趙曉丹,趙愛民, 劉桂榮

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030006)

0 引言

在生態(tài)系統(tǒng)中, 物種的互惠現(xiàn)象是非常普遍的. 為此, 國內(nèi)外許多學(xué)者建立了不同的互惠種群模型, 并利用微分方程定性理論分析了種群動力學(xué)行為[1]. 隨著社會的快速發(fā)展, 環(huán)境污染日益嚴(yán)重, 對生物種群的生存帶來極大的危害. 從而在建立種群動力學(xué)模型時(shí), 很多學(xué)者考慮了環(huán)境毒素的影響[2-3].

此外, 種群的生存還受環(huán)境噪聲的影響. 因此, 利用隨機(jī)微分方程刻畫種群動力學(xué)行為更符合實(shí)際. 為此, 文獻(xiàn)[4]建立了下列具有飽和項(xiàng)和毒素影響的隨機(jī)互惠種群系統(tǒng)研究了系統(tǒng)(1)的滅絕性與持久性.

(1)

另一方面, 一些突發(fā)的且嚴(yán)重的環(huán)境擾動現(xiàn)象會對生態(tài)種群的數(shù)量產(chǎn)生巨大的影響, 如地震、颶風(fēng)、海嘯、傳染病等. 近年來, 一些學(xué)者用Lévy跳來描述這些不連續(xù)的隨機(jī)擾動現(xiàn)象[5]. 基于上述研究動態(tài), 本文考慮了下列帶有Lévy跳與飽和項(xiàng)的隨機(jī)互惠種群模型

(2)

1 全局正解的存在唯一性

假設(shè)τ∞≠∞ a.s. 則存在常數(shù)T>0與ε∈(0,1), 使得

P{τ∞≤T}>ε.

(3)

即存在n1≥n0, 使得對所有的n≥n1, 有P{τn≤T}≥ε.

(4)

其中

其中IΩn為Ωn的示性函數(shù). 從而

這是一個(gè)矛盾. 從而,τ∞=∞, a.s. 定理1得證.

當(dāng)γ1=γ2=0時(shí), 定理1仍成立, 與文獻(xiàn)[4]中定理3.2.1結(jié)論一致.

2 滅絕性

在研究生態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)中, 滅絕性也是一個(gè)很重要的性質(zhì). 接下來, 我們考慮系統(tǒng)(2)的滅絕性.

首先, 根據(jù)文獻(xiàn)[6]引入一個(gè)引理.

引理1 設(shè)z∈C(Ω×[0,+∞),R+), 若存在常數(shù)T>0,λ0>0,λ,σi與λi,(i=1,2,…,n)使得對于所有t≥T, 有

則

記:

(5)

對(5)式兩邊從0到t積分得

由于系統(tǒng)(2)為互惠種群系統(tǒng), 種群x1與種群x2有對稱性質(zhì). 類似的, 得到下述定理

根據(jù)定理2與定理3可得

3 數(shù)值仿真

當(dāng)γ1=0時(shí),b1=0.174>0. 可以看出種群x1不受Lévy跳干擾時(shí)不滅絕. 當(dāng)γ1=0.76時(shí),b1=-0.020<0. 種群x1受Lévy跳干擾, 滿足定理2的條件. 從而x1滅絕. 這與圖1結(jié)果一致.

當(dāng)γ2=0時(shí),b2=0.175>0. 可以看出種群x2不受Lévy跳干擾時(shí)不滅絕. 當(dāng)γ2=0.75時(shí),b2=-0.015<0. 種群x2受Lévy跳干擾, 滿足定理3的條件. 從而x2滅絕. 這與圖2結(jié)果一致.

4 結(jié)論

本文討論一類帶有Lévy跳且具有飽和項(xiàng)的隨機(jī)互惠種群模型. 通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù), 得到全局正解的存在唯一性. 利用It公式等隨機(jī)微分方程基本理論, 得到種群x1,x2滅絕的充分條件. 通過數(shù)值仿真說明Lévy噪聲不利于種群生存. 本文結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[4]中的定理3.2.4.