葉金鑫 張 昆

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000)

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要形式之一，針對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特怔，在課堂上引發(fā)師生之間，生生之間的討論與交流，充分利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，尋找解決問(wèn)題的策略和方法，拓展學(xué)生的解題思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，是解題教學(xué)的理想追求.有些問(wèn)題比較新穎，同學(xué)們從表象中難以看出玄機(jī)，這時(shí)體現(xiàn)了提高數(shù)學(xué)抽象能力的重要性.下面筆者來(lái)具體談?wù)剶?shù)學(xué)抽象能力.

1.數(shù)學(xué)抽象能力概念的界定

所謂抽象，通常是指從眾多的事物中抽取出共同的和本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)特征的思維過(guò)程.數(shù)學(xué)抽象則是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，抽取出一般的基本概念、本質(zhì)特征以及運(yùn)算規(guī)律等數(shù)學(xué)屬性的思維過(guò)程.數(shù)學(xué)抽象是一種高級(jí)的數(shù)學(xué)思維能力，也是數(shù)學(xué)能力的核心.數(shù)學(xué)抽象能力具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)在普遍現(xiàn)象中存在差異的能力，在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力，分離出問(wèn)題的核心和實(shí)質(zhì)的能力，由特殊到一般的能力，從非本質(zhì)的細(xì)節(jié)中使自己擺脫出來(lái)的能力，把本質(zhì)的與非本質(zhì)的東西區(qū)分開(kāi)來(lái)的能力，善于把具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力等等方面.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)是以數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，抽取同類事物中共同的、本質(zhì)的屬性或特征，形成新的事物的思維過(guò)程.數(shù)學(xué)抽象思維能力的基本方法類似于自然科學(xué)的思維方法，如觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納，也類似于社會(huì)科學(xué)的思維方法，如反駁、猜測(cè)、想象、直覺(jué)等.

2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的作用

作為數(shù)學(xué)能力的核心，數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中占據(jù)最重要地位.甚至可以說(shuō)，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).一方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中需要學(xué)習(xí)者具備一定的抽象能力.由于數(shù)學(xué)具有抽象性的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)者只有具備一定程度的抽象能力，才能對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)知實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.另一方面，數(shù)學(xué)的應(yīng)用過(guò)程也對(duì)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有一定的要求.在數(shù)學(xué)的應(yīng)用活動(dòng)中，要求學(xué)習(xí)者能將所遇情境進(jìn)行數(shù)學(xué)化和抽象化，并與已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，最終利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題并將問(wèn)題還原回實(shí)際情況.這一系列的活動(dòng)都是建立在數(shù)學(xué)抽象基礎(chǔ)上的，所以，教師在教學(xué)活動(dòng)中要特別注重對(duì)數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng).學(xué)生抽象能力越高，在學(xué)習(xí)中的遷移能力就越強(qiáng)，對(duì)新的知識(shí)的理解和掌握也就越快.抽象是思維最重要的特點(diǎn).因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)抽象才能使人的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律.因此抽象的水平在一定程度上反映了學(xué)生的思維水平.如果學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力提高了，他們的邏輯思維水平才會(huì)真正提高.從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中能迅速抓住本質(zhì)，提升學(xué)習(xí)效率，為以后的學(xué)習(xí)奠定基石.既然數(shù)學(xué)抽象能力對(duì)學(xué)生發(fā)展的作用如此之大，那么筆者從一道高考題出發(fā)，具體談?wù)勌岣邤?shù)學(xué)抽象能力對(duì)解題的益處，希望對(duì)老師們今后的教學(xué)有所幫助.

3.在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生抽象能力

我們引入的這道高考題的例子，都是源于真實(shí)高三數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)課上所講授的解題教學(xué)內(nèi)容，只是為了行文表達(dá)的技術(shù)上需要，我們?cè)诓桓淖兪谡n教師原來(lái)設(shè)計(jì)所生成的教學(xué)環(huán)節(jié)及聯(lián)結(jié)這些環(huán)節(jié)的中介的基礎(chǔ)上，在極少數(shù)地方作了改動(dòng).

例1 已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c，若cosα+cosβ=cosα·cosβ，求證c2-b2=2ac.

師：已知條件為acosα+bsinα=c①，acosβ+bsinβ=c②，若cosα+cosβ=cosα·cosβ③，我們?cè)撊绾巫C明c2-b2=2ac④.

生1：這道題我是這樣想的，告訴我們兩個(gè)已知條件，我準(zhǔn)備從等式①出發(fā)，因?yàn)樯婕暗絪inα,cosα，自然想起了三角關(guān)系式sin2α+cos2α=1，如果要湊成三角關(guān)系式，那么可能要平方，于是我想對(duì)兩邊進(jìn)行平方，再利用三角公式sin2α+cos2α=1進(jìn)行替換，這樣就只有一個(gè)未知數(shù)了，另一個(gè)式子也是如此，即(acosα+bsinα)2=c2，得到a2cos2α+2abcosαsinα+b2sin2α=c2，寫(xiě)到這步突然發(fā)現(xiàn)2abcosαsinα不好處理，于是…

師：這位同學(xué)想到這步已經(jīng)很好了，他既然遇到2abcosαsinα不好處理，同學(xué)們能不能想一種既用到兩邊平方也不出現(xiàn)2abcosαsinα這種形式的方法.同學(xué)們可以討論一下.

生：議論紛紛.

生2：老師，我發(fā)現(xiàn)只要把a(bǔ)cosα或bsinα其中一個(gè)調(diào)到等式的另一邊就可以了，這樣就不會(huì)出現(xiàn)2abcosαsinα這種乘積的形式了，我們首先可以把bsinα放到等式的另一邊，再兩邊平方，接著用三角公式sin2α+cos2α=1進(jìn)行替換，這樣就只出現(xiàn)一個(gè)未知數(shù)了，另一個(gè)式子也如此.

師:很好，結(jié)合以上兩位同學(xué)的共同想法我來(lái)具體化一下

解：由題意得acosα-c=-bsinα,兩邊平方得(acosα-c)2=(-bsinα)2,展開(kāi)得a2cos2α-2accosα+c2=b2sin2α,因?yàn)閟in2α=1-cos2α,所以a2cos2α-2accosα+c2=b2(1-cos2α),整理得

(a2+b2)cos2α-2accosα+c2-b2=0⑤,同理可得(a2+b2)cos2β-2accosβ+c2-b2=0⑥.

師：接下來(lái)同學(xué)們?cè)撛趺崔k呢？大家可以分小組討論一下.

課堂活動(dòng)記錄：學(xué)生你一言我一語(yǔ)的討論著，有的還在紙上認(rèn)真的演算...

生3：我們小組是這樣想的，觀察⑤⑥兩式，我們發(fā)現(xiàn)了它們的相同點(diǎn)，它們除了cosα,cosβ不相同外，其它的都相同，我們想可不可以用一個(gè)未知數(shù)來(lái)代替，于是把cosα,cosβ看成是方程(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0的兩個(gè)根，再根據(jù)方程根與系數(shù)的性質(zhì)得出兩根之和與兩根之積，又因?yàn)橐阎獥l件等式③，我們可以得出兩根之和與兩根之積是相等的，這樣就可以證明出這個(gè)問(wèn)題.我來(lái)具體化一下過(guò)程，接著生2的想法，我接著寫(xiě).

由上述⑤⑥兩個(gè)式子可得cosα,cosβ是方程

其實(shí)這一題到這里算是一種比較好的解法了，首先通過(guò)自己之前的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)把不熟悉的式子轉(zhuǎn)化成具有相同形式的式子，再觀察式子的相同點(diǎn)，進(jìn)行抽象，把⑤⑥兩個(gè)式子用⑦一個(gè)式子來(lái)表示，最后證明出結(jié)果.在解題過(guò)程中學(xué)生們初步接觸用抽象方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在日常的解題教學(xué)中老師要時(shí)刻滲透這種抽象的思想，使得知識(shí)的形成，應(yīng)用更具自然，流暢.讓同學(xué)們掌握這種思想，使他們得到提升.在教學(xué)過(guò)程中又有學(xué)生提出這樣的問(wèn)題.

生4：像生1生2那種思路我一下子可能想不到，老師有沒(méi)有其它簡(jiǎn)單點(diǎn)的思路呢?

師：確實(shí)，我們遇到難題都希望化繁為簡(jiǎn)，當(dāng)看到復(fù)雜的解法時(shí)，往往會(huì)想如果有更簡(jiǎn)單的方法就好了，那請(qǐng)同學(xué)們利用我們剛剛學(xué)的抽象方法想想看有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的證明方法呢？

生：一片討論聲.

生5：我通過(guò)觀察①②兩式，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子的形式完全相同，利用方法一的思路，可以將①②兩式進(jìn)行抽象，得出一個(gè)式子ax+by=c，這里將cosα,cosβ抽象成x，sinα,sinβ抽象成y，由此又想到把三角公式sin2α+cos2α=1，抽象成x2+y2=1，聯(lián)立兩個(gè)式子，得出和方法一相同的式子(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0，后面的過(guò)程和方法一就相同了.

師：說(shuō)的真好，聽(tīng)了生5的解題思路，現(xiàn)在我請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來(lái)具體化一下思路.

這種解法相比于方法一可能更簡(jiǎn)單，不需要經(jīng)過(guò)任何轉(zhuǎn)化，只需要根據(jù)抽象法的要求，觀察相同點(diǎn)，再把相同點(diǎn)用一個(gè)未知數(shù)來(lái)代替.這樣省去轉(zhuǎn)化中的繁瑣計(jì)算，更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).由這道題的兩種解法，同學(xué)們了解了在問(wèn)題解決不出來(lái)的時(shí)候大家可以回過(guò)頭來(lái)想想這個(gè)問(wèn)題可不可以用抽象化來(lái)解題，或許對(duì)我們解決問(wèn)題會(huì)有所幫助.

4.兩種具體解法分析

由上述一道題的兩種解法，我們可以得出提高抽象能力在我們?nèi)粘＝忸}中的重要性.不管是第一種解法在解題過(guò)程中的間接抽象，還是第二種解法在題目一開(kāi)始就直接抽象，都要求我們對(duì)抽象能力有一定的理解和把握.下面筆者來(lái)具體談?wù)勥@兩種解法.

第一種解法：從題目本身出發(fā)，直接從已知條件入手，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把題目轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的形式，這就是第一步移項(xiàng)得出的acosα-c=-bsinα，再兩邊平方得出(acosα-c)2=(-bsinα)2，其實(shí)這步是學(xué)生1和學(xué)生2經(jīng)過(guò)多次移項(xiàng)的嘗試得來(lái)的，如果稍有不慎就可能陷入學(xué)生1的囧境.所以這種解法對(duì)于解題能力稍弱的同學(xué)可能是困難的.接下來(lái)要用到一個(gè)三角公式sin2α+cos2α=1，把這個(gè)式子代入，整理出一個(gè)式子(a2+b2)cos2α-2accosα+c2-b2=0，同理可得另一個(gè)式子，(a2+b2)cos2β-2accosβ+c2-b2=0，觀察這兩個(gè)式子抽象出一個(gè)方程(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0，最后根據(jù)方程的性質(zhì)證明出結(jié)果.這種解法相比較第二種解法多了前面的轉(zhuǎn)化過(guò)程，也間接繁瑣了計(jì)算，增加了思維的復(fù)雜程度，對(duì)于剛接觸抽象法的學(xué)生來(lái)說(shuō)是有點(diǎn)難以接受，很容易讓他們對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣和信心.

第二種解法：從第一步就是觀察等式①②，觀察出相同點(diǎn)后把相同點(diǎn)用一個(gè)未知數(shù)來(lái)代替即抽象成ax+by=c，再把我們所熟悉的一個(gè)公式sin2α+cos2α=1，抽象成x2+y2=1，聯(lián)立兩個(gè)公式可得出結(jié)果(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0，后面的解法就和解法一一樣了.這題不需要像第一題那樣的繁瑣計(jì)算，直接從已知條件出發(fā)，抽象出最一般的代表，得出結(jié)果.作為提高學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中抽象能力的入門(mén)例題，這種解法能很快的讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)解題中的抽象思想，從中體會(huì)到具備抽象能力的優(yōu)勢(shì)和益處，激發(fā)學(xué)生學(xué)好此類方法的興趣，進(jìn)而在不知不覺(jué)中形成解決問(wèn)題的抽象能力.所以筆者認(rèn)為要時(shí)時(shí)培養(yǎng)這種思想，在課堂教學(xué)過(guò)程中老師要潛移默化的滲透這種思想，這也是這題的精神所在.

這兩種解法的不同點(diǎn)在于解法一是在過(guò)程中進(jìn)行抽象而解法二是在一開(kāi)始就進(jìn)行抽象，解法一比解法二多了開(kāi)頭的轉(zhuǎn)化.但兩種解法的相同點(diǎn)都是要求學(xué)生掌握這種數(shù)學(xué)抽象的方法，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)抽象能力.從更有利于學(xué)生掌握這種抽象方法來(lái)說(shuō)，筆者更傾向于第二種解法，因?yàn)閺膯?wèn)題的一開(kāi)始就需要學(xué)生們具有抽象化能力，直接從已知條件抽象，不需要繁瑣的轉(zhuǎn)化過(guò)程，這樣也相對(duì)減少題目的運(yùn)算量，簡(jiǎn)化了思維，更有利于學(xué)生們接受這種方法.不論哪種解法，都強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)抽象能力，而這種能力是很難培養(yǎng)的，需要教師在日常的解題教學(xué)中逐步去滲透這種思想.這一題的第二種解法也給我們教師一種啟示，如果學(xué)生在以前就有了這種思想的培養(yǎng)，那這題就非常容易了，也避免了像第一種解法的繁瑣計(jì)算.所以及早鍛煉學(xué)生的這種能力，為學(xué)生以后的思維發(fā)展奠定基石.這也是筆者寫(xiě)這篇文章的意義所在.

5.簡(jiǎn)要的結(jié)論

由此，我們可以得到這樣的結(jié)論：教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)和在日常教學(xué)生的解題過(guò)程中都要時(shí)時(shí)刻刻的滲透“提高數(shù)學(xué)抽象能力”的思想.俗話說(shuō)“多一點(diǎn)想就有可能少一點(diǎn)算”，這也是近些年高考命題的趨勢(shì)，因此在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，應(yīng)倡導(dǎo)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w類，掌握相應(yīng)的求解方法，來(lái)為我們解題提供方便.總之，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，其過(guò)程需要教師和學(xué)生大量的練習(xí)和嘗試.作為教師，應(yīng)該通過(guò)多種途徑給學(xué)生提供鍛煉的機(jī)會(huì)，而作為學(xué)生，應(yīng)該主動(dòng)積極地思考和總結(jié)，在具體和抽象之間多做轉(zhuǎn)化，對(duì)所學(xué)內(nèi)容勤于總結(jié)，最好能用自己的語(yǔ)言復(fù)述和整理，有意培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)抽象能力，為自己今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).