吉婷婷，李成鳳，劉 潤(rùn)

(天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

*通訊作者：劉潤(rùn)(1974-)，女，河北省人，教授，博導(dǎo)，主要從事結(jié)構(gòu)物與土的相互作用研究。E-mail: liurun@tju.edu.cn。

20世紀(jì)70年代起，管道運(yùn)輸已經(jīng)成為世界上大多數(shù)國(guó)家運(yùn)輸油氣的主要方式之一[1-2]。隨著人口增加，能源消耗與日俱增，淺海油氣的開(kāi)發(fā)已經(jīng)無(wú)法滿足人們?nèi)粘Ｉ罟ぷ鞯男枨?，因此海洋油氣開(kāi)發(fā)亟待走向深海[3]。由于管道內(nèi)承載著大量油氣，而且考慮到環(huán)境的制約，海底管道維修困難，一旦發(fā)生屈曲甚至破壞，就會(huì)導(dǎo)致油氣泄漏，不僅造成資源的嚴(yán)重浪費(fèi)，而且會(huì)對(duì)海洋生物及人類的安全構(gòu)成威脅。因此研究高溫高壓下海底管道的水平向整體屈曲，有著重要的理論意義和工程價(jià)值。

Hobbs[4]和Taylor[5]推導(dǎo)的海底管道發(fā)生水平向整體屈曲的理論解被認(rèn)為是經(jīng)典的理論解，因此被廣泛應(yīng)用于實(shí)際的管道設(shè)計(jì)中。但該理論解均將土體抗力簡(jiǎn)化為庫(kù)倫摩擦或線彈性行為，即土體抗力為固定值，因此管道屈曲控制方程均為線性微分方程。而在實(shí)際工程中，管道受到的土體抗力是動(dòng)態(tài)變化的，因此上述理論解在一定程度上不能真實(shí)反映管道發(fā)生水平向整體屈曲時(shí)的形態(tài)和特點(diǎn)。

本文基于非線性土體抗力模型，運(yùn)用攝動(dòng)法和Galerkin法求解理想管道與具有初始缺陷管道水平向整體屈曲，并分析了兩種方法的差異。

1 管道整體屈曲的攝動(dòng)解

1.1 理想管道水平向整體屈曲的攝動(dòng)解

高溫高壓作用下，理想管道可能發(fā)生多階屈曲模態(tài)的水平向整體屈曲，取管道屈曲的微元段受力分析，得到理想管道水平向整體屈曲的控制方程[6]為

(1)

式中：E為楊氏模量；EI為管道的彎曲剛度；w為管道水平向屈曲位移；假設(shè)非線性土抗力F的函數(shù)表達(dá)式為

F=kw-ew2+hw3

(2)

將式(3)代入控制方程(1)，系數(shù)ε、ε2……依次設(shè)為零，得到關(guān)于w1、w2、……的一系列有序的線性微分方程。通過(guò)求解各級(jí)線性微分方程，得到理想管道水平向整體屈曲w的表達(dá)式

w=A1cos(ωx)ε+(A2+A3cos(2ωx))ε2+A4cos(3ωx)ε3

(3)

式中：

(4)

A1由ε3得到的第三個(gè)線性微分方程求解

(5)

抑制上式(5)中的長(zhǎng)期項(xiàng)，并代入A2和A3的值，得到關(guān)于A1(X)的二階非線性微分方程

(6)

1.2 具有初始缺陷管道水平向整體屈曲的攝動(dòng)解

引進(jìn)Wang[7]研究中所述的初始缺陷表達(dá)式進(jìn)行分析。

(7)

式中：l01為管道初始缺陷的波長(zhǎng)，m；w0m為初始缺陷的幅值，m。

根據(jù)理想管道的水平向整體屈曲，得到具有初始缺陷管道水平向整體屈曲的控制方程為

(8)

將式(3)和式(7)帶入式(8)，得到屈曲軸力表達(dá)式

(9)

1.3 一階至四階攝動(dòng)解的差異

基于攝動(dòng)法求解理想管道水平向整體屈曲，分析一階至四階攝動(dòng)法解的區(qū)別。為便于計(jì)算，假設(shè)k=1，e=1，h=1，EI=1。運(yùn)用攝動(dòng)法求解式(1)，得到理想管道屈曲形態(tài)的一階至四階攝動(dòng)法解(圖1)。

由圖1可知，管道屈曲形態(tài)的一階和二階攝動(dòng)法解相差較大，但管道屈曲形態(tài)的二階、三階與四階攝動(dòng)法解相差較小。因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中A1的大小至關(guān)重要，在進(jìn)行三階攝動(dòng)法的迭代時(shí)，得到了求解A1的表達(dá)式，在進(jìn)行四階以后的迭代發(fā)現(xiàn)，A1的大小幾乎不影響結(jié)果，因此選用三階攝動(dòng)法解作為管道屈曲的最終形態(tài)。

2 管道整體屈曲的Galerkin解

2.1 理想管道水平向整體屈曲的Galerkin解

圖1 管道水平向整體屈曲圖Fig.1 Lateral global buckling of a pipeline

1997年，Whiting[8]運(yùn)用Galerkin解法，假設(shè)結(jié)果為關(guān)于小參數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，推導(dǎo)出函數(shù)形式為F(w)=kw-cw3的非線性土抗力模型下彈性梁的整體屈曲，彈性梁和理想管道發(fā)生水平向整體屈曲的控制方程相同。但該方法求解過(guò)程繁雜、計(jì)算量大。

理想管道水平向整體屈曲的控制方程為

(10)

根據(jù)線性微分方程特征值的定義，可知式(10)中屈曲軸力的臨界值為

(11)

Galerkin解法與非線性攝動(dòng)法求解式(10)方法類似，但其不采用逐級(jí)帶入的方式，而是采用等高線積分和殘差演算的方式得到方程(10)的漸進(jìn)解。

根據(jù)Galerkin解法，方程(10)的解為

w=A11cos(ωx)ε+B12sin(ωx)ε2+(A13cos(ωx)+A33cos(3ωx))ε3
+(B14sin(ωx)+B34sin(3ωx))ε4

(12)

式(12)中：

(13)

2.2 具有初始缺陷管道水平向整體屈曲的Galerkin解

基于理想管道水平向整體屈曲控制方程，得到含初始缺陷管道水平向整體屈曲的控制方程為

(14)

采用Galerkin解法求解方程(14)，假設(shè)含初始缺陷管道的屈曲形態(tài)與理想管道屈曲形態(tài)相同，得到管道屈曲軸力為

(15)

3 攝動(dòng)解與Galerkin解的對(duì)比

3.1 理想管道整體屈曲解的對(duì)比

Galerkin解法中非線性土體抗力模型的函數(shù)形式為F(w)=kw-cw3。為了對(duì)比的合理性，運(yùn)用攝動(dòng)法求解理想管道水平向整體屈曲控制方程時(shí)，土抗力模型的函數(shù)形式應(yīng)該是相同的。選取k=1，c=1時(shí)的土抗力模型，如圖2所示。

基于圖2的土抗力模型，分別運(yùn)用Galerkin解法和攝動(dòng)法求解理想管道水平向屈曲的控制方程，得到管道水平向屈曲形態(tài)(圖3)，管道屈曲軸力與屈曲幅值的關(guān)系(圖4)。

圖2 土體抗力模型Fig.2 Soil resistance model圖3 管道水平向整體屈曲形態(tài)Fig.3 Lateral global buckling of a pipeline

由圖3可知，Galerkin解法和攝動(dòng)法得到管道正向水平向位移與屈曲波長(zhǎng)幾乎一致，但兩者的負(fù)向水平向位移略有不同，相差較小。

圖4 管道屈曲軸力與屈曲幅值關(guān)系圖Fig.4 Buckling axial force and lateral buckling amplitude of a pipeline圖5 管道水平向整體屈曲形態(tài)Fig.5 Lateral global buckling of a pipeline

圖6 管道屈曲軸力與屈曲幅值關(guān)系圖Fig.6 Buckling axial force and lateral buckling amplitude of a pipeline

由圖4可知，Galerkin解法和攝動(dòng)法求解得到的管道屈曲軸力隨屈曲幅值的增大逐漸減小，開(kāi)始時(shí)減小的幅度一致，但當(dāng)屈曲幅值大于1 m時(shí)，Galerkin解法中管道屈曲軸力下降的速度略高于攝動(dòng)法。

3.2 含初始缺陷管道整體屈曲解的對(duì)比

Galerkin解法求解理想管道水平向整體屈曲的土抗力模型(圖2)，假設(shè)管道初始缺陷幅值為0.05 m，管道屈曲波長(zhǎng)為2 m。運(yùn)用Galerkin解法求解含初始缺陷管道水平向整體屈曲，將得到的結(jié)果與攝動(dòng)法進(jìn)行對(duì)比(圖5和圖6)。

由圖5可知，運(yùn)用Galerkin解法和攝動(dòng)法求解得到管道正向水平向位移和管道屈曲波長(zhǎng)幾乎一致，但管道負(fù)向水平向位移有較小的偏差，但偏差較小。攝動(dòng)法解的管道負(fù)向水平向位移為0.2 m，Galerkin解法中管道的負(fù)向水平向位移為0.1 m。

由圖6可知，運(yùn)用Galerkin解法和攝動(dòng)法求解得到的管道屈曲軸力均隨屈曲幅值的增大而減小，當(dāng)管道屈曲幅值在0.05～0.9 m時(shí)，Galerkin解法和攝動(dòng)法得到的管道屈曲軸力幾乎相同。但當(dāng)管道屈曲幅值繼續(xù)增大時(shí)，攝動(dòng)法求解得到的管道屈曲軸力略高于Galerkin解法得到的屈曲軸力。

4 結(jié)論

本文以非線性土體抗力模型為基礎(chǔ)，運(yùn)用攝動(dòng)法和Galerkin法求解了海底管道水平向整體屈曲的解析解，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩者得到的管道整體屈曲結(jié)果相差較小，攝動(dòng)法求解過(guò)程簡(jiǎn)單且易于理解，土抗力的函數(shù)表達(dá)式可以多元化，而Galerkin法的土抗力函數(shù)表達(dá)式較為單一，不能反映土抗力變化過(guò)程的復(fù)雜性。