張郡麟

【摘要】 圓錐曲線的第二定義體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一，第一定義則體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別，兩種定義不僅在解題中應(yīng)用廣泛，而且具有很大的靈活性。圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線;第一定義;第二定義

定義是揭示事物本質(zhì)屬性的思想形式，面對一個數(shù)學(xué)對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器。圓錐曲線的第二定義體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一，第一定義則體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別，兩種定義不僅在解題中應(yīng)用廣泛，而且具有很大的靈活性。第一種定義和第二種定義的靈活轉(zhuǎn)換常常是打開解析幾何問題思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息有助于解題。下面我們一起來看看圓錐“定義”在求解圓錐曲線問題中有哪些常規(guī)應(yīng)用。

[例題1]在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長為4√2，一個橢圓以C為其中一個焦點，另一個焦點在線段AB上，且橢圓經(jīng)過A，B兩點，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析：直覺猜想并解題，找出題目中特殊的數(shù)值和題目間的內(nèi)在聯(lián)系，點F即焦點，2恰好是橢圓離心率的倒數(shù)，然后利用橢圓的第二定義（圓錐曲線的統(tǒng)一定義），即橢圓上的任何一點到焦點的距離與該點到同側(cè)準(zhǔn)線的距離之比是離心率e，從而將所求的PA+2PF轉(zhuǎn)化成點P到A點的距離與到右準(zhǔn)線的距離之和，數(shù)形結(jié)合后發(fā)現(xiàn)最小值即為點A到右準(zhǔn)線的距離，而P點的縱坐標(biāo)將與A點縱坐標(biāo)一致，代入橢圓方程即可求出P點坐標(biāo)。現(xiàn)在要求PA+PF的最大值，那我們可以怎么轉(zhuǎn)化呢？首先利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為距離之差，PA +PF=PA+（2a-PFl），其中Fi為橢圓左焦點，然后將PA+（2a-PFl）寫成2a+（PA-PF），最后利用數(shù)形結(jié)合法“三點共線”來確定所求P點即為AF，的延長線與橢圓的交點。

我們在解有關(guān)圓錐曲線的問題時，如果題目涉及焦點、準(zhǔn)線方程、離心率、圓錐曲線上的點這四個條件中的三個，我們一般就要聯(lián)想到圓錐曲線定義，有時甚至只要知道其中的兩個條件，也可以聯(lián)想到圓錐曲線定義。靈活巧妙地運用圓錐曲線的定義，將會帶給我們意想不到的方便和簡單。圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分，比如橢圓的定義中要求|PFl|+|PF2|>|FIF2|，雙曲線的定義中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|。這樣，在解題過程中才不會步入歧途。