羅志強 柳景博 趙佳慧

摘 要：將穿著專用服裝的假人在高溫條件下的熱傳導過程簡化為含內(nèi)熱源的一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導模型。采用Crank-Nicolson格式的有限差分方法求偏微分方程的數(shù)值解，使用MATLAB軟件解出總體溫度分布三維圖。

關(guān)鍵詞：熱傳導；有限差分法；溫度分布

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.11.131

1 引言

高溫作業(yè)專用服裝能夠保證作業(yè)人員在高溫環(huán)境中免受高溫的傷害，一般由三層紡織物材料構(gòu)成，記為I、II、III層，I層與外界環(huán)境接觸，III層與皮膚之間的空隙記為IV層。為設(shè)計高溫專用服裝，將體內(nèi)溫度控制在37?C的假人放置在實驗室的高溫環(huán)境中，測量假人皮膚外側(cè)的溫度。本文建立高溫作業(yè)專用服裝的熱傳遞模型，利用有限差分法[1]求解各層隨時間和空間變化的溫度分布圖。

2 模型的建立

將穿著多層高溫作業(yè)服的假人簡化成一個多層圓柱，假人簡化為多層圓柱體的恒溫內(nèi)熱源。簡化后的導熱結(jié)構(gòu)圖如下：

熱傳導過程與熱擴散系數(shù)a和熱流密度q有關(guān)，而熱擴散系數(shù)a與材料熱傳導系數(shù)k、材料密度、比熱容c有關(guān)，熱流密度q與材料熱傳導系數(shù)k、材料溫度梯度有關(guān)。

（1）

（2）

其中，k為熱傳導系數(shù)，為材料的密度，c為材料的比熱，T1表示材料熱表面的溫度，T2表示材料冷表面的溫度，L表示材料厚度，為材料溫度梯度。

各層導熱過程化成一維熱傳導方程為：

（3）

其中，是第i個材料層的溫度分布；為第i層的熱擴散系數(shù)；為第i層的熱流密度。

內(nèi)熱源（假人）只考慮對第IV層有影響，引入0-1變量。

將式（1）和式（2）代入式（3），得到各層熱傳導方程的詳細表達形式為：

（4）

其中，表示第i層材料左表面的溫度，表示第i層材料右表面的溫度。

下面需要確定初始條件和邊界條件。

實驗開始時，即t=0，此時各層的溫度都是一個常數(shù)。

半無限大物體在導熱方向上，當其一側(cè)邊換熱系數(shù)一定，換熱流體的溫度一定，可以使用第三類邊界條件。

左邊界：

（5）

其中，k1表示第Ⅰ層的熱傳導系數(shù)；表示左邊界溫度隨時間的變化率；表示左邊界的對流換熱系數(shù)；表示左邊界接觸的環(huán)境溫度。

右邊界：

（6）

其中，k4表示第IV層的熱傳導系數(shù)；表示右邊界的對流換熱系數(shù)；表示右邊界接觸的內(nèi)熱源溫度。

層與層接觸面[2]熱傳導率處于平衡：

（7）

層與層接觸面溫度相等，表示為：

（8）

綜上，含內(nèi)熱源的一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導模型為：

3 模型的求解

利用偏微分方程的Crank-Nicolson格式（六點對稱格式如圖2），將向前差分格式和向后差分格式做算術(shù)平均，即得六點對稱格式：

（9）

其中，為第n時間層，第m個節(jié)點的溫度，d為深度x方向所取步長，為時間t方向所取步長，網(wǎng)格比定義為，那么式（9）可以變形為：

（10）

利用和邊值便可逐層求到。其中，將截斷誤差展開得：

（11）

利用MATLAB軟件求解總體溫度分布關(guān)于時間坐標t和空間坐標x的變化圖如圖3。

參考文獻：

[1]李榮華.偏微分方程數(shù)值解法.[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]盧琳珍.應(yīng)用三層熱防護服熱傳遞改進模型的皮膚燒傷度預(yù)測[J].紡織學報，2018.

作者簡介：羅志強（1997-），男，四川自貢人，本科在讀，主要從事無線通信和傳熱學研究。