田 煒，常鵬飛，周百靈

（國電南瑞科技股份有限公司，江蘇省南京市 211103）

0 引言

可變速抽水蓄能機(jī)組采用的矢量控制策略需檢測轉(zhuǎn)子位置，常規(guī)的轉(zhuǎn)子位置檢測方法是安裝光電編碼器，但安裝在抽蓄機(jī)組中的編碼器易損壞[1]，且安裝難度較大，后期維護(hù)成本高，還存在同心度的問題，從而導(dǎo)致檢測位置與實(shí)際位置不一致。

因此，采用無位置傳感器的控制方法受到重視：基于控制對象數(shù)學(xué)模型的直接計(jì)算方法[2-3]，但其數(shù)學(xué)模型對參數(shù)有依賴性，位置估計(jì)精度不高；有基于電機(jī)結(jié)構(gòu)的不對稱性的電感變換方法和高頻注入方法[4-5]，但在極對數(shù)較多、表面貼式的工程電機(jī)應(yīng)用時(shí)，會(huì)由于凸極效應(yīng)較弱而失效；有基于狀態(tài)觀測器的位置估計(jì)方法[6]，通過重構(gòu)被觀測對象的狀態(tài)空間模型，消除誤差，對參數(shù)變化的魯棒性較好。其中，擴(kuò)展卡爾曼濾波法和模型參考自適應(yīng)法屬于狀態(tài)觀測器法。

本文通過構(gòu)建可變速抽蓄機(jī)組的無位置傳感器狀態(tài)空間模型，分別設(shè)計(jì)了擴(kuò)展卡爾曼濾波器和改進(jìn)模型參考自適應(yīng)，通過比較兩種估計(jì)方法的位置和速度觀測效果，通過仿真驗(yàn)證了兩種方法的有效性。

1 無傳感器控制方法

對于可變速機(jī)組而言，其高階、強(qiáng)耦合、非線性的特點(diǎn)是無法直接應(yīng)用KF法的，這里便需要引入擴(kuò)展卡爾曼濾波器法來解決這一問題，這里將可變速機(jī)組的模型抽象并重新描述成EKF問題見式（1）：

式中t——連續(xù)時(shí)間。

式（1）的系統(tǒng)噪聲和測量噪聲同樣滿足白噪聲的條件。

區(qū)別于KF法的是，EKF法需要將非線性的問題線性化，采取的是在y=0點(diǎn)處泰勒展開的方法，這里將狀態(tài)方程和輸出方程的兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，得到式（2）：

其中g(shù)′（x0）是一個(gè)n×n維方陣，常常稱為雅各比方陣，其i，j分量見式（3）～（4）

對應(yīng)的擴(kuò)展卡爾曼“黃金公式”見式（5）：

式中x——狀態(tài)變量；

P、Q——懲罰矩陣。

和卡爾曼濾波器類似，模型參考自適應(yīng)需要比較可調(diào)模型與參考模型的差值v，通過使二者的差值收斂至0，那么可調(diào)模型的狀態(tài)估計(jì)值?x就等于參考模型的狀態(tài)值x，進(jìn)而得到系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)值。

不同的理論模型適用于不同的控制環(huán)境以及控制目的要求。事實(shí)上，根據(jù)選用的模型不同，可以有不同的自適應(yīng)律，本文這里是基于轉(zhuǎn)子磁鏈的MRAS控制器的設(shè)計(jì)方法。

圖1 MRAS結(jié)構(gòu)圖Figure 1 Diagram of MRAS

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波法設(shè)計(jì)

首先，寫出可變速機(jī)組的狀態(tài)空間方程，見式（6）：

式中iαs/iβs——定子側(cè)電流在α/β上的分量；

ψαr/ψβr——轉(zhuǎn)子側(cè)電流在α/β上的分量；

uαs/uβs——定子側(cè)電壓在α/β上的分量；

uαr/uβr——轉(zhuǎn)子側(cè)電壓在α/β上的分量；

ω——轉(zhuǎn)速，

Tr——轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩；

Ls——定子電感。

輸出方程見式（7）：

離散化方程（7），按照式（8）：

得到離散化后方程：

則得到式（9）：

將Φ和h對x求導(dǎo)，得式（11）

將上述方程代入黃金公式中去。

3 改進(jìn)模型參考自適應(yīng)設(shè)計(jì)

3.1 確定模型

和EKF法不同的是，MRAS法的模型方程不需要太復(fù)雜的推導(dǎo)，但是需要選擇相同的狀態(tài)量的不同參數(shù)模型，參考模型中不含待估計(jì)參數(shù)，而可調(diào)模型中包括待估計(jì)參數(shù)，兩者的狀態(tài)輸出量差值，作為自適應(yīng)機(jī)構(gòu)的輸入。根據(jù)可變速機(jī)組在兩相靜止坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型，寫出變換后的電壓和磁鏈方程，構(gòu)造轉(zhuǎn)子磁鏈的電壓和電流模型：

電壓模型：

電流模型：

觀察電壓方程不含有待估計(jì)量轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω，因而電壓模型作為參考模型，而電流模型中含有變量ω，因而電流模型被確定為可調(diào)模型。

3.2 確定自適應(yīng)律

文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)通過對該模型滿足波波夫超穩(wěn)定要求的理論推導(dǎo)，這里不再贅述，直接給出基于轉(zhuǎn)子磁鏈的模型參考自適應(yīng)律如式（15）所示：

顯然，轉(zhuǎn)速的估計(jì)量結(jié)果是通過對轉(zhuǎn)子磁鏈的參考模型輸出值和可調(diào)模型的輸出值行叉乘，再進(jìn)行PI控制得到，這一結(jié)論和大多數(shù)MRAS法相一致。

3.3 系統(tǒng)框圖

根據(jù)上述兩個(gè)步驟，這里給出基于轉(zhuǎn)子磁鏈MRAS法的系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 基于轉(zhuǎn)子磁鏈MRAS法控制系統(tǒng)框圖Figure 2 Control block diagram based on MRAS of rotor flux

同樣的，在離散控制器中，MRAS法存在微分環(huán)節(jié)σsLs和純積分環(huán)節(jié)，因此便存在噪聲放大和積分飽和的問題，因此，本文采用一種改進(jìn)的MRAS法，改寫式（13）為式（16）：

如圖所示，將積分環(huán)節(jié)用一階慣性環(huán)節(jié)替代，并且采用對定子磁鏈限幅補(bǔ)償?shù)姆绞?，得到如圖3所示的模型參考自適應(yīng)的改進(jìn)電壓模型。

圖3 改進(jìn)電壓參考模型Figure 3 Model of improved voltage reference

4 仿真驗(yàn)證

為了比較分析3.2小節(jié)中的EKF法和MRAS法的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)精度和參數(shù)發(fā)生變化下的魯棒性，這里對如表1所示電機(jī)參數(shù)的可變速機(jī)組進(jìn)行Simulink仿真驗(yàn)證。

表1 電機(jī)參數(shù)Table 1 Motor parameters

本文分別給出兩種方法在空載和加載情形下的轉(zhuǎn)速和位置估計(jì)效果，并分別給出1000r/min和750r/min兩種轉(zhuǎn)速條件下的估計(jì)效果，研究定子電感偏差下的估計(jì)效果。

根據(jù)機(jī)組的極對數(shù)，額定轉(zhuǎn)速為1500r/min，因此為了分析不同轉(zhuǎn)速下的位置跟蹤效果，分別給出：1000r/min和750r/min轉(zhuǎn)速下，兩種方法的估計(jì)結(jié)果。

圖4 1000r/min下EKF法和MRAS法轉(zhuǎn)子位置估計(jì)值Figure 4 Rotor position of EKF method and MRAS method under 1000r/min

根據(jù)圖4，在1000r/min轉(zhuǎn)速下，圖4（a）為EKF法轉(zhuǎn)子位置估計(jì)值與實(shí)際值仿真結(jié)果圖，圖4（b）為MRAS法轉(zhuǎn)子位置估計(jì)值與實(shí)際值仿真結(jié)果圖，對比發(fā)現(xiàn)，兩種方法的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)值都能夠在第三個(gè)周期以后跟蹤實(shí)際值。

圖5所示為1000r/min轉(zhuǎn)速下，兩種方法的位置估計(jì)誤差，圖（b）MRAS法的誤差超調(diào)量（-1.1rad）顯著大于圖（a）EKF法的誤差超調(diào)量（0.43rad）。兩者的穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差均在0.02以內(nèi)，但MRAS法估計(jì)誤差在0.15～0.18s以后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而EKF法則在0.25s后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。

從圖6中可以看出，兩種方法的轉(zhuǎn)速給定為1000r/min，觀察二者發(fā)現(xiàn)，MRAS法相較于EKF法對轉(zhuǎn)速的估計(jì)，前者的響應(yīng)速度更快，但超調(diào)更大，而且0.5s之前的估計(jì)值穩(wěn)態(tài)誤差也更大，但兩者對于速度的跟蹤都能保持良好的估計(jì)效果。

圖7所示為轉(zhuǎn)速估計(jì)值與實(shí)際值的誤差曲線，可以定量的看出，EKF法的轉(zhuǎn)速超調(diào)不超過100r/min，而MRAS法的轉(zhuǎn)速超調(diào)最大為-600r/min，換言之，機(jī)組在起動(dòng)的過程中有一個(gè)短暫的反轉(zhuǎn)過程，然后才能進(jìn)入正常起動(dòng)狀態(tài)；在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，EKF法的轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差在-10～10r/min范圍內(nèi)，而MRAS法在0.5s之前的轉(zhuǎn)速誤差波動(dòng)范圍達(dá)到-200～200r/min，0.5s以后其誤差絕對值也在20r/min附近。

圖4～圖8的估計(jì)結(jié)果均是在可變速機(jī)組空載的情況下仿真得到的，為了進(jìn)一步比較兩者在加載以后的動(dòng)態(tài)跟蹤效果，接下來進(jìn)行0.5s加載的仿真對比，并進(jìn)一步比較750r/min下加載的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。

圖5 1000r/min下EKF法和MRAS法轉(zhuǎn)子位置估計(jì)誤差Figure 5 Rotor position error of EKF method and MRAS method under 1000r/min

圖6 1000r/min下EKF法和MRAS法轉(zhuǎn)速估計(jì)值Figure 6 Rotor speed of EKF method and MRAS method under 1000r/min

圖7 1000r/min下EKF法和MRAS法轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差Figure 7 Rotor speed error of EKF method and MRAS method under 1000r/min

圖8 1000r/min下EKF法0.5s加載估計(jì)誤差Figure 8 Loading estimation error of EKF method under 1000r/min when 0.5s

首先在1000r/min仿真運(yùn)行至0.5s，進(jìn)行加載，如圖9所示，為EKF法加載后的轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差和位置估計(jì)誤差，可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差在加載瞬間發(fā)生超調(diào)突變（30r/min以內(nèi)），但在經(jīng)過0.02s后又能恢復(fù)穩(wěn)態(tài)；觀察位置估計(jì)誤差發(fā)現(xiàn)，其誤差值大小同樣會(huì)在加載瞬間突變，但經(jīng)過0.05s后恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，但穩(wěn)態(tài)誤差值相較于空載情況下增大，但依然在0.05rad以內(nèi)。

圖9 1000r/min下MRAS法0.5s加載估計(jì)誤差Figure 9 Loading estimation error of MRAS method under 1000r/min when 0.5s

如圖9所示為MRAS法在0.5s加載前后的轉(zhuǎn)速和位置估計(jì)誤差曲線，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差在加載瞬間的超調(diào)量達(dá)到了-150r/min，在0.01s后迅速恢復(fù)，但此時(shí)的轉(zhuǎn)速已經(jīng)不穩(wěn)定，在0.84s左右出現(xiàn)誤差抖動(dòng)增大的情況；同樣的，位置估計(jì)誤差在加載以后同樣出現(xiàn)了偏差增大的問題。

進(jìn)一步地，如圖10所示，在750r/min仿真運(yùn)行下，進(jìn)行0.5s加載驗(yàn)證，對于EKF法轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差結(jié)果，其起動(dòng)轉(zhuǎn)速誤差超調(diào)縮小至-400r/min以內(nèi)，但0.5s加載后的轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差超調(diào)增加，恢復(fù)時(shí)間也增長至0.04s；同樣的，EKF法的位置估計(jì)誤差在起動(dòng)階段的超調(diào)量也下降至0.5rad，但加載瞬間的誤差超調(diào)量也明顯增加，并且恢復(fù)后的穩(wěn)態(tài)誤差也大于加載前，這與1000r/min下的結(jié)論是一致的。

在圖11中，對于MRAS法轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差結(jié)果，在750r/min仿真條件下，最顯著的特點(diǎn)是其轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差絕對值從原來的200r/min降到了40r/min，起動(dòng)轉(zhuǎn)速超調(diào)量也顯著下降，說明MRAS法對于低穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速的估計(jì)效果更為良好。但帶來的問題也是不可忽視的，在0.5s加載瞬間，其轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差超調(diào)至-430r/min，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1000r/min下的-150r/min的加載超調(diào)量，并且加載以后的轉(zhuǎn)速誤差在0.69s附近發(fā)生抖動(dòng)，說明加載后的轉(zhuǎn)速估計(jì)效果下降。而對于MRAS法位置估計(jì)誤差結(jié)果，750r/min運(yùn)行下的位置誤差調(diào)節(jié)時(shí)間也顯著增加，而且加載后的穩(wěn)態(tài)誤差也顯著增加。

圖10 750r/min下EKF法0.5s加載估計(jì)誤差Figure 10 Loading estimation error of EKF method under 750r/min when 0.5s

圖11 750r/min下MRAS法0.5s加載估計(jì)誤差Figure 11 Loading estimation error of MRAS method under 750r/min when 0.5s

綜上所述，EKF法和MRAS法仿真比較發(fā)現(xiàn)，無論是在空載情況下還是加載以后，對于轉(zhuǎn)速估計(jì)精度而言，EKF法是顯著優(yōu)于MRAS法的，并且EKF法對于突變負(fù)載的魯棒性更好；對比兩種方法在1000r/min和750r/min下的仿真結(jié)果，雖然MRAS法在750r/min下的轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差結(jié)果同樣理想，但其加載以后的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差偏大，其位置估計(jì)誤差也存在同樣的問題。

5 結(jié)束語

通過對可變速抽蓄機(jī)組的建模，研究了擴(kuò)展卡爾曼濾波和改進(jìn)MRAS兩種無傳感器轉(zhuǎn)子位置辨識方法，并分別對兩種方法進(jìn)行觀測器設(shè)計(jì)。其中，針對常規(guī)MRAS法存在微分環(huán)節(jié)和積分偏差問題，針對電壓參考模型進(jìn)行了改進(jìn)。通過仿真比較兩種方法在不同轉(zhuǎn)速以及加載前后的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速觀測效果，得出擴(kuò)展卡爾曼方法效果更佳的結(jié)論。