☉江蘇省海門中學(xué) 陸 娟

數(shù)學(xué)教育因為教育信息化的迅速發(fā)展而逐漸形成了運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的這一趨勢.利用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型并解決實際問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的重要手段，也是化抽象為具體的有效措施.數(shù)學(xué)建模其實就是運用數(shù)學(xué)思維對各個事物之間的關(guān)系和規(guī)律進行觀察、分析以及用數(shù)學(xué)語言來表達與呈現(xiàn).本文結(jié)合具體的數(shù)學(xué)案例談?wù)剮追N常見數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與應(yīng)用.

一、三角函數(shù)模型

常見的三角函數(shù)模型：（1）正弦型函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）；（2）余弦型函數(shù)模型y=Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）；（3）正切型函數(shù)模型y=Atan（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）.

例1已知函數(shù)（x∈R）.

（2）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

探析：這是三角函數(shù)中關(guān)于“數(shù)”的一道練習(xí)，建構(gòu)已經(jīng)學(xué)過的正弦型、余弦型、正切型函數(shù)模型可以對此類題目中的定義域、值域、最小正周期等問題進行求解.

解析：（1）則

（2）因為ω=2，因此（fx）的最小周期.由2kπ-

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

二、立體幾何模型

教師在教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活中抽象出幾何模型并強調(diào)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)價值與意義，使學(xué)生能夠在運用數(shù)學(xué)建模方法來探索與解決實際問題的過程中積累更多的經(jīng)驗，并在提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性的同時令學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力也得到發(fā)展.

例2如圖1所示，某工廠需要建一個倉庫，要求倉庫上部的形狀為正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀為正四棱柱ABCDA1B1C1D1，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.

（1）若AB=6m，PO1=2m，則該倉庫的容積是多少？

圖1

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長是6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

模型建構(gòu)探析：從問題2出發(fā)并以PO1為自變量建立體積的函數(shù)關(guān)系式.該倉庫涉及的兩種幾何體的底是相同的，都為正方形，聯(lián)想到正四棱錐的高與底面邊長，用PO1=h來分別表示正方形邊長及柱體的高H=4h，兩者的底面積都是x2=2（36-h2），結(jié)合柱體、錐體的體積公式得，聯(lián)想到利用導(dǎo)數(shù)來對其最值進行研究.當有最大值.

解析：（1）由PO1=2，知OO1=4PO1=8.

因為A1B1=AB=6，因此正四棱錐P-A1B1C1D1的體積

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2×OO1=62×8=288（m3）.

所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.

（2）設(shè)A1B1=am，PO1=hm，則0＜h＜6，|OO1|=4h.連接O1B1.

因為在Rt△PO1B1中

因此可得a2=2（36-h2）.則倉庫容積V=V錐+V柱=a2·4h+

利用導(dǎo)數(shù)或不等式放縮即可求得其最值，當PO1=時，倉庫的容積最大.

素養(yǎng)教學(xué)評析：從圖1中很快就可以觀察出倉庫的容積即為正四棱錐與正四棱柱容積之和，學(xué)生由此也可以較為容易地構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型并令本題得以解決.

三、向量模型

建立向量模型并借助于空間向量的運算能夠很好地解決涉及空間角度的很多問題.

例3如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在棱PB上，PD∥平面

（1）求證：M是PB的中點；

（2）求二面角B-PD-A的大??；

（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

圖2

圖3

應(yīng)用分析：直線和平面平行、平面和平面垂直、直線與平面所成角、二面角的平面角都是本題所要考查的知識點.（2）取AD的中點G，可得PG⊥AD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD，連接OG，則PG⊥OG，再證明OG⊥AD.然后以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求得平面PBD和平面PAD的法向量，根據(jù)兩個法向量所成角的大小即可得二面角B-PD-A的大?。?/p>

解析：（1）略.

（2）取AD的中點G，由PA=PD，得PG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD.連接OG，則PG⊥OG.由G為AD的中點，O為AC的中點，可得OG∥DC，則OG⊥AD.以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，由AB=4，得

設(shè)平面PBD的法向量為m=（x，y，z），由

取平面PAD的一個法向量為n=（0，1，0），則cos〈m，故二面角B-PD-A的大小為60°.

教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用科學(xué)的眼光對空間問題進行分析，使學(xué)生能夠聯(lián)想到已有的知識與經(jīng)驗，然后對問題進行抽象與轉(zhuǎn)化，使學(xué)生在空間向量的輔助下發(fā)揮想象并對空間幾何體的數(shù)量關(guān)系進行有效的分析.

四、建構(gòu)函數(shù)模型解決不等式問題

例4若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點與f（x）的零點相同.

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；

（2）證明：b2＞3a；

（3）假如f（x），f′（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和大于等于求a的取值范圍.

解析：（1）先求得導(dǎo)函數(shù)的極值點為代入，化簡可得由極值的存在條件得a＞3.

（3）求證f（x）的兩個極值之和等于0，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入并化簡可得：導(dǎo)函數(shù)的極值不小于，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：h（a）在（3，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)，即可求出a的取值范圍為a∈（3，6］.

教學(xué)解讀：多次構(gòu)造函數(shù)模型是順利解決本題的關(guān)鍵，由此可見，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是正確無誤的.

學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯思維、數(shù)學(xué)分析以及空間直觀想象等核心素養(yǎng)與能力在數(shù)學(xué)模型案例的探析教學(xué)中均得到了有意義的鍛煉與發(fā)展，因此，教師應(yīng)重視模型構(gòu)建教學(xué)并善于引導(dǎo)學(xué)生在這一鍛煉過程中獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.W