鄭鳳霞，肖維忠，謝茂森

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 達(dá)州 635000)

近年來,許多學(xué)者運(yùn)用各種不動(dòng)點(diǎn)定理研究了脈沖微分方程邊值問題的解,見文獻(xiàn)[1-9].其中文獻(xiàn)[1]運(yùn)用廣義凹算子不動(dòng)點(diǎn)定理研究了一類二階脈沖邊值問題解的存在唯一性.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文利用廣義凹算子不動(dòng)點(diǎn)定理,研究如下分?jǐn)?shù)階脈沖邊值問題：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[10-11]函數(shù)f:[0,∞)→R的α階分?jǐn)?shù)階積分定義為:

定義2[10-11](廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù))函數(shù)f:[0,∞)→R的α階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,其中q>0,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1,n=[q]+1.

引理2[1]設(shè)P是Banach空間E中的正規(guī)錐,若算子A:P→P單調(diào)遞增且滿足:

i)存在w∈Pw使得Aw∈Pw.

ii)對(duì)于u∈P,t∈(0,1),存在φ(t)∈(t,1)使得A(tu)≥φ(t)Au.

則算子方程Ax=x在Pw中有唯一解x*.且對(duì)任意初值x0∈Pw,可以構(gòu)造迭代序列xn=Axn-1,n=1,2,…,當(dāng)n→∞,xn→x*.

注1[1]：如果算子A滿足引理2中的條件ii),則A稱為廣義凹算子.

引理3[2]給定h(t)∈C(J,R+),1

(2)

的唯一解是

其中

這里稱G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)是分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題(2)的Green函數(shù).

引理4[2]引理3中的Green函數(shù)G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)具有如下性質(zhì):

i)G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)∈C(J×J,R+),G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)>0,?t,ti,s∈(0,1).

注2：由引理3易知,當(dāng)Ik(u(tk))≡0,Jk(u(tk))≡0,k=1,2,…,m,如下問題

的唯一解是

其中

2 主要結(jié)果

H2)任意γ∈(0,1),t∈[0,1],u∈[0,∞),存在φ1(γ)∈(γ,1)滿足

f(t,γu)≥φ1(γ)f(t,u).

H3)Ik,Jk∈C(R+,R+),且Ik(u),Jk(u),k=1,2,…,m關(guān)于u單調(diào)遞增.

H4)任意γ∈(0,1),t∈[0,1],u∈[0,∞),存在φ2(γ),φ3(γ)∈(γ,1)滿足

Ik(γu)≥φ2(γ)Ik(u),Jk(γu)≥φ3(γ)Jk(u).

則問題(1)在Pw中存在唯一解u*.且對(duì)任意初值u0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

證明由引理3,問題(1)等價(jià)于下列積分方程

算子A:P→E定義為

又由H1),我們有

故Aw∈Pw.即引理2中條件(i)滿足.

下證引理2中條件ii)滿足.對(duì)任意u∈P,γ∈(0,1),設(shè)φ(γ)=min{φ1(γ),φ2(γ),φ3(γ)},則φ(γ)∈(γ,1).由H2)和H4),我們得

最后,利用引理4可得結(jié)論.

當(dāng)Ik(u(tk))≡0,Jk(u(tk))≡0,k=1,2,…,m,由定理1和注2易得下面的推論.

推論1 假設(shè)H1)～H2)成立,則問題(1)在Pw中存在唯一解u*.且對(duì)任意初值u0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

當(dāng)n→∞時(shí),un(t)→u*(t).

注3：本文提供了研究一類分?jǐn)?shù)階脈沖邊值問題的新方法，所得結(jié)論不需要非線性函數(shù)及脈沖函數(shù)有界或滿足Lipschitz條件.但文獻(xiàn)[2-9]中，所得結(jié)論需要非線性函數(shù)及脈沖函數(shù)有界或滿足Lipschitz條件.

3 例子

例考慮如下的問題:

(3)

顯然,f:J×R+→R+連續(xù).I1,J1∈C(R+,R+),R+=[0,+∞).f,I1,J1都關(guān)于u∈[0,+∞)是單調(diào)遞增的.通過簡單的計(jì)算,我們有

因此,f(t,c1)>0.

然后,對(duì)于t∈[0,1],γ∈(0,1),u∈[0,∞)有

因此H1)～H3)成立.

最后由定理1知,方程(3)在Pw中存在唯一解.