摘 要：針對冗余約束繩牽引并聯(lián)機構繩索張力多解的問題，考慮繩索張力的上下限，基于牛頓歐拉方程和凸優(yōu)化理論建立繩索張力優(yōu)化分配的模型，利用非迭代的算法確定繩索張力解。并給出數(shù)值仿真案例，對比本文算法和傳統(tǒng)優(yōu)化算法的實時性。為繩牽引并聯(lián)機構的實時力控制奠定基礎。

關鍵詞：繩牽引并聯(lián)機構；冗余約束；力分配；實時性

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.004

0 引言

繩牽引并聯(lián)機構CDPR（Cable-Driven Parallel Robot），其繩索數(shù)量為c，動平臺的自由度數(shù)目為d。鑒于當c>d+1時，機構動平臺工作空間范圍較大以及對于避免奇異位姿點出現(xiàn)的巨大作用[1]，本文的CDPR類型為冗余約束機構（c>d+1），其動力學逆解為多解。為保證在控制周期內(nèi)實時計算出張力解，必須研究冗余約束CDPR繩索張力解的實時性。

鄭亞青[2]以及Hassan[3]將繩張力優(yōu)化轉化為凸優(yōu)化問題。Borgstrom[4]通過引入松弛變量的方法采用線性規(guī)劃方法來計算繩索張力。Kraus[5]利用二次規(guī)劃分配繩索張力解。Mikelsons[6]提出了一種非迭代的繩索張力求解算法，通過求解優(yōu)化變量所在凸多面體的中心來求解張力。蘇宇[7]針對完全約束機構（c=d+1），基于單變量的多項式極值求解方法提出了一種非迭代算法來計算繩索張力，但未考慮冗余約束CDPR。

因此本文將對冗余約束CDPR機構繩索張力解的實時性進行分析研究，其中c=8，d=6。

1 繩索張力優(yōu)化分配模型

冗余CDPR的示意圖如圖1，假設繩索質(zhì)量非常小，故其重力暫且忽略不計，繩索的數(shù)學模型為直線模型，冗余CDPR的動力學模型可寫作如下矩陣形式[8]：

當目標函數(shù)分別為繩索拉力向量的1范數(shù)和2范數(shù)時，（3）的優(yōu)化模型可以變?yōu)榫€性規(guī)劃和二次規(guī)劃問題；繩索拉力向量的p范數(shù)為凸函數(shù)，約束為凸集，故可以采用凸優(yōu)化模型求解。線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和凸優(yōu)化均需要不斷迭代尋優(yōu)，這些迭代算法的實時性較差。

當目標函數(shù)為繩索拉力向量的1范數(shù)時，最優(yōu)解落在中的某個頂點，所以當確定的所有頂點后，再遍歷比較所有頂點的目標函數(shù)值的優(yōu)劣即可確定最優(yōu)解，相對于迭代算法，無需迭代，提高張力解算的實時性。

2 凸多邊形快速確定方法

（圖2中的紅色區(qū)域）中頂點的完全確定只需要求到所有頂點坐標即可。傳統(tǒng)遍歷算法先確定式（3）所對應的2c條約束直線的所有的交點，再從交點中搜尋頂點；兩個步驟需要求解112（4）個交點，并對每個交點進行逐一判斷?？焖偾蠼馑许旤c的思路源自Marc的研究[9]，具體算法做一些變動，算法流程如下：

Step1：先對2c條約束直線進行1到16的編號，再隨機選擇能產(chǎn)生交點的約束直線m，n，記其交點為V0；

Step2：然后在直線n上尋找滿足直線m約束的下一個距離V0最短的交點V1（直線n，的交點），圖示中=f，儲存得到的直線序號組m n ；

Step3：判斷n、是否與之前的某一組直線序號中的m、n分別相同，是的話輸出所有可行的頂點，結束程序。否的話，m=n，n=qi回到第二步。

表1為確定所有頂點時，兩種不同方法的時效性數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于下文第4節(jié)的數(shù)值仿真。采用快速算法可以減少55.65%的計算時間，這將大幅度提高最終繩索張力優(yōu)化解的實時性。

3 實時性評價指標

假設為規(guī)劃軌跡上張力求解的最大計算時間；為所有離散位姿點繩索張力的平均計算時間。如果小于控制周期，即可認為張力分配方案滿足實時性要求；且相同的情況下，的數(shù)值越小，實時性能越好。

4 案例數(shù)值仿真

機構布置如圖3，最外層長方體代表機架，長寬高均為4m，靜坐標系位于其下底面；中間小長方體表示動平臺，長寬高分別為1.2m，0.8m，0.4m，動坐標系原點位于其幾何中心；藍色直線表示8根牽引繩索。每根繩索的張力上下限分別為2000N 10N。

在MATLAB軟件中仿真。姿態(tài)角始終為，規(guī)劃的位置軌跡如圖4，其表達式見式（4），參數(shù)分別為0.8m，2rad/s，0.1m/s；動平臺質(zhì)量m為20kg，時間t從0到10s，步長為0.001s。

基于繩索張力1范數(shù)最小為目標函數(shù)優(yōu)化張力解，張力解曲線見圖5，總有兩根繩索的張力位于張力下極限處。為了使繩索張力解遠離張力下極限，以的重心作為優(yōu)化點，張力解曲線見圖6。

采用線性規(guī)劃以及凸規(guī)劃2類迭代方式的時效性見表2。本文非迭代方法的時效見表3。

表2表3說明了本文非迭代算法在實時性方面的巨大優(yōu)勢，比直接用MATLAB內(nèi)部函數(shù)lingprog進行線性規(guī)劃快了4倍左右。

軌跡上重心分配張力解的時效性曲線見圖7，=0.95ms。

5 總結

在MATLAB軟件下，針對冗余CDPR繩索張力分配模型，文章所采用的非迭代算法相對線性規(guī)劃、凸優(yōu)化等迭代算法，在張力解算時效性上至少縮小為原來的1/4，其關鍵步驟在于快速確定二維優(yōu)化變量凸集的所有頂點。

參考文獻：

[1]Verhoeven R.Analysis of the workspace of tendon-based Stewart platforms[D].Duisburg： Ph D.Dissertation of University of Duisburg-Essen，2004.

[2]鄭亞青.繩牽引并聯(lián)機構若干關鍵理論問題及其在風洞支撐系統(tǒng)中的應用研究[D].泉州：華僑大學博士學位論文，2004.

[3]Hassan M， Khajepour A.Optimization of Actuator Forces in Cable-Based Parallel Manipulators Using Convex Analysis[J]. IEEE Transactions on Robotics，2008，24（03）：736-740.

[4]Borgstrom P H，Jordan B L，Sukhatme G S，et al.Rapid computation of optimally safe tension distributions for parallel cable-driven robots[J].IEEE Transactions on Robotics，2009，25（06）：1271-1281.

[5]Kraus W，Spiller A，Pott A.Energy efficiency of cable-driven parallel robots[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE，2016.

[6]Mikelsons L，Bruckmann T，Hiller M，et al.A real-time capable force calculation algorithm for redundant tendon-based parallel manipulators[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE，2008：3869-3874.

[7]蘇宇.繩牽引并聯(lián)機器人的力學分析與性能優(yōu)化[D].西安電子科技大學，2014.

[8]劉欣，仇原鷹，盛英.繩牽引并聯(lián)機器人的靜剛度解析[J].機械工程學報，2011，47（13）：35-43.

[9]Gouttefarde M，Lamaury J，Reichert C，et al.A Versatile Tension Distribution Algorithm for n -DOF Parallel Robots Driven by n+2 Cables[J].IEEE Transactions on Robotics，2015， 31（06）：1444-1457.

作者簡介：李家旺（1992-），男，湖北孝感人，碩士研究生，主要研究方向：繩牽引并聯(lián)機構。