摘 要： 第一個重要極限（以下簡稱重要極限I）在極限運算中有著承前啟后的作用。文章通過分析此極限的特點，指出了它的某些應(yīng)用以及與等價無窮小的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：重要極限;商式極限;無窮小

中圖分類號：O171-4;G712

文章編號：2095-624X（2019）04-0025-01

一、重要極限I

極限運算的學(xué)習(xí)是從四則運算法則開始的，也就是函數(shù)的和、差、積、商的運算法則。在各函數(shù)的極限都存在的前提下，只要商的極限運算中分母函數(shù)的極限不等于0，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商。簡單來說，在自變量x→x0時，這些情況下通過直接代入x0值求得極限。但是，基本上都是要我們求函數(shù)商的極限且在此商中分母的極限等于0。在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)中，我們一般是從分子和分母都是多項式或者帶根號的式子這種簡單的商式開始，通過因式分解、分母有理化等方法化簡商式，使得分子和分母在化簡之后極限不再為0，從而求得極限。但是這些方法是有局限性的，它們只能在由冪函數(shù)與常數(shù)構(gòu)造的初等函數(shù)中使用，如果是非冪函數(shù)類的初等函數(shù)，那么因式分解、分母有理化等方法就不適用了。

這里的重要極限I正是一個突破口。它把商式的極限運算從冪函數(shù)類的初等函數(shù)突破到了非冪函數(shù)類，從而得出了更一般的無窮小與無窮小之比的極限方法，并由此過渡到無窮小的等價替換定理。

二、重要極限I的應(yīng)用

如何應(yīng)用此極限求解極限問題，一般題目不會直接給出 ，通常都需要變換。此極限的特點是分母的變量要和sin后面的變量相同，而且都趨于0。如果分母的變量和sin后面的變量不相同，就一定要想辦法把他們變成相同，這樣才能運用此極限去解決。運用此極限，能解決很多三角函數(shù)與冪函數(shù)比值的極限問題，只要題目中出現(xiàn)了三角函數(shù)和冪函數(shù)，就可以利用此極限進(jìn)行變換。

例1的分子是一個三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，如果想要利用重要極限I，就必須把分母變成和分子第一個sin后面的一樣，即變成sinx，所以此題的思路就是分子分母同乘以sinx，再變成兩個極限相乘，這兩個極限都運用第一個重要極限來計算，即可得出結(jié)果。

三、重要極限I與等價無窮小

重要極限I的形式，實質(zhì)上就是無窮小與無窮小之比的問題。在等價無窮小的定義中，當(dāng)兩個無窮小之比的極限等于1時，它們就互為等價無窮小，而等價無窮小在乘積和相除的運算中是可以相互替換的。這就給極限運算帶來了極大的方便，而這個方法的基礎(chǔ)就是重要極限I。在《實用高等數(shù)學(xué)》中給出了當(dāng)x→0時arcsinx，arctanx都與x互為等價無窮小，但并沒有給出證明，下面通過一個例題來說明。

這樣就得到了arctanx與x互為等價無窮小了。此題采用了換元法，當(dāng)x→0時，arctanx也是趨于0，通過換元，就把反三角函數(shù)與冪函數(shù)之比的極限問題變成了三角函數(shù)與冪函數(shù)之比的極限問題，這樣就可以使用重要極限I。另外，此題也運用了此極限的一個變形式：

總之，重要極限I在極限運算的教學(xué)中是必不可少的一環(huán)，沒有掌握這個極限運算，就很難把極限的商式運算從冪函數(shù)過渡到其他各類函數(shù)之中，也會讓整個高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在邏輯上不太完整。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳贛昌.實用高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2017.

[2]楊雄.第一個重要極限的教學(xué)[J].陰山學(xué)刊（自然科學(xué)版），2017（2）.

作者簡介：王志平（1981—），男，湖北武穴人，專任教師，研究方向：高等數(shù)學(xué)。