周德強

(裝備工程技術研究實驗室，河北 石家莊050081)

0 引言

目前關于跳頻信號的非合作接收，主要涉及三方面的工作：跳頻信號的檢測、參數(shù)估計和網(wǎng)臺分選。跳頻信號的檢測與參數(shù)估計主要是利用時頻分析工具來檢測跳頻信號并估計跳頻信號的頻率、帶寬、起跳時間、持續(xù)時間和電平等參數(shù)，主要的時頻分析工具有短時傅里葉變換(STFT)[1-3]、譜圖[4]、平滑偽魏格納-威利分布(SPWVD)[5]和小波變換[6]等。文獻[7-8]將陣列信號處理與時頻分析結合起來，不僅能給出跳頻信號的頻率、帶寬等參數(shù)，還能給出跳頻信號的波達方向(DOA)，有助于實現(xiàn)跳頻信號的網(wǎng)臺分選。利用這些時頻工具估計的跳頻信號頻率均存在一定的誤差。文獻[9]利用時域信號估計信號頻率，計算量大，難以滿足實時性要求。

網(wǎng)臺分選可以估計出網(wǎng)臺的數(shù)量、頻率集、跳速和占空比等信息。通常利用跳頻信號的參數(shù)估計結果進行網(wǎng)臺分選，也可以直接利用時域信號進行網(wǎng)臺分選。網(wǎng)臺分選的主要方法有：基于起跳時間特征[10]、盲源分離[11]、支持向量聚類[12]、時頻投影[13]、稀疏貝葉斯模型[14]和基于功放瞬態(tài)響應特征[15]等，這些方法普遍沒有關注頻率集估計的準確性。

在跳頻信號參數(shù)估計精度有限的情況下，為了提高頻率集估計的準確性，本文提出了一種基于頻率分布波形(Frequency Distribution Waveform，F(xiàn)DW)的最小跳頻間隔估計算法，該算法能有效估計跳頻信號的最小跳頻間隔，有助于網(wǎng)臺分選中頻率集的估計。

1 問題描述

跳頻信號的參數(shù)估計可以給出跳頻信號的頻率估計值，網(wǎng)臺分選正是利用這些頻率估計值來提取頻率集。

對于跳頻電臺，任意2個相鄰信道之間的標稱頻率之差通常是固定的，稱為信道間隔或者最小跳頻間隔[16]。因此，跳頻信號的頻率可以表示為：

fk=f0+k*Δf，

(1)

式中，k=0，1，2，…，N-1；fk表示第k個信道的頻率；N表示信道的個數(shù)；Δf表示最小跳頻間隔，集合{fk，k=0，1，2，…，N-1}是網(wǎng)臺分選中要提取的頻率集。從式(1)可以看出，估計出最小跳頻間隔Δf和信道頻率f0就可以估計出整個頻率集。

跳頻信號的頻率估計值可以看成頻率集中頻率的估計值，因此可以寫成集合為：

(2)

跳頻信號的頻率估計值通常有一定誤差，影響網(wǎng)臺分選中頻率集估計的準確性。

2 FDW算法

2.1 理論分析

設直方圖統(tǒng)計的步長為Δt，對集合F以Δt為步長進行直方圖統(tǒng)計，統(tǒng)計結果可以表示為：

(3)

(4)

本文將頻率估計值的直方圖統(tǒng)計s(n)當作普通信號處理，因此將s(n)稱為頻率分布波形。為了方便理論分析，假設對每個跳頻頻點fk的估計值都有相同的直方圖統(tǒng)計結果g(n)，相鄰頻點的估計值不交疊，則s(n)在區(qū)間[P，Q]是周期的，將s(n)平移到以n=0為起點，可以表示為：

s(n)=g(n)?δN(n)，

(5)

(6)

式中，?表示圓周卷積；C=Δf/Δt；序列s(n)的長度為M=Q-P+1=N*C；記g(n)的離散傅里葉變換(DFT)為G(k)；δN(n)的DFT為：

(7)

根據(jù)DFT的性質[17-18]，s(n)的DFT可以表示為：

(8)

從式(8)可以看出，s(n)的DFT存在等間隔分布的離散譜線，譜線的位置是：

(9)

譜線位置處的幅度是G(nk)N。最小跳頻間隔Δf可以表示為：

(10)

根據(jù)式(10)，可以估計最小跳頻間隔。

在實際條件下，各個跳頻頻點的信號數(shù)量不均勻，這導致每個頻點的g(n)函數(shù)不一致，但是頻率分布波形s(n)仍存在周期性的起伏，s(n)的DFT仍然有等間隔的譜線，因此仍然可以用式(10)估計最小跳頻間隔。

2.2 實現(xiàn)步驟

在FDW算法的實現(xiàn)中，可以使用快速傅里葉變換(FFT)來代替DFT，以便提高計算速度。FDW算法的實現(xiàn)步驟如下：

① 設置直方圖統(tǒng)計步長Δt；

② 根據(jù)頻率估計值集合F構造頻率分布波形s(n)；

③ 計算s(n)的FFT，得到其頻譜S(k)，取 其絕對值得到|S(k)|；

④ 在|S(k)|上搜索譜線，確定其位置ni，i=0，1，…；

⑤ 將譜線幅度較高的譜線位置代入式(10)計算出若干個最小跳頻間隔的估計值，這些最小跳頻間隔估計值的平均值即為最終的最小跳頻間隔的估計值。

2.3 性能分析

從2.1節(jié)的理論分析可以看出：FDW算法的性能取決于頻率分布波形的周期性。當頻率估計誤差較小時，頻率估計值分布比較集中，頻率分布波形的周期性較好，則FDW算法的性能較好；反之，頻率估計值分布比較分散，頻率分布波形的周期性較差，則FDW算法的性能較差。

假設頻率估計值在統(tǒng)計特性上是以真值為均值的高斯分布。根據(jù)高斯分布的“3σ原則”[19]：頻率估計值幾乎都(99.73%)在距真值±3個標準差的范圍內。因此，當最小跳頻間隔≥6個標準差時，相鄰頻點的估計值幾乎不交疊，頻率分布波形的周期性較好，此時FDW算法的效果較好。

綜上，從理論上來說當頻率估計值的標準差不超過最小跳頻間隔的1/6(≈16.7%)時，F(xiàn)DW算法性能較好。在實際情況中，大部分頻率估計值集中在真值附近，當標準差比最小跳頻間隔的16.7%稍大些時，頻率分布波形的周期性沒有被嚴重破壞，F(xiàn)DW算法的性能惡化不明顯，第3節(jié)的仿真試驗驗證了這一點。

3 試驗驗證

3.1 仿真試驗

仿真參數(shù)設置：假設頻率估計值在統(tǒng)計特性上是以真值為均值的高斯分布。跳頻信號的頻點數(shù)量為256，最小跳頻間隔設置為25 kHz，跳頻信號的頻率估計值數(shù)量為5 000，直方圖統(tǒng)計步長Δt設置為1 kHz。

3.1.1 算法驗證

分別設置高斯分布的標準差為0 Hz和4 kHz，計算頻率分布波形和其頻譜，結果分別如圖1和圖2所示。從這2幅圖可以看出：不管標準差是0 Hz還是4 kHz，F(xiàn)DW的頻譜上都存在離散譜線，譜線間隔為328，F(xiàn)FT長度為8 192，因此最小跳頻間隔的估計值=8 192/328*1 kHz=24.975 6 kHz，與真值25 kHz非常接近。從圖1和圖2還可以看出，當標準差較小時，F(xiàn)DW的頻譜中存在的譜線較多且幅度較高；當標準差較大時，F(xiàn)DW的頻譜中存在的譜線較少且幅度較低。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是：當標準差較小時，頻率估計值的分布較為集中，g(n)波形“瘦且高”，其頻譜G(k)衰減的比較緩慢，因此譜線幅度下降得慢；當標準差較大時，頻率估計值的分布較為分散，g(n)波形“胖且矮”，其頻譜G(k)衰減的比較快速，因此譜線幅度下降得快。

圖1 標準差為0 Hz時的FDW及其頻譜

圖2 標準差為4 kHz時的FDW及其頻譜

3.1.2 算法性能

當標準差太大時，頻率估計值分布得特別分散，此時譜線的幅度可能很低甚至1根譜線都檢測不到，這時就無法估計出最小跳頻間隔，此時的估計就是失敗的，因此有必要測試估計成功率與標準差的關系。均方誤差代表了估計值的平均偏差，測試其與標準差的關系也很有必要。在區(qū)間[0，10 kHz]中每隔500 Hz取1個數(shù)作為待測標準差，在每個標準差下進行10 000次蒙特卡洛仿真統(tǒng)計成功率和均方誤差，測試結果分別如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，當標準差不超過最小跳頻間隔的18%(即4.5 kHz)時，估計的成功率可以達到100%，驗證了2.3節(jié)的分析結果。

圖3 不同標準差下的估計成功率

當標準差不大于4.5 kHz時估計成功率才能達到100%，因此只統(tǒng)計了標準差不大于4.5 kHz時最小跳頻間隔估計的均方誤差，結果如圖4所示。從圖4可以看出，隨著標準差的增大，均方誤差在趨勢上也是增大的。當標準差等于2 kHz時，均方誤差特別小，這是因為檢測到的譜線數(shù)與FFT的頻率分辨共同導致此時的估計值與真值特別接近。當標準差不超過最小跳頻間隔的18%時，最大的均方誤差為594.9，這意味著最小跳頻間隔估計值與真值的平均偏差不超過24.390 6 Hz。

圖4 不同標準差下最小跳頻間隔估計的均方誤差

3.2 實收效果

某電臺信號的最小跳頻間隔是150 kHz，直方圖統(tǒng)計步長Δt設置為1 kHz，對其13 689個頻率估計值的處理結果如圖5所示。FDW的頻譜中譜線間隔為437，F(xiàn)FT的長度為65 536，則最小跳頻間隔的估計值=65 536/437*1 kHz=149.968 0 kHz，與真值相差32 Hz，可見FDW算法對實際的電臺信號也是適用的。從圖5(a)中可以看出，電臺有6個同步頻率出現(xiàn)的非常頻繁，所以這6個同步頻率的估計值的數(shù)量比其他頻點多很多，這也導致了FDW的頻譜中噪底幅度較高。如果對FDW做削峰處理，可以大大抑制噪底幅度。

4 結束語

本文提出了估計最小跳頻間隔的FDW算法，推導了算法的原理，給出了算法的實現(xiàn)步驟，通過仿真實驗測試了算法性能，驗證了FDW算法對實際電臺信號的適用性。當頻率估計值是以真值與均值的高斯分布并且標準差不超過最小跳頻間隔的18%時，F(xiàn)DW算法的估計成功率可以達到100%，估計的平均誤差不超過25 Hz，估計精度很高，這對于網(wǎng)臺分選中頻率集的提取具有重要意義。