布，且相互獨(dú)立。

表1 觀(guān)測(cè)站狀態(tài)參數(shù)

4.1 TDOA/FDOA無(wú)源定位

在TDOA/FDOA無(wú)源定位場(chǎng)景中，從定位精度和估計(jì)偏差兩方面，對(duì)本文所提基于CWLS的閉式解與TS-WLS算法進(jìn)行比較。圖1分別給出假定FDOA測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差aFDOA=-30 dB情況下，目標(biāo)位置和速度估計(jì)MSE隨著TDOA測(cè)量誤差的變化曲線(xiàn)；圖2分別給出假定TDOA測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差aTDOA=-30 dB情況下，目標(biāo)位置和速度估計(jì)MSE隨著FDOA測(cè)量誤差的變化曲線(xiàn)。仿真中目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)MSE定義表達(dá)式為

式（28）中，M表示Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)，仿真中取M=2 000。

圖1 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)MSE隨TDOA測(cè)量誤差變化曲線(xiàn)

圖2 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)MSE隨FDOA測(cè)量誤差變化曲線(xiàn)

由圖1可得本文所提基于CWLS算法閉式解基本保持了與TS-WLS算法相同的定位精度，且均能較好地逼近CRLB，符合第2節(jié)對(duì)CWLS閉式解估計(jì)誤差的分析，由圖2可以得到同樣的結(jié)論。值得注意的是，圖1中目標(biāo)速度估計(jì)的CRLB不隨著TDOA的測(cè)量誤差變化而變化，這是因?yàn)門(mén)DOA參數(shù)中不包含目標(biāo)的速度信息而導(dǎo)致的。圖2中目標(biāo)的位置估計(jì)CRLB隨著FDOA的測(cè)量誤差變化而變化，這是因?yàn)镕DOA參數(shù)中既包含了目標(biāo)的速度信息，也包含了目標(biāo)的位置信息。

下面比較TDOA/FDOA無(wú)源定位中本文所提基于CWLS算法閉式解與TS-WLS算法的估計(jì)偏差特性。圖3分別給出假定FDOA測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差aFDOA=-30 dB情況下，目標(biāo)位置和速度估計(jì)偏差隨著TDOA測(cè)量誤差的變化曲線(xiàn)；圖4分別給出假定TDOA測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差aTDOA=-30 dB情況下，目標(biāo)位置和速度估計(jì)偏差隨著FDOA測(cè)量誤差的變化曲線(xiàn)。仿真中目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)偏差［12］定義式為

圖3 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)偏差隨TDOA測(cè)量誤差變化曲線(xiàn)

圖4 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)偏差隨FDOA測(cè)量誤差變化曲線(xiàn)

由圖3可得隨著TDOA測(cè)量誤差變化，本文所提基于CWLS算法閉式解的目標(biāo)位置估計(jì)誤差明顯小于TS-WLS算法，當(dāng)TDOA測(cè)量誤差強(qiáng)度達(dá)到0 dB時(shí)，基于CWLS算法閉式解的目標(biāo)位置估計(jì)偏差能減小大約100 m。由于TDOA參數(shù)中不包含目標(biāo)速度信息，因此，兩種算法的速度估計(jì)誤差偏差差別不明顯。由圖4可得隨著FDOA測(cè)量誤差變化，本文所提基于CWLS算法閉式解的目標(biāo)速度估計(jì)誤差基本保持比TS-WLS算法小的趨勢(shì)。同上述分析，由于FDOA參數(shù)中同時(shí)包含了目標(biāo)速度信息和位置信息，因此，圖4中本文所提基于CWLS算法閉式解的目標(biāo)位置估計(jì)偏差明顯小于TS-WLS算法，且差值比較恒定，大約為16 m左右。

5 結(jié)論

本文在TS-WLS算法基礎(chǔ)上提出一種基于CWLS的TDOA/FDOA無(wú)源定位閉式解算方法。給出了該閉式解的解析表達(dá)式，并推導(dǎo)了目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的MSE。數(shù)據(jù)仿真結(jié)果表明本文所提算法與TS-WLS算法具有相同的定位精度，均能較好地逼近CRLB，而且所提算法的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差明顯小于TS-WLS算法，驗(yàn)證了理論分析的正確性。