趙國 陳建功

摘 要：基于滑楔體整體極限平衡方程，根據(jù)變分法原理推導(dǎo)了被動(dòng)土壓力泛函極值的變分模型，并引入拉格朗日乘子，將等周變分模型轉(zhuǎn)化為含有兩個(gè)函數(shù)自變量的泛函極值模型。依據(jù)歐拉方程、邊界條件和橫截條件，得到了滑裂面函數(shù)和滑裂面上的應(yīng)力函數(shù)，函數(shù)泛函極值模型轉(zhuǎn)化為兩個(gè)未知量的函數(shù)優(yōu)化模型。算例表明，對于一般土體，在作用點(diǎn)位置系數(shù)下界限處，滑裂面呈現(xiàn)對數(shù)螺旋曲面，此時(shí)被動(dòng)土壓力最小;當(dāng)作用點(diǎn)位置上移時(shí)，被動(dòng)土壓力呈非線性增長，在作用點(diǎn)位置系數(shù)上界限處，滑裂面為平面，被動(dòng)土壓力達(dá)到最大，與庫侖土壓力理論解完全一致，但作用點(diǎn)在墻體的相對位置并非在墻高的1/3處。結(jié)果表明，被動(dòng)土壓力大小和作用點(diǎn)位置受坡面的起伏和坡面超載的不均勻性影響比較明顯。

關(guān)鍵詞：剛性擋墻;被動(dòng)土壓力;變分極限平衡法;滑裂面

中圖分類號：TU476

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? 文章編號：2096-6717（2019）02-0029-07

Abstract：Considering an inclined rough retaining wall under the general conditions such as curvilinear fill， cohesive soil and uneven surface load， the functional extreme-value isoperimetric model about passive earth pressure is deduced based on the force equilibrium equations of the sliding mass. Then， the model can be transferred into a functional extreme-value problem with two undetermined functions by introducing Lagrange undetermined multiplier. According to Euler equations， Logarithmic spiral slip surface and normal stress distribution along the slip surface are obtained. Combined with the boundary conditions and transversality conditions， the conditional functional extremum problem of passive earth pressure? involves searching the minimum of unconstrained optimizations of function with two unknown Lagrange multiplier. Results show that the passive earth pressure resultant force is minimal when the point of resultant force is on the lower bound and it increase nonlinearly as the point of resultant force moved up to the upper bound for general soil. Accordingly， the slip face evolves from logarithmic spiral face to plan. Although the magnitude of passive earth pressure reaches maximal that is the same with result calculated from Coulombs theory， the application point of earth pressure is not at 1/3 height of the retaining wall. In addition， curvilinear fill and uneven surface load have significant effect on both the magnitude and? location of application point of passive earth pressure.

Keywords：rigid retaining wall; passive earth pressure; variational limit equilibrium method; slip surface

被動(dòng)土壓力的計(jì)算是擋土墻上土壓力理論研究內(nèi)容之一，除了對經(jīng)典的朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論進(jìn)行擴(kuò)展、補(bǔ)充外，學(xué)者們在考慮其他諸如土拱效應(yīng)、強(qiáng)度理論、位移模式等方面也對被動(dòng)土壓力的計(jì)算進(jìn)行了深入探討。李永剛[1]、王立國等[2]考慮了土拱效應(yīng)原理，按庫侖理論得到土壓力強(qiáng)度的計(jì)算方法。侯鍵等[3]對平移模式下剛性擋土墻和滑裂面間處于被動(dòng)極限平衡狀態(tài)的楔形土體進(jìn)行應(yīng)力分析，推導(dǎo)了基于土拱原理的被動(dòng)土壓力系數(shù)和滑裂面水平傾角，并提出被動(dòng)土壓力分布、土壓力合力及其作用位置公式。Chang[4]、蔣波等[5]和楊泰華等[6-9]對不同變位模式下的非極限主動(dòng)土壓力進(jìn)行計(jì)算，提出考慮位移效應(yīng)的被動(dòng)土壓力計(jì)算理論。程康等[10]推導(dǎo)了平動(dòng)模式下非飽和土填土擋墻的被動(dòng)土壓力系數(shù)及被動(dòng)土壓力解析解。趙均海等[11]考慮基質(zhì)吸力等因素的影響，結(jié)合雙剪強(qiáng)度理論，建立了非飽和土庫侖被動(dòng)土壓力的統(tǒng)一解。

變分極限平衡法最早是由Kopácsy提出的[12-14]。李興高、劉維寧等[15-17]基于墻后滑楔體整體極限平衡方程，建立了被動(dòng)土壓力計(jì)算的泛函極值模型，計(jì)算結(jié)果表明，擋墻背后土體存在兩種被動(dòng)臨界狀態(tài)，兩種狀態(tài)的計(jì)算結(jié)果就是被動(dòng)土壓力大小的一個(gè)區(qū)間估計(jì)。該方法所建模型為填土面水平、墻背垂直的情況，不能用于一般情況。對于承受被動(dòng)土壓力的擋土墻（如橋臺(tái)），有必要研究合力作用點(diǎn)位置對被動(dòng)土壓力大小的影響，本文考慮在一般情況下（傾斜墻背，填土表面非均勻堆載，墻后為黏性土體，坡面為曲面），利用變分法原理，提出基于合力作用點(diǎn)位置的被動(dòng)土壓力計(jì)算方法，由此可以得到擋墻被動(dòng)土壓力的大小和作用點(diǎn)位置的范圍。

1 被動(dòng)土壓力變分計(jì)算模型

設(shè)擋土墻高為H，坡面形狀為y=g（x），傾斜角為α，墻后土體容重為γ，墻土間的摩擦角為δ，黏聚力為c、內(nèi)摩擦角為φ，qx為作用在坡面上的豎向壓力集度?？紤]極限平衡條件下墻后土體形成滑動(dòng)楔體，假定其滑裂面通過擋墻墻踵，用曲線y=s（x）表示，Pp為擋土墻對滑動(dòng)土體的作用合力，其值等于被動(dòng)土壓力合力。σ（x）、τ（x）為滑裂面上的法向和切向應(yīng)力，點(diǎn)B為滑裂面的上端的點(diǎn)，其X坐標(biāo)為x1，A為墻背的上端點(diǎn)，其X坐標(biāo)為x2點(diǎn)，x2=-tan α，被動(dòng)土壓力作用點(diǎn)位置至墻踵的垂直距離與擋土墻高度的比值稱為作用點(diǎn)位置系數(shù)ξ，見圖1?；wOAB的靜力平衡方程為

設(shè)擋土墻墻高6 m，墻后為砂土，重度γ=18 kN/m3，內(nèi)聚力c=0，內(nèi)摩擦角φ=30°，擋土墻傾角α=70°，擋墻與土體的摩擦角δ=10°，坡面傾角β=20°，上部堆載q=10 kPa。

計(jì)算結(jié)果見圖3，圖中Φ曲線存在一Φ=0的水平直線段，此直線段的ξ系數(shù)變化范圍就是被動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)的位置系數(shù)范圍，存在上下界限值（此例中下限值ξd=0.336 9，上限值ξu=0.535 5），在此范圍內(nèi)，Φ=0，也即是說，當(dāng)土壓力的合力作用點(diǎn)位于距墻鍾2.02～3.21 m范圍內(nèi)時(shí)，墻后土體可以達(dá)到極限平衡狀態(tài)。圖4為被動(dòng)土壓力合力隨作用點(diǎn)位置系數(shù)ξ的變化曲線，圖5為滑裂面隨作用點(diǎn)位置系數(shù)ξ的變化情況。隨著作用點(diǎn)位置系數(shù)的增大，被動(dòng)土壓力呈非線性增長，在作用點(diǎn)位置下限處，被動(dòng)土壓力最小，滑裂面為對數(shù)螺旋曲面，但隨著作用點(diǎn)位置的上移，曲率半徑逐漸增大，到上限處變?yōu)槠矫?，此時(shí)，被動(dòng)土壓力值達(dá)到最大。

4 與庫侖土壓力理論結(jié)果對比

按變分法的計(jì)算結(jié)果與按庫侖公式的計(jì)算結(jié)果見表1?？梢钥闯?，當(dāng)作用點(diǎn)位置在上界限時(shí)，即滑裂面為平面時(shí)，被動(dòng)土壓力值與按庫侖公式得到的土壓力值是一致的，但合力作用點(diǎn)位置卻不一致，這主要是因?yàn)閹靵隼碚摷俣ㄍ翂毫€性分布，且不考慮土楔體力矩平衡條件。按變分法的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)滑裂面為平面時(shí)，滑裂面上的應(yīng)力分布呈非線性，相應(yīng)的土壓力分布也應(yīng)是非線性的。

圖6所示為庫侖理論的擋土墻模型，取墻后部分三角形滑動(dòng)土楔體ABD作為研究對象，如圖7所示。Pp（y）為墻背對滑楔體的支撐反力合力，也即被動(dòng)土壓力合力;R（y）為不動(dòng)土體對滑楔體的反力合力;G（y）為土體ABD的重量;Q（y）為作用在AD面上豎向壓力。

式中：ryD=σ（xD）cos φ，σ（xD）為滑裂面上D點(diǎn)的正應(yīng)力，可由式（23）計(jì)算得到。通過變分法計(jì)算滑面上的正應(yīng)力及滑面傾角，就可通過式（30）得到被動(dòng)土壓力強(qiáng)度的非線性分布。圖9即為算例中當(dāng)滑裂面為平面時(shí)的被動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布圖。

表1中的安全系數(shù)一欄是指按庫侖公式進(jìn)行擋墻的抗傾覆設(shè)計(jì)，取1.5的安全系數(shù)時(shí)所對應(yīng)的按本文方法計(jì)算的抗傾覆安全系數(shù)范圍。若按庫侖理論進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)際的被動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)位置比庫侖理論設(shè)定的要高，其安全系數(shù)達(dá)不到1.5的要求，所以，應(yīng)優(yōu)化擋墻的結(jié)構(gòu)，控制擋墻的變位模式，使合力作用點(diǎn)降低，提高抗傾覆安全系數(shù)。

5 坡面起伏和非均勻超載對被動(dòng)土壓

力的影響

設(shè)擋墻高6 m，墻后土重度γ=18 kN/m3，內(nèi)聚力c=10 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，擋土墻傾角α=70°， 坡面形狀函數(shù)g（x）和非均勻超載q（x）均用三角函數(shù)模擬坡面的起伏和非均勻超載。表2為計(jì)算結(jié)果，可以看出，被動(dòng)土壓力合力和作用點(diǎn)受坡面的起伏以及坡面超載的不均勻性影響不能忽視。

6 結(jié)論

基于墻后滑楔體整體極限平衡方程，利用變分法原理推導(dǎo)了被動(dòng)土壓力泛函極值的變分模型，提出了相應(yīng)的計(jì)算方法，當(dāng)作用點(diǎn)位置已知時(shí)，可有效確定被動(dòng)土壓力大小和滑裂面形狀位置。算例分析表明，墻后土體的極限平衡狀態(tài)對應(yīng)于作用點(diǎn)位置系數(shù)范圍，隨著作用點(diǎn)位置系數(shù)的增大，被動(dòng)土壓力呈非線性增長，在作用點(diǎn)位置下限處，被動(dòng)土壓力最小，滑裂面為對數(shù)螺旋曲面，但隨著作用點(diǎn)位置的上移，滑裂面曲率半徑逐漸增大，到上限處變?yōu)槠矫?。此時(shí)，被動(dòng)土壓力值達(dá)到最大，且與按庫侖理論計(jì)算的被動(dòng)土壓力一致，但作用點(diǎn)位置位于墻背中點(diǎn)以上，與庫侖理論所假定的合力作用點(diǎn)位置不一致。

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