施權(quán) 胡昌華 司小勝 扈曉翔 張正新

受環(huán)境、工作載荷與自身材料、結(jié)構(gòu)性能老化等因素的影響,系統(tǒng)的性能會隨著使用發(fā)生不可避免的退化.系統(tǒng)的性能退化最終會導(dǎo)致失效,而失效的發(fā)生將帶來經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等多方面的損失,甚至造成重大的安全事故.如果能夠在系統(tǒng)完全失效之前進(jìn)行有效預(yù)測,并及時地進(jìn)行維護(hù)和管理,就可以有效地降低運行風(fēng)險與成本,提高系統(tǒng)的安全性與可靠性[1?2].因此,預(yù)測與健康管理(Prognostics and health management,PHM)成為當(dāng)前可靠性領(lǐng)域的研究熱點問題,基于退化現(xiàn)象的分析方法在解決系統(tǒng)剩余壽命(Remaining useful lifetime,RUL)預(yù)測問題時取得了一系列的成果[3?5].然而,在剩余壽命預(yù)測時考慮控制作用的影響、對控制系統(tǒng)進(jìn)行剩余壽命預(yù)測的研究幾乎是空白.

隱含退化過程難以檢測是閉環(huán)控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測研究的一個難點.得益于特殊的閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu),控制系統(tǒng)可以補償實際工作中產(chǎn)生的故障和擾動[6],具有一定的容錯能力.當(dāng)采用容錯控制(Fault tolerant control,FTC)[7?8]策略時,閉環(huán)控制系統(tǒng)對故障的容錯能力將進(jìn)一步提升,即使內(nèi)部已經(jīng)發(fā)生比較嚴(yán)重的性能退化,系統(tǒng)輸出可能仍然在正常范圍之內(nèi).這使得內(nèi)部部件的性能退化呈現(xiàn)隱含退化的特點,給傳統(tǒng)的壽命預(yù)測方法帶來一定困難[9].在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,針對隱含退化過程的剩余壽命預(yù)測研究通常采用基于隨機濾波的方法[10]、基于協(xié)變量風(fēng)險模型的方法[11]和基于隱Markov或隱半Markov模型的方法[12?13],Si等[5]對此進(jìn)行了詳細(xì)的綜述.無論哪種方法,都需要獲得觀測值與退化狀態(tài)、失效率或壽命之間的關(guān)系模型,由于控制系統(tǒng)的解析模型已知,基于隨機濾波的方法不需要利用一定的歷史壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行模型辨識,相比于其他方法更具優(yōu)勢.文獻(xiàn)[14]研究了考慮執(zhí)行器性能退化的控制系統(tǒng)故障檢測問題,提出一種自適應(yīng)卡爾曼濾波算法在線估計出執(zhí)行器故障等級.然而,這類采用控制效能損失[14?18]程度對執(zhí)行器退化水平建模的方法沒有區(qū)分控制電路故障和執(zhí)行器硬件性能退化這種早期微小故障[19]的區(qū)別,在此基礎(chǔ)上設(shè)計的容錯控制方法可能會增大執(zhí)行器負(fù)載、加重退化程度.Langeron等[20]將這種執(zhí)行器故障模型[14?18]的不足總結(jié)為:與控制算法相獨立、與任何形式的物理退化過程相獨立、故障發(fā)生于確定的時間點.Xu等[21?22]針對動態(tài)系統(tǒng)提出一種實時可靠性預(yù)測方法,選擇系統(tǒng)模型參數(shù)作為表征系統(tǒng)性能的隱含退化量并采用粒子濾波算法在線辨識隱含的隨機退化過程模型.然而,由于沒有考慮反饋控制的作用,因而也就沒有將退化過程模型與系統(tǒng)負(fù)載、控制算法聯(lián)系在一起.

除了上述難點之外,閾值大小的選擇也是一個難點.由于退化過程隱含且不易觀測,因此缺乏歷史失效時刻退化狀態(tài)或觀測值大小的經(jīng)驗數(shù)據(jù),難以根據(jù)工程經(jīng)驗直接給出閾值大小.文獻(xiàn)[23]對閾值不確定這一問題進(jìn)行了詳盡的分析,文獻(xiàn)[24?26]也指出使用固定閾值是存在問題的.這一問題在閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用中尤其突出.除了系統(tǒng)內(nèi)部一些部件發(fā)生性能退化會降低系統(tǒng)的控制品質(zhì)并可能導(dǎo)致系統(tǒng)故障[27],控制算法對當(dāng)前運行環(huán)境下的隨機干擾等不良影響的魯棒性也是影響系統(tǒng)可靠性的重要因素.這兩個因素互相耦合,導(dǎo)致在不同的工作環(huán)境和工程需求下,控制系統(tǒng)的失效時刻難以通過一個固定的失效閾值來判定,而如果失效時刻本身不夠準(zhǔn)確,那么在此基礎(chǔ)上獲得的歷史壽命數(shù)據(jù)或剩余壽命預(yù)測結(jié)果也是不準(zhǔn)確的.基于此,本文考慮了系統(tǒng)隱含退化過程的失效閾值并非固定值的情況,提出一種在線計算失效閾值的方法.

綜上分析,當(dāng)控制系統(tǒng)的設(shè)計需要同時滿足控制性能要求和可靠性要求,尤其是當(dāng)系統(tǒng)不具有執(zhí)行器冗余度時,就需要在控制性能和可靠性之間進(jìn)行折中[28],然而現(xiàn)有模型無法準(zhǔn)確描述控制系統(tǒng)的可靠性.鑒于此,本文提出一種考慮執(zhí)行器性能退化的控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測方法,采用隨機過程對執(zhí)行器的退化水平進(jìn)行建模,并假設(shè)退化速率是一個與控制負(fù)載相關(guān)的變量.針對閉環(huán)反饋作用下部件呈現(xiàn)隱含退化的特點,采用權(quán)值優(yōu)選粒子濾波算法對系統(tǒng)輸入輸出的采樣值進(jìn)行分析,進(jìn)而估計系統(tǒng)狀態(tài)和執(zhí)行器隱含退化量.同時,在預(yù)測時刻采用蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)仿真以選擇合理的執(zhí)行器失效閾值,通過將執(zhí)行器的退化水平帶入退化模型中外推出系統(tǒng)剩余壽命分布,為后期健康管理活動提供可信依據(jù).最后的仿真結(jié)果證明了本文所提方法的有效性.

1 問題描述

考慮只有一個執(zhí)行器發(fā)生性能退化的單輸入單輸出閉環(huán)控制系統(tǒng)

式中,x(t)∈Rn為n維狀態(tài)向量,u(t)為控制輸入,y(t)為系統(tǒng)輸出,φ為執(zhí)行器的控制效能,是隱含的性能參數(shù),難以直接測得.w(t)和v(t)為合適維度、互相獨立的過程噪聲向量和觀測噪聲向量,服從高斯或非高斯分布.f為狀態(tài)向量x(t)和輸入u(t)的非線性函數(shù),h為狀態(tài)向量x(t)的線性或非線性函數(shù).輸出殘差定義為e(t)=yref(t)?y(t),表示系統(tǒng)期望輸出與實際輸出的偏差,yref(t)為參考輸出.

圖1展示了執(zhí)行器性能退化過程與閉環(huán)控制系統(tǒng)失效過程的關(guān)系,從圖1中可以看出,執(zhí)行器的控制效能連續(xù)緩慢下降,導(dǎo)致執(zhí)行器的實際輸出受到影響.圖1左上角輸出殘差e(t)的變化曲線,起初波動的幅度較小,表示在閉環(huán)反饋的作用下,系統(tǒng)尚能補償部分外部干擾的影響,輸出殘差仍然保持在在性能指標(biāo)允許的范圍內(nèi),但此時系統(tǒng)的控制品質(zhì)已經(jīng)有所下降.隨著隱含退化量φ(t)變化曲線不斷下降,e(t)曲線突然持續(xù)上升直至超過殘差的允許上限,表示當(dāng)執(zhí)行器性能退化累積到一定程度時,系統(tǒng)會在外部隨機干擾的影響下發(fā)生失效.本文選擇合適的模型參數(shù)φ(t)作為隱含退化量,相比于傳統(tǒng)性能變量有以下幾點優(yōu)勢:1)可以通過監(jiān)測系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)辨識出來,不需要額外增加傳感設(shè)備去監(jiān)測性能變量;2)隱含退化量通過系統(tǒng)模型作用于系統(tǒng)輸出,其大小直接反映系統(tǒng)的實際工作狀態(tài)和性能水平,不需要再通過機理分析和大量實驗去建立性能參數(shù)和系統(tǒng)可靠性之間的關(guān)系;3)其退化閾值可以通過系統(tǒng)解析模型和輸出性能指標(biāo)進(jìn)行確定,不同工作環(huán)境下只需要相應(yīng)地修改系統(tǒng)模型,即可求得當(dāng)前環(huán)境下的閾值,而傳統(tǒng)性能參數(shù)的閾值需要在固定的環(huán)境中對同類系統(tǒng)進(jìn)行大量實驗,或者通過大量工程經(jīng)驗的積累給出,且在新的工作環(huán)境下基于固定閾值無法得到準(zhǔn)確的系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測結(jié)果;4)模型參數(shù)通過閉環(huán)反饋作用與控制器耦合,選擇模型參數(shù)作為退化量,便于建立與控制算法、系統(tǒng)負(fù)載的關(guān)系.

圖1 考慮執(zhí)行器性能退化的閉環(huán)控制系統(tǒng)失效過程Fig.1 Failure process of closed-loop controlled system considering performance degradation of an actuator

由于本文僅考慮執(zhí)行器的退化過程,控制器的形式一經(jīng)確定便不再改變.選擇工業(yè)和過程控制領(lǐng)域常用的比例–積分–微分(Proportional integral differential,PID)控制算法作為閉環(huán)控制系統(tǒng)控制器的設(shè)計依據(jù).定義u(t)為t時刻的控制器輸出,則PID控制算法具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式

式中,KP為比例系數(shù),TI為積分時間常數(shù),TD為微分時間常數(shù).關(guān)于這三個參數(shù)的選擇與整定問題在許多參考書籍中都有所介紹,這里不再贅述.

控制信號u(t)被用來驅(qū)動執(zhí)行器產(chǎn)生響應(yīng)的輸出來維持系統(tǒng)平衡,執(zhí)行器的輸出是一個狀態(tài)量,設(shè)為xa,可以是電機輸出的力矩、閥門開閉的大小等.t時刻執(zhí)行器的輸出定義如下

式中,g是一個由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定的函數(shù).由式(3)可見執(zhí)行器的實際輸出由控制律u(t)和執(zhí)行器自身的控制效能φ共同決定.

文獻(xiàn)[29?30]將控制效能損失視作一類執(zhí)行器故障,由于在連續(xù)負(fù)載下工作,執(zhí)行器的機械參數(shù)或電氣參數(shù)發(fā)生緩慢變化,進(jìn)而導(dǎo)致其輸出效能是一個漸變的、連續(xù)的退化過程.因此,采用連續(xù)的隨機過程對執(zhí)行器的性能退化過程建模,是一個合理的選擇.常見的退化過程模型包括擴(kuò)散過程模型[31?32]、Gamma過程模型[33]以及隱Markov模型[13]等.不論采用哪種退化模型都是對系統(tǒng)真實性能退化過程的近似描述,其中的擴(kuò)散過程作為一種連續(xù)的隨機過程,近年來被廣泛應(yīng)用于機電系統(tǒng)的退化建模,適用于非單調(diào)、非線性的退化過程描述.因此,本文采用擴(kuò)散過程對執(zhí)行器的控制效能退化建模,并假設(shè)退化過程的參數(shù)已經(jīng)通過辨識得到.令φ(t)表示t時刻執(zhí)行器的退化量,則基于擴(kuò)散過程的執(zhí)行器退化過程{φ(t),t≥0}可以表示為

式中,φ(0)表示隱含退化量的初始值;σB為擴(kuò)散系數(shù);B(t)表示標(biāo)準(zhǔn)Brownian運動,且B(t)～N(0,t);μ(τ,x)為漂移系數(shù),用來表征漂移速度,其中的x表示漂移速度受到系統(tǒng)負(fù)載和工作狀態(tài)的影響.

在進(jìn)行剩余壽命預(yù)測之前首先要對系統(tǒng)失效進(jìn)行定義.文獻(xiàn)[34?35]將系統(tǒng)失效定義為系統(tǒng)喪失一定功能以至于無法繼續(xù)完成預(yù)定任務(wù),認(rèn)為這種任務(wù)需求可以通過某種閾值來表示,而這個閾值可以是系統(tǒng)狀態(tài)、參數(shù)或是輸出的函數(shù).同時,文獻(xiàn)[36]認(rèn)為通過將系統(tǒng)真實輸出與某種指標(biāo)比較得到殘差并對殘差進(jìn)行評價是得到故障檢測結(jié)果的常用手段.對于圖1所示閉環(huán)跟蹤系統(tǒng),預(yù)定任務(wù)就是使得系統(tǒng)輸出有效跟蹤預(yù)設(shè)的參考輸出并將輸出殘差控制在一定范圍之內(nèi),而當(dāng)執(zhí)行器性能退化到一定程度,系統(tǒng)從早期微小故障狀態(tài)向顯著故障[19]轉(zhuǎn)變的時刻即為失效時刻.基于上述分析,本文方法采用殘差上界emax作為判斷系統(tǒng)是否失效的性能指標(biāo),并將系統(tǒng)的使用壽命定義為輸出殘差{|e(t)|,t≥0}達(dá)到emax的首達(dá)時間

式中,inf為下確界算子,emax為殘差閾值,是一個固定值,根據(jù)工程中的實際要求給出,這里閾值的設(shè)置需要滿足一定的大小要求,避免輸出殘差在正常工作下產(chǎn)生波動達(dá)到閾值而造成誤報和虛警的情況.|e(t)|實際上是殘差評價函數(shù)[36]針對單輸入單輸出跟蹤系統(tǒng)(1)的簡化形式,當(dāng)系統(tǒng)為多輸入多輸出系統(tǒng)且具有其他性能指標(biāo)時,只需將|e(t)|替換成其他合理的殘差評價函數(shù)即可.

由圖1可知,從開始時刻起很長一段時間內(nèi)系統(tǒng)的輸出殘差變化較小,不便于描述系統(tǒng)實時的健康水平,因此在預(yù)測時對隱含退化量建模并提出一種基于變失效閾值的剩余壽命預(yù)測方法.基于該方法的系統(tǒng)壽命預(yù)測結(jié)果依賴于運行過程中對未來退化量的估計數(shù)據(jù),通常定義為未來退化量估計值到達(dá)失效閾值φmin的首達(dá)時間

這里出現(xiàn)了式(5)和式(6)兩種壽命定義,對此說明如下:式(5)用作真實退化過程中系統(tǒng)是否失效的判斷依據(jù),而式(6)用作預(yù)測計算過程中系統(tǒng)是否失效的判斷依據(jù).從圖1中可以看出,由于性能參數(shù)的緩慢退化會導(dǎo)致控制器在某個時刻無法補償隨機干擾,系統(tǒng)發(fā)散.因此在失效時刻前后,系統(tǒng)輸出殘差變化非常劇烈.反過來說,一定程度的殘差上界不準(zhǔn)確并不會引起失效時刻產(chǎn)生太大偏差,這也是本文選取式(5)作為判斷系統(tǒng)是否失效或發(fā)生顯著故障依據(jù)的原因.這樣一來,失效時刻相對比較固定,在不同大小的失效閾值下得到的預(yù)測結(jié)果才有了一個可信的參照,即真實失效時間(對應(yīng)于真實剩余壽命),本文基于變閾值預(yù)測方法與傳統(tǒng)基于固定閾值預(yù)測方法下的預(yù)測結(jié)果才有了可比性.

基于以上分析,本文主要研究以下2個問題:

1)如何在已知控制系統(tǒng)執(zhí)行器退化模型的情況下確定合理的失效閾值,建立基于隱含退化量失效閾值的系統(tǒng)失效判斷準(zhǔn)則;

2)如何利用在線觀測輸入輸出數(shù)據(jù)對隱含狀態(tài)進(jìn)行估計并實時預(yù)測系統(tǒng)的剩余壽命分布.

2 剩余壽命預(yù)測方法

提出一種考慮退化速率受負(fù)載影響的基于擴(kuò)散過程的非線性退化過程建模方法,在已知系統(tǒng)狀態(tài)模型和噪聲模型的情況下,在每一個預(yù)測時刻t1,t2,···,tn實時計算系統(tǒng)的剩余壽命.該方法包含:1)在每一個預(yù)測時刻利用MC仿真合理設(shè)置隱含退化量的失效閾值,建立基于隱含退化量變失效閾值的失效判斷準(zhǔn)則;2)基于權(quán)值優(yōu)選粒子濾波算法,根據(jù)在線監(jiān)測的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)實時估計出系統(tǒng)的隱含狀態(tài);3)在不同的預(yù)測時刻計算系統(tǒng)剩余壽命分布.

2.1 基于隱含退化量變失效閾值的失效判斷準(zhǔn)則

首先定義系統(tǒng)基于殘差準(zhǔn)則的失效區(qū)域為F,F包含系統(tǒng)所有狀態(tài)變量.系統(tǒng)輸出偏差e首次進(jìn)入?yún)^(qū)域F即意味著系統(tǒng)在滿足一定使用性能的意義下發(fā)生失效.基于上述定義和式(5),假設(shè)系統(tǒng)首次進(jìn)入F的采樣時刻為test,則系統(tǒng)在時刻t的剩余壽命可以描述如下:

基于隱含退化量失效閾值的系統(tǒng)失效區(qū)域為Φ,系統(tǒng)隱含退化量φ首次進(jìn)入?yún)^(qū)域Φ即意味著系統(tǒng)的可靠性大幅下降,進(jìn)入故障易發(fā)區(qū).基于上述定義和式(6),假設(shè)系統(tǒng)在MC仿真中首次進(jìn)入Φ的采樣時刻為,則系統(tǒng)在時刻t的剩余壽命可以描述如下:

式中,Np表示優(yōu)選粒子數(shù),μy1,···,yl(dz) 表示在時刻獲得觀測數(shù)據(jù)y1,···,yl軌跡的重要性函數(shù);表示系統(tǒng)在時間區(qū)間內(nèi)基于隱含退化量失效閾值準(zhǔn)則未失效的概率.式(9)是本文基于隱含退化量失效閾值求解系統(tǒng)可靠度和剩余壽命概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)的理論依據(jù).

在不同預(yù)測時刻進(jìn)行MC仿真,選取式(8)中首達(dá)定義下的參考時刻作為失效閾值φmin的對應(yīng)時刻,則φmin通過下式計算

式中,Ntraj表示仿真次數(shù).由于不同預(yù)測時刻的初值不同,MC仿真軌跡也不同,因此失效閾值不是一個固定值.下面通過圖3進(jìn)一步具體說明在預(yù)測時采用變失效閾值的必要性.

真實的控制系統(tǒng)由于隨機干擾帶來的時變不確定性,可能會出現(xiàn)不同的退化軌跡,如圖2中退化軌跡1和退化軌跡2所示.由于預(yù)測時刻不同,MC仿真的初值不同,系統(tǒng)未來退化軌跡的預(yù)期也就不同.圖2中故障易發(fā)區(qū)就是在第2節(jié)問題描述中闡述的系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到控制約束上界或魯棒性較差的區(qū)域.如果采用固定的失效閾值φmin,則在tn時刻對系統(tǒng)2的預(yù)測結(jié)果為RUL2.可以看到,系統(tǒng)2已經(jīng)處在一個加速退化的階段,有較大的概率在運行到test2之前就已經(jīng)失效,因此這樣預(yù)測得到的剩余壽命結(jié)果是不符合實際的.而采用變失效閾值可以根據(jù)在線監(jiān)測數(shù)據(jù)調(diào)整系統(tǒng)未來退化軌跡的預(yù)期,得到更加接近真實的預(yù)測結(jié)果.

圖2 變失效閾值和固定失效閾值的對比Fig.2 Comparison of variable failure threshold and fixed failure threshold

2.2 隱含退化量和系統(tǒng)狀態(tài)的聯(lián)合估計

為了方便對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行濾波估計,首先對控制系統(tǒng)(1)、控制律(3)和退化量(5)進(jìn)行歐拉離散化處理

從式(11)可以看出,隱含退化量φk原來是系統(tǒng)的一個結(jié)構(gòu)參數(shù),現(xiàn)在系統(tǒng)經(jīng)過擴(kuò)維φk成為系統(tǒng)的一個狀態(tài)量,對隱含退化量的估計問題變成狀態(tài)變量與參數(shù)的聯(lián)合估計問題.

本文參照文獻(xiàn)[37]將系統(tǒng)原狀態(tài)量x與隱含性能變量φ擴(kuò)展成為擴(kuò)維狀態(tài)向量z.考慮到退化過程是一個非線性擴(kuò)散過程,且退化速率與系統(tǒng)狀態(tài)量之間有耦合,因此本文采用基于遞歸貝葉斯估計理論的粒子濾波(Particle filter,PF)算法解決擴(kuò)維狀態(tài)變量的聯(lián)合估計問題.粒子濾波對系統(tǒng)模型的要求較為寬松,適用于強非線性非高斯系統(tǒng),不過粒子權(quán)值退化和多樣性匱乏問題是難以完全消除的一對矛盾[38].粒子濾波算法有許多種改進(jìn)和變形,本文采用在著名的序貫重要性重采樣(Sequential importance resampling,SIR)算法[39]基礎(chǔ)上改進(jìn)的基于權(quán)值優(yōu)選的粒子濾波器[40]以克服粒子貧化的問題.

基于權(quán)值優(yōu)選的粒子濾波算法[40]的基本思想是:從眾多備選粒子中選出權(quán)值較大的粒子用來參與將來時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計的迭代運算,這樣剩下的大量粒子在不影響濾波精度的情況下可以保持粒子的多樣性.算法流程如下:

1)初始化

對?i=1,···,Ns,從初始分布 (一般采用均勻分布作為初始分布)π(x0)中抽取Ns個粒子構(gòu)成初始粒子群;

2)狀態(tài)更新

3)權(quán)值更新

根據(jù)k時刻的觀測值yk更新對應(yīng)的Ns個粒子的權(quán)值

式(14)展示了粒子濾波又被稱為序貫MC方法中序貫的含義.

4)粒子選優(yōu)

對這Ns個粒子按照權(quán)值的大小進(jìn)行排序,選出前面的Np個粒子;

5)權(quán)值歸一化

對選出的Np個粒子進(jìn)行權(quán)值歸一化處理:

6)k時刻狀態(tài)估計

7)權(quán)值恢復(fù)

先將選出來的Np個粒子的權(quán)值恢復(fù)到歸一化之前:,再對所有Ns個粒子進(jìn)行權(quán)值歸一化:

8)重采樣

9)求得狀態(tài)量的概率分布

實時更新狀態(tài)量zk的后驗概率分布:

返回步驟2)進(jìn)行循環(huán)迭代.

圖3 預(yù)測建模原理圖Fig.3 Illustration of the prediction modelling principle

圖4 慣性平臺穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)Fig.4 Stabilization loop controlled system in inertial platform

圖3展示了基于粒子濾波的擴(kuò)維狀態(tài)估計和系統(tǒng)剩余壽命在線預(yù)測的過程.圖3中剩余壽命PDF是在tn時刻Np個優(yōu)選粒子的基礎(chǔ)上進(jìn)行Ntraj次MC仿真的結(jié)果,具體方法見第3.3節(jié).

2.3 剩余壽命分布的求解

由于預(yù)測時刻進(jìn)行MC仿真的計算量較大,假設(shè)系統(tǒng)仿真步長和粒子濾波采樣間隔為?ts=0.001s,那么可以每隔?test=2000?ts=2s進(jìn)行剩余壽命在線預(yù)測.

假設(shè)初始時刻為t=0s,在系統(tǒng)進(jìn)入失效區(qū)域Φ之前,預(yù)測時刻是間隔為?test的等間隔采樣點t1,t2,···,tn.tn時刻系統(tǒng)剩余壽命的計算步驟如下:

1)確定初始狀態(tài)及仿真次數(shù)

通過式(15)計算得到tn時刻優(yōu)選粒子的擴(kuò)維狀態(tài)估計值,假設(shè)所有優(yōu)選粒子總共產(chǎn)生Ntraj條MC仿真軌跡,粒子權(quán)重越大,每個粒子分配到的仿真次數(shù)Ni也越大;

2)利用自舉法產(chǎn)生仿真軌跡并分配初始狀態(tài)

Forj=1,···,Ntraj

a)生成隨機數(shù):uj～U(0,1);

b)初始化累計概率wj=0;

c)Fori=1,···,, 當(dāng)wj≥uj時,,退出循環(huán);

3)MC仿真

以zj為狀態(tài)初值,對第j條軌跡按照式(11)和式(12)進(jìn)行仿真,當(dāng)φ<φmin時,保存此時的采樣時刻,最終所有軌跡的仿真結(jié)果即為系統(tǒng)剩余壽命的數(shù)值PDF.

3 仿真實驗與結(jié)果分析

3.1 仿真實驗

仿真采用慣性平臺穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)[41]對本文提出的剩余壽命預(yù)測方法進(jìn)行驗證.如圖4所示,該控制系統(tǒng)的傳感器由平臺上的敏感元件組成,如陀螺儀、加速度計等;控制器由框架角傳感器和位置補償控制器共同組成;執(zhí)行器直接作用于產(chǎn)生系統(tǒng)輸出的被控對象,此處執(zhí)行器為力矩電機.

系統(tǒng)模型如下[41]:

式中,Lm為電機電樞電感;Rm為電樞繞組;im為電機電樞電流;Ke為電機反電勢系數(shù);ωp為框架角速度;Um為電機控制電壓;Jm和JL分別為電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量和負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量;Km為電機的力矩系數(shù);θ為框架角.

由于執(zhí)行器在工作過程中存在控制效能損失的現(xiàn)象,系統(tǒng)模型中的模型參數(shù)也會隨之變化,而力矩系數(shù)中包含了電機的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征和性能水平,因此假設(shè)隱含退化量為力矩系數(shù)Km,則退化過程可以描述如下:

式中,μ(τ;im)是受電機的負(fù)載即電樞電流影響的退化漂移系數(shù),是一個變量.這種將執(zhí)行器的工作應(yīng)力與其所受負(fù)載聯(lián)系起來的假設(shè)是符合實際的,而負(fù)載越大退化速率越快也符合客觀規(guī)律.文獻(xiàn)[20]采用控制量平方來量化執(zhí)行器的工作應(yīng)力,鑒于此,假設(shè)退化漂移系數(shù)具有如下形式:

式中,λ為退化速率系數(shù),由式(19)可知,單位時間的退化量與電樞電流的平方成正比,代入式(18)可得:

數(shù)字式穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)建立在采樣數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,利用采樣數(shù)據(jù)可以方便地對隱含退化量進(jìn)行粒子濾波估計.因此,對穩(wěn)定回路采用數(shù)字PID控制,且對控制系統(tǒng)仿真和粒子濾波選擇相同的采樣周期.為了描述和編程方便,令x1=ia,x2=ωp,x3=θ,x4=Km,u=Um,y=x3,J=Jm+JL,對系統(tǒng)(17)進(jìn)行離散化,則整個閉環(huán)控制系統(tǒng)的完整描述如下:

其中,仿真步長取?t= ?ts=0.001s;Q3既是狀態(tài)量x3的過程噪聲,也是輸出量y的觀測噪聲,因此式(21)中不再考慮額外的測量誤差.過程噪聲Q1、Q2、Q3以及擴(kuò)散運動B均為獨立高斯隨機變量且均值為0,方差分別為q1、q2、q3:Q1～N(0,q1),Q2～N(0,q2),Q3～N(0,q3).

表1 慣性平臺穩(wěn)定回路模型Table 1 Stabilization loop model in inertial platform

在初始時刻,首先按照表1對各個參數(shù)以及狀態(tài)變量進(jìn)行初始化設(shè)置.在到達(dá)預(yù)測時刻之前的每一個采樣時刻,同時對系統(tǒng)進(jìn)行仿真和粒子濾波,x1、x2、x3、x4既是系統(tǒng)仿真軌跡中的狀態(tài)變量,也是粒子濾波過程中的估計量,對其按照式(23)～(26)分別進(jìn)行迭代運算,同時按照第2.2節(jié)步驟2)至步驟9)進(jìn)行粒子濾波.此時,每個狀態(tài)量的粒子分布即是該狀態(tài)量概率分布的數(shù)值逼近結(jié)果.當(dāng)?shù)竭_(dá)預(yù)測時刻時,按照第2.3節(jié)步驟1)～步驟3)對所有優(yōu)選粒子進(jìn)行MC仿真并得到每條仿真軌跡的剩余壽命,即為系統(tǒng)剩余壽命的數(shù)值PDF.

實驗中粒子規(guī)模取為Ns=500,優(yōu)選粒子數(shù)取為Np=40,MC仿真次數(shù)取為Ntraj=1000,當(dāng)輸出殘差|e|≥0.28 rad時認(rèn)為系統(tǒng)基于輸出殘差準(zhǔn)則失效.

3.2 結(jié)果分析

圖5(a)～(f)展示的是系統(tǒng)的真實失效過程以及粒子濾波采樣結(jié)果.從圖5中可以看出,在閉環(huán)反饋的作用下,系統(tǒng)在40s之前一直保持穩(wěn)定工作,系統(tǒng)輸出能夠有效跟蹤參考信號,然而力矩系數(shù)已經(jīng)發(fā)生退化.此時,通過對隱含退化量設(shè)置合理的閾值來預(yù)測失效時刻,相比基于輸出信號分析的壽命預(yù)測方法更加有效.從圖5(c)中可以明顯地看出電樞電流(即狀態(tài)x1)受到三種過程噪聲的共同影響,粒子濾波值對含噪聲的真實電流值跟蹤效果良好.

最后一步是在間隔?test的各個預(yù)測時刻t1,t2,···,tn,分別對系統(tǒng)的剩余壽命分布進(jìn)行預(yù)測.為進(jìn)一步比較不同時刻預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性,本文選取Tprog=t10=10s和Tprog=t30=30s兩個時刻的剩余壽命預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比.首先得到首達(dá)失效時刻tφ=44.2s和tφ=45.5s時退化量的分布,并由式(10)計算得到的失效閾值,分別為φmin=0.1614和φmin=0.1379.

圖6表示在不同時刻系統(tǒng)剩余壽命分布的預(yù)測結(jié)果.由圖6可見,距離系統(tǒng)失效時刻越近,剩余壽命分布就越集中,預(yù)測均值相對于系統(tǒng)真實剩余壽命的差距也越小,意味著預(yù)測的不確定性降低,精度提高.同時,基于變閾值失效準(zhǔn)則的系統(tǒng)剩余閾值壽命與基于輸出殘差失效準(zhǔn)則的真實剩余壽命也越接近,這是因為采用的變閾值方法充分利用了在線數(shù)據(jù),對失效閾值起到了在線調(diào)整以逼近真實失效過程的作用.

圖5 慣性平臺穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)仿真Fig.5 Simulation of stabilization loop controlled system for inertial platform

圖6 系統(tǒng)的剩余壽命分布Fig.6 Remaining reliability life distribution of the system

圖7是系統(tǒng)在不同預(yù)測時刻、不同失效閾值下的可靠度直方圖,可見預(yù)測時刻越接近失效時刻,基于變閾值的可靠度曲線越陡峭,這說明系統(tǒng)由于控制效能損失導(dǎo)致控制冗余度下降,在t=30s比在t=10s更易受到隨機干擾的影響而發(fā)生失效.由圖可知,越往后可靠度斜率越大、退化過程不確定性越小,退化速率越快,這也與非線性退化過程的特點吻合.

圖7 不同預(yù)測時刻的可靠度Fig.7 Reliability calculated at different predicting moments

為進(jìn)一步定量比較不同時刻剩余壽命預(yù)測結(jié)果的精度,引入剩余壽命的均方誤差:

式中,Te為系統(tǒng)基于輸出殘差失效準(zhǔn)則的真實剩余壽命,TKm為系統(tǒng)基于預(yù)測時刻tk失效閾值準(zhǔn)則的剩余閾值壽命;為第i條仿真軌跡所得的剩余壽命預(yù)測值.MSEe用來表示基于隱含退化量失效閾值準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果在描述系統(tǒng)真實健康水平時的準(zhǔn)確性,MSEKm用來表示在基于隱含退化量失效閾值準(zhǔn)則的前提下,預(yù)測結(jié)果與真實剩余閾值壽命的偏差,表征預(yù)測精度.為方便對比基于變閾值方法與基于固定閾值方法在控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測應(yīng)用中的區(qū)別,選擇0.12205作為固定失效閾值,將4個預(yù)測時刻的計算結(jié)果列于表2和表3.表中,真實剩余壽命是指在輸出殘差準(zhǔn)則下系統(tǒng)的真實剩余壽命,剩余閾值壽命是指在失效閾值準(zhǔn)則下系統(tǒng)的剩余壽命,是對系統(tǒng)真實剩余壽命的近似.

表2 基于固定閾值不同時刻預(yù)測結(jié)果對比Table 2 Comparison of prediction results based on fixed threshold at different times

表3 基于變閾值不同時刻預(yù)測結(jié)果對比Table 3 Comparison of prediction results based on variable threshold at different times

從表2中可以看出,基于固定閾值方法在不同時刻的預(yù)測精度依賴于所選固定閾值的大小和準(zhǔn)確性,其中表征預(yù)測精度的指標(biāo)MSEKm不具有隨著時間推移而減小的特性,說明在固定閾值的框架下,基于隱含退化量失效閾值的預(yù)測方法不能通過在線積累數(shù)據(jù)而對未來退化軌跡進(jìn)行有效修正,或者說當(dāng)失效閾值這個判斷標(biāo)準(zhǔn)本身不準(zhǔn)確時,預(yù)期退化軌跡精度提高的利好被不準(zhǔn)確的判斷標(biāo)準(zhǔn)抵消了.而在表3中,MSEKm和MSEe都會隨著時間的推移而逐漸減小,說明變閾值方法通過不斷獲取在線數(shù)據(jù)對系統(tǒng)未來的退化軌跡預(yù)期做出調(diào)整,有利于提高預(yù)測精度,這是基于固定閾值方法所不具備的優(yōu)勢.同時,表3中MSEe的大小總體上也小于表2,證明本文所提方法能夠更加準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的健康水平.至此,本文提出的剩余壽命預(yù)測方法的有效性和優(yōu)越性得到了驗證.

4 總結(jié)與展望

本文針對考慮執(zhí)行器性能退化的閉環(huán)控制系統(tǒng),提出一種基于解析模型的控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測方法.首先,采用權(quán)值優(yōu)選粒子濾波算法,利用在線輸入輸出數(shù)據(jù)估計出執(zhí)行器的隱含退化量;然后,利用MC仿真設(shè)置合理的失效閾值,建立基于變失效閾值的系統(tǒng)失效判斷準(zhǔn)則;最后,將隱含退化量的估計值代入退化模型中外推出剩余壽命分布.仿真實驗表明,本文提出的方法能夠解決閉環(huán)控制系統(tǒng)的可靠性評估問題,為系統(tǒng)失效前的健康管理活動提供可信依據(jù),提高了系統(tǒng)的安全性和可靠性.相比于傳統(tǒng)的單部件系統(tǒng)預(yù)測方法,本文方法考慮了控制作用的影響,具有潛在的工程應(yīng)用價值.

下一步可能的研究方向包括:1)實際工程中的控制系統(tǒng)往往是由多執(zhí)行器、多傳感器、多控制器共同組成的,這些部件都有可能發(fā)生性能退化而導(dǎo)致系統(tǒng)失效,可以針對多部件隱含退化過程展開研究;2)可以根據(jù)剩余壽命預(yù)測結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的維修、管理,或是改進(jìn)控制器的設(shè)計以延長系統(tǒng)壽命,使該方法進(jìn)一步應(yīng)用到實際工程中.