郝靜遠(yuǎn) 李 東 馬青華 張學(xué)梅

(西安思源學(xué)院能源及化工大數(shù)據(jù)中心，陜西 710038)

在溫度壓力共同作用下，煤層吸附氣含量會出現(xiàn)極大值。大家熟悉的示意圖包括有機(jī)質(zhì)吸附甲烷氣模型圖(圖1)和煤階吸附氣量變化圖(圖2)。

圖1 有機(jī)質(zhì)吸附甲烷氣模型圖

圖1和圖2表示對于不同煤階的煤巖，其吸附量會隨埋深的增加一開始上升，達(dá)到一個(gè)極大值后會隨著埋深的進(jìn)一步增加而下降。從圖2中還看出對于阜康、韓城這些較大鏡質(zhì)組反射率的高階煤有十分明顯極值，而對于新疆的五彩灣、老君廟這些較小鏡質(zhì)組反射率的低階煤煤巖的極值卻不明顯。本文將試圖解釋能否有一個(gè)溫度-壓力-吸附方程能從數(shù)學(xué)上解釋為什么煤層氣吸附量會出現(xiàn)極大值及出現(xiàn)極大值的必要條件和必要且充分條件。同時(shí)通過不同煤階的吸附數(shù)據(jù)來比較中、低階煤的吸附極值以及各自的變化趨勢。

圖2 不同煤階吸附氣量-埋深關(guān)系圖

1 溫度-壓力-吸附方程(TPAE)形式及參數(shù)計(jì)算

1.1 方程形式

一個(gè)四參數(shù)的溫度-壓力-吸附方程(Temperature-Pressure-Adsorption-Equation, TPAE)可以寫成：

(1)

式中：A為吸附介質(zhì)的幾何形體常數(shù)，無量綱；B為吸附流量系數(shù)，無量綱；M為分子量，甲烷的分子量為16；P為測試時(shí)的壓力，MPa；T為測試時(shí)的熱力學(xué)溫度，K；V為吸附量，m3/T；b為壓力影響的參數(shù)，無量綱；Δ為溫度影響的參數(shù)，K。

1.2 吸附數(shù)據(jù)與參數(shù)計(jì)算

本文引用的吸附數(shù)據(jù)分別是東北遼寧撫順煤田西露天礦第三系本層煤(撫順F2)、西北新疆吐哈盆地艾維爾溝礦侏羅系5號煤(吐哈A8)、和華東安徽淮北煤田朔里礦二疊系3煤層(淮北S3)。進(jìn)行系列等溫吸附實(shí)驗(yàn)的溫度和相應(yīng)的蘭氏參數(shù)列于表1。

表1 吸附煤的種類、性質(zhì)、溫度和蘭氏參數(shù)

表2 根據(jù)表1的蘭氏體積和蘭氏方程參數(shù)回歸得TPAE參數(shù)

圖3到圖5分別畫出三種煤的實(shí)測點(diǎn)(根據(jù)表1蘭氏參數(shù)計(jì)算值)與TPAE曲面。因?yàn)闇y試溫度是30℃、50℃、和70℃，所以每種煤樣的實(shí)測點(diǎn)為三排?？床灰姷膶?shí)測點(diǎn)是隱藏在曲面以下。換句話說，TPAE曲面將一些實(shí)測點(diǎn)覆蓋，所以從成圖的曲面角度是看不見。

圖3 遼寧撫順煤樣的實(shí)測點(diǎn)與TPAE回歸曲面

圖4 新疆吐哈煤樣的實(shí)測點(diǎn)與TPAE回歸曲面

圖5 安徽淮北煤樣的實(shí)測點(diǎn)與TPAE回歸曲面

從表2的相對平均誤差的大小以及圖3、圖4、圖5點(diǎn)與曲面的吻合得出溫度-壓力-吸附方程可以精確的表示系列等溫吸附實(shí)驗(yàn)。

2 TPAE的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

如果A值相對較小而被忽略，則TPAE(方程1)簡化為：

(2)

若V=f(T,P)的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，則

(3)

式中

(3-1)

(3-2)

方程3是變溫度和變壓力對吸附量變化的共同影響的數(shù)學(xué)表達(dá)式，也是方程2的全微分?；诜匠探M(3-1、3-2)還可以做以下數(shù)學(xué)推論：

根據(jù)方程3-1，等壓變溫條件下，吸附量的變化既有大小更有方向。如果Δ>T，方程的右邊小于零，等壓條件下吸附量的變化受溫度變化負(fù)影響；

根據(jù)方程3-2，在等溫變壓條件下，吸附量的變化只有大小和正方向，吸附壓力對煤的吸附能力永遠(yuǎn)起著正影響；

因此只有吸附量的變化受溫度變化的負(fù)影響存在且大于受壓力變化的正影響時(shí)，會出現(xiàn)煤層氣吸附極大值。這就是煤層氣吸附極大值出現(xiàn)的必要條件。

3 計(jì)算煤層氣吸附極大值

如果在變溫變壓條件下吸附量出現(xiàn)極大值，那么表現(xiàn)其函數(shù)關(guān)系的方程一階全微分必須等于零，即：

(4)

方程中的溫度變量dT和壓力變量dP可以用地溫梯度和地壓梯度的耦合關(guān)系來解決。假設(shè)每鉆深一百米溫度梯度為3℃和壓力梯度1MPa，對于增加100m埋深，下面等式成立：

dP=1MPa/hm=dT=3K/hm

如果地面平均溫度為15℃，表示絕對溫度與壓力的數(shù)學(xué)關(guān)系為T=288+3P,方程4則變?yōu)橐粋€(gè)求壓力P的一元二次方程：

aP2+bP+c=0

(5)

這樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解的必要且充分條件是：

b2-4ac>0

(6)

將列于表2中東北遼寧撫順煤田撫順F2、西北新疆吐哈盆地吐哈A8、和華東安徽淮北煤田淮北S3的相應(yīng)參數(shù)、地溫梯度3℃/hm和地壓梯度1MPa/hm代入計(jì)算吸附極大值的壓力與溫度，并將計(jì)算的溫度壓力換算回埋深，所得結(jié)果列于表3。這三種不同煤階吸附氣量隨埋深的變化規(guī)律也可以用圖6顯示。

表3 煤的種類、性能、TPAE參數(shù)和出現(xiàn)吸附極大值的溫度與壓力

圖6 三種不同煤階吸附氣量隨埋深變化規(guī)律

如上所述，在計(jì)算煤層氣吸附極大值時(shí)，使用地溫梯度、地壓梯度、地面溫度的三個(gè)假設(shè)值。而在任何一個(gè)地質(zhì)勘探中，都會測得實(shí)際的地溫梯度、地壓梯度和地面溫度。因此當(dāng)這些數(shù)值改變時(shí)，會得出不同的結(jié)果。而且如果能將煤層氣吸附極大值與深部地應(yīng)力轉(zhuǎn)換的相關(guān)性結(jié)合在一起研究將是很有意義。

雖然三個(gè)不同煤階的煤樣都出現(xiàn)煤層氣吸附極大值現(xiàn)象，但各自出現(xiàn)的深度卻不同，而且各自極值出現(xiàn)前的變化趨勢以及極值出現(xiàn)后的變化趨勢也不同。從現(xiàn)有的三個(gè)煤樣的數(shù)據(jù)看，有較小的最大鏡質(zhì)組反射率的低階煤(撫順煤、吐哈煤)在較深的位置出現(xiàn)煤層氣吸附極大值；而有較大的最大鏡質(zhì)組反射率的中階煤(淮北煤)卻在較淺的位置出現(xiàn)煤層氣吸附極大值。因此煤階不僅影響吸附量，還影響吸附極大值。但僅用三組數(shù)據(jù)還不能得出變化趨勢，所以有待于進(jìn)一步加大數(shù)據(jù)庫。

4 結(jié)論

TPAE是一個(gè)含四個(gè)參數(shù)的溫度、壓力、吸附方程；其參數(shù)可以通過系列等溫吸附或變溫變壓吸附的實(shí)測數(shù)據(jù)回歸得到。

TPAE的偏導(dǎo)數(shù)和全微分說明當(dāng)受溫度變化的負(fù)影響存在并大于受壓力變化的正影響時(shí)，煤層氣吸附極大值會出現(xiàn)。利用等深來表示溫度變化dT和壓力變化dP，可以得到一元二次方程；出現(xiàn)吸附氣含量極大值的必要且充分條件是該一元二次方程的判別式大于零。按每鉆深一百米溫度增加3℃和壓力增加1MPa，和假設(shè)地面平均溫度為15℃，計(jì)算東北遼寧撫順煤田撫順F2煤層氣吸附極大值出現(xiàn)在1143m、西北新疆吐哈盆地吐哈A8煤層氣吸附極大值出現(xiàn)在1153m、和華東安徽淮北煤田淮北S3煤層氣吸附極大值出現(xiàn)在640m。