吳江月

摘要：壓縮感知是最近幾年的研究熱點(diǎn)，有很多領(lǐng)域都與之相結(jié)合，既有創(chuàng)新也提高了效率。它是一種新的采樣理論，利用隨即采樣獲取一些包含全部信息的少量信號，然后使用非線性重建算法來恢復(fù)原始信息。將CS與圖像處理相結(jié)合，可以減少壓縮成本和采集數(shù)據(jù)的代價(jià)，提高圖像處理傳統(tǒng)技術(shù)的效率。該文主要對CS在圖像恢復(fù)中的應(yīng)用進(jìn)行研究，敘述了壓縮感知的理論，以及稀疏矩陣、矩陣填充、重構(gòu)算法等。最后，與傳統(tǒng)的圖像恢復(fù)技術(shù)相比較，總結(jié)出存在的不足和改進(jìn)，并對其未來的發(fā)展進(jìn)行展望。

關(guān)鍵詞：圖像處理，圖像復(fù)原，壓縮感知

中圖分類號：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2019）04-0178-02

Abstract：Compression perception is a hot research topic in recent years. There are many fields combined with it， both innovation and efficiency are improved. It is a new sampling theory， which uses random sampling to obtain a small number of signals containing all the information， and then uses nonlinear reconstruction algorithm to restore the original information. The combination of CS and image processing can reduce the cost of compression and data acquisition， and improve the efficiency of traditional image processing technology. This paper mainly studies the application of CS in image restoration， and describes the theory of compression perception， sparse matrix， matrix filling， reconstruction algorithm and so on. Finally， compared with the traditional image restoration technology， Summarizes the existing shortcomings and improvements， and prospects for its future development.

Key words：Image processing； image restoration； compression perception

我們先了解一下以前圖像恢復(fù)理論，“老式壓縮圖像”是把原始圖像表示為不同“小波”的線性疊加，保留下那些強(qiáng)度較高的小波的系數(shù)，其他的小波系數(shù)都舍棄掉。舉個(gè)例子，假設(shè)原始的1024×2048圖像的自由度有一百萬個(gè)，那我們要想使用小波來完整的表示這個(gè)原始圖像就需要一百萬個(gè)小波，而且這些小波彼此都不一樣。但是小波理論認(rèn)為只要圖像足夠稀疏，就可以進(jìn)行壓縮，這個(gè)圖像就是一個(gè)有意義的典型的圖像；我們只需要利用一百萬中其中的五萬個(gè)小波就可以獲取完整的原始圖像的信息，剩下的九十五萬小波沒什么用，它們只是制造了很多觀測者基本上看不見的“噪聲”而已。（這也不是永遠(yuǎn)適用，小波算法適合用來壓縮含有少量或者紋理不是很多的圖像，紋理較多的圖像一般不使用小波算法進(jìn)行壓縮）。

既然一百萬個(gè)小波系數(shù)里只有五萬個(gè)小波系數(shù)是有效的，那我們只提取這五萬個(gè)小波系數(shù)并進(jìn)行計(jì)算就可以。但是這五萬個(gè)小波系數(shù)在我們計(jì)算之前并不知道是哪些個(gè)，計(jì)算機(jī)更不知道，所以計(jì)算機(jī)執(zhí)行時(shí)只能對所有的小波系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而把圖像轉(zhuǎn)換成基本小波，然后再根據(jù)需要保留其中有重要作用的五萬個(gè)，其余的舍棄。

綜上所述，如果要壓縮一個(gè)圖像，雖然需要壓縮圖像的全部信息，但是只需要對其中一部分進(jìn)行存儲，所以壓縮感知在這方面可以很好地發(fā)揮作用。它的理論依據(jù)是：既然只需要五萬個(gè)小波就可以恢復(fù)整個(gè)圖像，那我們只做五萬次的測量與計(jì)算，不需要對所有的小波進(jìn)行計(jì)算測量。

下面來簡單介紹一下壓縮感知與圖像處理的結(jié)合的難點(diǎn)。根據(jù)上面的描述，需要滿足兩個(gè)要求才可以實(shí)現(xiàn)采集少量數(shù)據(jù)就能恢復(fù)完整信息。第一個(gè)要求是要保證采集到的少量數(shù)據(jù)包含原始圖像的完整信息；第二個(gè)要求是需要設(shè)計(jì)一種可行性高的算法能把采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行解壓得到完整的原始信息。

1 壓縮感知理論

眾所周知，壓縮感知是一種采樣理論，現(xiàn)在我們來了解一下它是一種怎樣的采樣理論。 先來說一下什么事采樣，采樣其實(shí)就是其字面意思，也就是取樣、抽樣的意思。采樣定理最先是由奈奎斯特推出并提出來的，所以它也叫奈奎斯特采樣定理， 后來 C. E.香農(nóng)對這個(gè)定理進(jìn)行了詳細(xì)的說明和引用，人們就又稱它為香農(nóng)采樣定理。香農(nóng)采樣定理是用來處理信號的一種定理，按照該定理的描述，采樣頻率和信號頻譜之間存在一種關(guān)系，通俗地講，就是當(dāng)模擬/數(shù)字信號在轉(zhuǎn)換時(shí)，采樣頻率只要滿足比信號的最高頻率大且大于它的2倍這個(gè)條件，那么可以保證隨機(jī)采樣得到的樣本信號包含全部的原始信息。 壓縮理論是一種不同于它的新的采樣理論：在保證信號或圖像可以稀疏表示的前提下，先對信號或圖像的測量值進(jìn)行采集，也就是建立觀測矩陣，然后選擇合適的重構(gòu)算法對采集到的測量值進(jìn)行重構(gòu)，從而恢復(fù)完整的原始信號或圖像信息。

這樣一來，采樣不再被采樣頻率所限制，而且采樣獲得的數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)少于香農(nóng)采樣定理的數(shù)據(jù)量。

想要獲得適合的信號的測量值，就要保證信號的稀疏性和非相關(guān)性；我們研究的是壓縮感知，所以要設(shè)計(jì)合適的觀測矩陣將信號壓縮，同時(shí)還要保證觀測矩陣包含原始信號的全部信息；最后就是要設(shè)計(jì)合適的重構(gòu)算法從采樣的少量測量值中恢復(fù)出完整的信號的原始信息。

2 壓縮感知的約束條件

2.1 稀疏表示

因?yàn)閴嚎s感知是一種采樣理論，所以采樣的要求就是所采集的信號分布盡可能地稀疏或者圖像壓縮后的矩陣表示盡可能地稀疏，這樣才能保證采樣的隨機(jī)性，同時(shí)也能保證采樣能高效準(zhǔn)確地采集到包含全部信息的信號。由此信號的稀疏表示或者圖像壓縮的稀疏矩陣成了壓縮感知的一個(gè)重要前提條件。

稀疏表示是近幾年隨著壓縮感知的興起而流行開來的一個(gè)研究熱門，它其實(shí)就是對原始信號進(jìn)行分解。在圖像壓縮中，就是在圖像的壓縮矩陣中使用很少的信號來表示整個(gè)圖像的信息。

2.2 測量矩陣

壓縮感知的第二個(gè)約束條件就是測量矩陣。什么是測量矩陣呢？測量矩陣是可以自己構(gòu)造的或者是已經(jīng)存在的像隨機(jī)高斯矩陣，傅立葉變換矩陣，它主要構(gòu)造出來可以和稀疏矩陣符合不相關(guān)性就可以。論文中很多都是根據(jù)研究來自己構(gòu)造一個(gè)維度為mxn的測量矩陣，主要就是可以讓 x（原信號的維度N）降維為y（Mx1），因?yàn)镹是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M的。

目前測量矩陣被分為兩類，一類是隨機(jī)性的測量矩陣，一類是確定性的測量矩陣。隨機(jī)測量矩陣的例子有高斯隨機(jī)測量矩陣、傅立葉矩陣、二進(jìn)制稀疏矩陣等，但由于隨機(jī)測量矩陣具有不確定性，需要進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)求平均，所以它的計(jì)算復(fù)雜度比較高，不推薦使用?，F(xiàn)在對于測量矩陣的研究主要是對確定性測量矩陣的研究。確定性測量矩陣有循環(huán)矩陣、托普利茲矩陣等。

那測量矩陣有什么用處？一個(gè)好的測量矩陣的構(gòu)建對測量值的獲取和圖像的恢復(fù)起著至關(guān)重要的作用，構(gòu)造好一個(gè)合格的測量矩陣可以在任意一個(gè)稀疏圖像滿足在壓縮的過程中不丟失關(guān)鍵信息的前提下，高效精確的恢復(fù)出原始圖像。

2.3 重構(gòu)算法

壓縮感知的第三個(gè)重要的約束條件是重構(gòu)算法。它是一個(gè)重要的用來獲取結(jié)果的方法，重構(gòu)算法可以使我們從采樣得到的樣本中重構(gòu)出原有的全部信息或重構(gòu)出原始圖像，主要有迭代閾值算法、凸優(yōu)化算法、正交匹配追蹤算法、基追蹤算法等等。在該文中主要使用迭代閾值算法，接下來詳細(xì)介紹一下什么是迭代閾值算法。

正如它的名字一樣迭代閾值算法就是通過迭代來尋找閾值。迭代閾值算法又分為迭代硬閾值和迭代軟閾值兩類算法，在此主要介紹迭代硬閾值算法。迭代硬閾值算法是根據(jù)一個(gè)優(yōu)化問題推導(dǎo)出來的，分為三個(gè)步驟來進(jìn)行：向量初始化；設(shè)定迭代順序；執(zhí)行迭代程序得出結(jié)果。

3 壓縮感知在圖像處理中的應(yīng)用

壓縮感知已經(jīng)在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，比如說壓縮感知成像應(yīng)用在光譜成像、雷達(dá)成像、醫(yī)療成像等等，還有應(yīng)用于圖像的復(fù)原和去模糊，在圖像識別領(lǐng)域也有很好的應(yīng)用。

本文主要針對圖像的復(fù)原與壓縮感知的結(jié)合進(jìn)行研究。圖像復(fù)原的傳統(tǒng)算法有維納濾波復(fù)原、規(guī)則化濾波復(fù)原、盲去卷積復(fù)原等。本文主要把迭代閾值算法與圖像復(fù)原結(jié)合起來進(jìn)行算法的改進(jìn)與優(yōu)化。

該實(shí)驗(yàn)是把迭代硬閾值算法分別與維納濾波復(fù)原相結(jié)合、與規(guī)則化濾波復(fù)原相結(jié)合以及與盲目卷積復(fù)原相結(jié)合，通過結(jié)合發(fā)現(xiàn)，迭代硬閾值算法分別提高了這三種復(fù)原算法的效率，如下圖所示。

4 結(jié)束語

壓縮感知在圖像處理中的應(yīng)用技術(shù)現(xiàn)在還不是很成熟，有待提高和發(fā)展。在理論方面，壓縮感知和圖像處理的結(jié)合是可行的，但是稀疏表示、測量矩陣的建立、算法重構(gòu)等還有待深入的研究；在應(yīng)用方面，由于理論上的結(jié)合還不是很成熟，所以實(shí)際操作時(shí)與預(yù)期目標(biāo)還是有較大的差距。但是，只要我們繼續(xù)深入鉆研，CS會被我們很好的應(yīng)用起來，提升它的潛在的發(fā)展空間。

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