(東恩中學，浙江 寧波 315000)

0 引言

深度學習的概念是美國學者馬頓和塞里歐借鑒布盧姆認知維度層次劃分理論提出來的[1].他們認為淺層學習認知水平較低，一般處于記憶、理解層面；深度學習要求實現更高層次的目標，如應用、分析、評價和創(chuàng)造[2].馬云鵬認為，數學深度學習是以數學學科核心內容為載體，以提升學生的綜合素養(yǎng)為目標，整體分析與理解相關內容本質，提煉深度探究的目標與主題，了解學生學習特定內容的狀況，通過精心設計問題情境，引發(fā)學生認知沖突，組織學生全身心參與學習互動，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題深度探究，使學生體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[3].可見，數學深度學習關注數學內容的本質與變式，關注數學知識的聯想與結構，關注學生的活動與體驗，指向學生綜合素養(yǎng)的提升等等.

基于教材知識的拓展課是初中數學常用的拓展課開發(fā)策略，即充分挖掘教材知識的內涵和其中的數學思想方法，對教材內容進行延伸拓展.由于其形式靈活，重在學生綜合素質的提升，因此在初中數學拓展課中實現學生深度學習是可行的.“反比例函數中的等積變形”是常見的拓展內容，但以往的教學往往聚焦于知識及解題技巧的掌握，忽視學生在活動過程中問題本質的體悟、知識之間的相互聯系以及問題解決方法的產生等等.下面筆者以“反比例函數中的等積變形”為例探索如何在數學拓展課中實現深度學習.

1 促進深度學習的初中數學教學案例展示及分析

“反比例函數”是浙教版《數學》八年級下冊第6章的內容.這一函數是學生進入初中后接觸的第一類曲線型函數，是后續(xù)學習其他函數的基礎.反比例函數的核心內容是其函數表達式、圖像及其性質，尤其是圖像“特征”、函數“特性”以及它們之間的相互轉化關系.本節(jié)課是建立在學生學習了反比例函數的基本內容之后，對反比例函數知識的合理拓展和深化.具體教學過程如下：

1.1 觀察圖像，解釋內容本質

圖1圖2圖3圖4

生1：面積分別為6,6,3,3.

師：你是怎么算出來的？

生1：設雙曲線上的點的坐標，把它們轉化成線段的長度.

圖5圖6圖7圖8

生3：都是3.

師：為什么？我看長得都不一樣.

生3：利用小學階段所學的“平行線間距離處處相等”.

設計意圖問題1是在復習反比例函數相關知識的基礎上，從解析法過渡到反比例函數解析式中k的幾何含義的運用.在平面直角坐標系中研究幾何問題常用的方法是解析法，但是涉及到反比例函數這一類特殊函數時，會發(fā)現這類幾何問題的本質是k的幾何含義的運用.問題2是在問題1的基礎上的一種變形，需要結合小學階段學過的求三角形面積的基本圖形“同底圖和同高圖”來解決問題，但其實質也是對k的幾何含義的運用.

1.2 逆向思維，增強學生的創(chuàng)新意識

圖9圖10圖11

學生反饋的典型圖例如圖9～圖11所示.

生4：利用等積變形可變形出多種圖案，面積為2的四邊形如圖12～圖14所示.

圖12圖13圖14

設計意圖問題3和問題4是問題1、問題2通過逆向思維自然提出來的開放性問題，它需要學生通過觀察、分析、對比、猜想、推理等一系列探究活動，多角度、多層次地探索數學問題.學生的設計精彩紛呈，除了常規(guī)意義上的矩形割補得到相應面積之外，還能通過一些等積變形得到其他形狀的圖形，充分激發(fā)了學生的創(chuàng)造力.

1.3 善用變式，形成活動經驗系統(tǒng)

本節(jié)課完成知識點梳理后安排3個小練習進行應用.

圖15圖16圖17

1)AC⊥x軸，則△OAC的面積是______；

2)聯結BC，則△ABC的面積是______；

3)延長AC,過點B作BD⊥AC交AC的延長線于點D，則△ABD的面積是______，矩形AEBD的面積是______.

設計意圖這里設置3個練習的目的有兩個：一是進一步突出k的幾何含義；二是在解決問題過程中要將k的幾何含義的運用與相關幾何圖形的特征綜合考慮.練習1就是問題2中的圖7帶上字母和數據后的一個實例.練習2是當k<0時的數據應用，難度不大，主要是對于問題1和問題2的一個補充.練習3是復雜圖形的變形，為了培養(yǎng)學生在復雜圖形中精準找到基本模型的能力，其中第2)小題要用到反比例函數的中心對稱性，利用y=kx的圖像經過原點從而發(fā)現OC是中線，再利用“中線平分三角形面積”(即“同高圖”)得到結論;第3)小題是在第2)小題的基礎上應用了全等(有些學生會想到中位線)發(fā)現BC是△ABD的中線，進而得到結論.這3個練習為后面的挑戰(zhàn)作了鋪墊.

圖18

生6(笑)：字母這么多，很容易算錯的.

師：點E，F的共同特征是什么？

生7：在反比例圖像中，矩形面積都是|k|.

師：那么F是中點這個條件，又給這些k矩形帶來了什么？

生8：面積是矩形OABC的一半，這樣點E的k矩形也是它的一半了，因此E也是中點了.

圖19

圖20

師：△ABC與反比例函數的唯一聯系是什么？

生9：點B.

師：如何讓點B參與到求k中？

生10：聯結BE，利用同高圖，這樣△ABE的面積就是k的一半.

師：△ABE的面積又可以轉化成什么？

生11：……

師：中線AD給我們帶來的面積變化是什么？

生12：平分面積.明白了，AD不但是△ABC的中線，也是△BCE的中線，因此△ABE的面積和△ACE的面積相等.

圖21

設計意圖解析法在挑戰(zhàn)2的解決過程中更顯無力和繁瑣，使學生進一步體會到利用反比例函數中k的幾何含義進行解題的優(yōu)越性.挑戰(zhàn)2因為點B是唯一一個在反比例函數上的點，當聯結BE后，利用同高圖可得△ABE的面積是點B的k矩形面積的一半，再利用“中線平分三角形面積”(即同高圖)發(fā)現，此時的圖形其實是“燕尾模型”，進而得到△ABE的面積和△ACE的面積相等.變式2利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，發(fā)現△OAD是等腰三角形，它的面積與點D的k矩形面積相等，從而得到Rt△OAB的面積等于2k，而Rt△OAB的面積等于△OEB的面積加上點E的k矩形面積的一半，這樣利用方程就可得k的值.

2 促進學生深度學習的初中數學拓展課的教學啟示

2.1 運用變式，凸顯本質內容，形成數學活動經驗系統(tǒng)

為使得學生能夠真正實現深度學習，變式是一種常用的策略.文獻[4]認為，變式可分為概念性變式和過程性變式.那么，在教學過程中可以通過兩種方式來實現深度學習：一是在“變式”中理解知識.如問題1和問題2給出了k矩形和k三角形的多種圖形，教師讓學生在計算中辨析，在辨析中總結其本質內容，即k的幾何含義.二是在問題解決過程中采用過程性變式.如采用兩種方式，即一個問題多種解決方法和一個問題多種變化.前一種方式不僅讓學生體會到解析法與k的幾何含義這兩種方法之間的聯系，還在比較中得出最優(yōu)方法；后一種方式可以讓學生體會到問題之間的相互聯系.這兩種方式都有助于形成數學活動經驗系統(tǒng).

2.2 設計問題鏈，形成數學知識結構與認知結構

文獻[5]認為，問題鏈可以實現數學深度學習.文獻[6]提出，“問題鏈”是指在課堂上呈現給學生的、有序的主干問題串.可見，這些問題并不是單個的、孤立的，而是有關聯的，可以是知識內容上的，也可以是思想方法和研究視角上的關聯.問題1和問題2是基礎性問題，旨在引出解決幾何問題的新方法，即k的幾何含義的運用；問題3和問題4是從逆向思維角度引申出的問題，旨在進一步理解k的幾何含義；練習是對前面問題解決方法的鞏固、概括，也是為了引出綜合性問題，即將k的幾何含義與幾何圖形的特性結合起來解決問題，為挑戰(zhàn)1和挑戰(zhàn)2的解決奠定基礎.可見，這些互相關聯的問題將反比例函數的相關知識向縱深拓展，進而培養(yǎng)學生解決綜合問題的能力.

2.3 設置開放題，增強學生的參與度與創(chuàng)新意識

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中提出，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終.開放性問題一般具有結果開放、思路開放、對象開放等特點，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的重要途徑[7].本文利用逆向思維，設置了不同難度的兩個開放性問題，充分調動學生的積極性，讓不同程度的學生都能找到解決問題的思路，讓不同的思維火花進行碰撞，在贊嘆他人方法美妙的同時，促進思維的提升，進而達到深度學習.

數學教學是思維的教學，更應該注重于“想”的過程，而深度學習正是通過教師的課堂組織，去引導學生“如何想”“想什么”.變式、問題串、開放性問題都是指向思維、揭示本質的教學，讓學生多角度、多層次、有序地經歷“做數學”的過程，使其感悟一類問題解決的本質，建構數學知識之間的關聯，從理解、整合、分析到再創(chuàng)造的過程中真正實現深度學習.