許培琳

江蘇省連云港外國語學(xué)校 (222006)

高考(模擬)試題設(shè)計力求具有情境熟，入口多，方法靈活多樣的特點，同時要求對數(shù)學(xué)知識的考查既全面又突出重點.小題的設(shè)計以短、平、活為主，小題的解答以快、簡、準為原則進行，能更好地體現(xiàn)學(xué)生對知識的掌握程度與學(xué)生的應(yīng)試能力，因此小題也頗有探析的價值.本文以2019屆姜堰中學(xué)、淮陰中學(xué)高三期中聯(lián)考第13題為例進行解析.

1.試題呈現(xiàn)

已知圓O：x2+y2=1，過定點A(3,0)的直線l與圓O相交于B,C兩點，且B,C兩點均在x軸的上方，若OC平分∠AOB，則直線l的斜率為.

這道題是填空壓軸題，在直線和圓位置關(guān)系等知識的交匯處命制，即考查了弦長公式、角平分線定理、向量共線定理、余弦定理、面積公式、三角函數(shù)的定義、兩點斜率公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，又考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，突出了能力立意，彰顯了數(shù)學(xué)思想方法.看起來背景熟悉、平淡無奇，實際上內(nèi)涵豐富，解題思路較多.從不同的角度去審視它可以得出一系列優(yōu)美解法，為學(xué)生提供了多樣化的選擇，是一道匠心獨運的好題.

2.解法探究

圖1

解法1:由OC平分

回過頭來看，出現(xiàn)在ΔAOB中的底OA=3為一定值能否利用面積公式和結(jié)合余弦定理，于是得到解法4.

在ΔAOB中能否利用幾何方法結(jié)合三角函數(shù)定義求出斜率？

圖2

由于題目的條件是在單位圓中，我們聯(lián)想到用設(shè)參數(shù)方法求解，得到解法6.

3.變式探究

在尋求解法的同時，領(lǐng)略考題的本質(zhì)，挖掘其深刻的內(nèi)涵，作出一些必要的延伸，充分發(fā)揮試題的功能和作用.

變式1 已知圓O：x2+y2=1，定點A(3,0)，過點A的直線l與圓O相交于B,C兩點，且B,C兩點均在x軸的上方，若點C恰好是線段AB的中點，則直線l的斜率為.

變式3 在平面直角坐標系xoy中，已知點O(0,0),A(0,3),如果圓C:(x-a)2+(y-2a+4)2=1上總存在點M，使得MA=2MO,則圓C的圓心橫坐標a取值范圍是.

4.亮點賞析

4.1 基于教材素材，立足基礎(chǔ)知識

本題的素材來源于蘇教版必修2P117頁習(xí)題2.2(2)第3題，體現(xiàn)了考試命題“源于教材，高于教材”的指導(dǎo)思想.題面簡潔，題意新穎，在諸多基礎(chǔ)知識和基本方法的交匯處命制，表述通俗，意圖清晰，難易適中，構(gòu)思巧妙，符合學(xué)生的認知規(guī)律，有良好的區(qū)分度.試題立足教材，以教材中的習(xí)題為題根，給學(xué)生以親切感，同時對教師的教和學(xué)生的學(xué)起到很好的導(dǎo)向作用.

4.2 解題思路寬泛，突出通性通法

本題的解法可謂靈活多樣，可以從單純的解析幾何的通性通法入手，也可以從向量視角入手、還可以利用三角函數(shù)的知識解決，或者引入?yún)?shù)，或者從平面幾何知識入手.從不同視角，不同的高度都可以得到解決問題的思路，但不同的思路，運算的繁簡程度也不盡相同.突出通性和通法的考查是一大亮點.在解題教學(xué)中要把通性通法的訓(xùn)練作為重頭戲，要讓學(xué)生獨立思考、嘗試解答，通過展示和交流使學(xué)生，在問題求解中掌握通性和通法.

4.3 著眼數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查學(xué)習(xí)潛力

本題很好地體現(xiàn)了高考對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛力的考查，特別是對運算素養(yǎng)的考查體現(xiàn)的淋漓盡致.許多學(xué)生解題思路清晰，解題目標也很明確，但是在運算上遇到了阻礙，陷于繁雜的運算中不能自拔，不能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê喕\算，導(dǎo)致功虧一簣，造成遺憾.提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能尤為重要，應(yīng)該引起教師的高度重視.

5.結(jié)束語

在解題教學(xué)中，教師要緊扣課程標準，著眼教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)理論、教學(xué)實踐與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有機結(jié)合，以問題為導(dǎo)向，不斷探索，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上認識數(shù)學(xué)，從策略上優(yōu)化數(shù)學(xué)解題，從方法和思想上發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維，為學(xué)生營造良好的數(shù)學(xué)教育環(huán)境，使素養(yǎng)之花在學(xué)生心中自然綻放，讓數(shù)學(xué)課堂精彩紛呈.