王留海，肖民卿，馮青香

（1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，福建 福州350007；2.福建省分析數(shù)學(xué)及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州350007）

飽和現(xiàn)象普遍存在生物、工程及社會經(jīng)濟(jì)等實(shí)際系統(tǒng)中，飽和約束是計(jì)算機(jī)控制、數(shù)字信號處理等領(lǐng)域中不可避免的問題，也是數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等領(lǐng)域中的常見問題。

系統(tǒng)中非線性包括溢出和量化非線性，通常是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定性的因素。一般情況下，研究飽和非線性的影響時，主要考慮溢出非線性。另外，時滯現(xiàn)象也是普遍存在的，是造成系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的主要根源。近年來，時滯系統(tǒng)的分析研究得到許多學(xué)者關(guān)注。文獻(xiàn)[1]討論了線性離散時變時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題。文獻(xiàn)[2-3]討論了飽和非線性不確定離散時間時滯系統(tǒng)，給出了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的新判據(jù)。文獻(xiàn)[4-5]討論了線性離散時間不確定系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題，文獻(xiàn)[6]討論了一類非線性系統(tǒng)的魯棒控制問題。文獻(xiàn)[7-12]討論了不確定系統(tǒng)的魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)問題，給出了相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)方法，這些工作研究了給定擾動抑制水平γ 的H∞控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[15-16]中, V.Krishna Rao Kandanvli, Haranath Kar 等人討論了一類飽和不確定離散時間時滯系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性問題，通過引用對角占優(yōu)矩陣為附加矩陣，給出狀態(tài)飽和約束條件下系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。到目前為止，對含有飽和非線性狀態(tài)約束的時滯系統(tǒng)的研究已有較多成果，然而關(guān)于含有飽和非線性狀態(tài)約束的離散時間時滯系統(tǒng)的魯棒性能分析和控制器設(shè)計(jì)的研究卻很少見到報道。

鑒于此，本文利用“嚴(yán)格超度量矩陣的逆為行對角占優(yōu)矩陣”[13-14]這一結(jié)論，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii 函數(shù)，引入?yún)?shù)，給出了系統(tǒng)存在魯棒H∞控制器的一個新的判別準(zhǔn)則，進(jìn)而基于該準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)了使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足最優(yōu)H∞性能的狀態(tài)反饋控制器。最后，通過算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 問題描述

考慮具有飽和非線性狀態(tài)約束的離散時間時滯系統(tǒng)：

其中x（k）∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量，u（k）∈Rm是控制輸入，w（k）∈Rp是外部擾動輸入，且是平方可和的，即w（k）∈L2[0，∞），z（k）∈Rq是被調(diào)輸出，A，Ad，B，B1，C，D，D1是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，d 是滯后時間。飽和非線性約束函數(shù)為:

本文研究的問題是對給定的常數(shù)γ＞0，設(shè)計(jì)一個狀態(tài)反饋控制律u（k）=Kx（k），使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下設(shè)計(jì)指標(biāo)。

閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；在零初始條件x（0）=0 下，對任意非零w（k）∈L2[0，∞），系統(tǒng)被調(diào)輸出z（k）滿足表示空間L2[0，∞）中的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)。

滿足以上指標(biāo)狀態(tài)反饋控制律u（k）=Kx（k）稱為系統(tǒng)(1)的γ-次優(yōu)H∞控制律。另外，使得γ 最小化的控制律u（k）=Kx（k）稱為系統(tǒng)(1)魯棒H∞最優(yōu)保性能控制律。

考慮狀態(tài)反饋控制律u（k）=Kx（k）， 其中K 是待設(shè)計(jì)的定常反饋增益矩陣。將控制律應(yīng)用到系統(tǒng)(1)，可以得到閉環(huán)系統(tǒng)

引理1[15]給定適當(dāng)維數(shù)矩陣Ω1，Ω2，Ω3其中Ω1和Ω2是對稱的，則Ω1-Ω3Ω2-1Ω3T＞0 和Ω2＞0，當(dāng)且僅當(dāng)

定義1[13]矩陣N=[aij]∈Rm×n是嚴(yán)格超度量矩陣，要滿足下列條件：

引理2[13]如果矩陣N=[aij]∈Rn×n是一個嚴(yán)格超度量矩陣，那么N 是可逆非奇異矩陣，且它的逆矩陣是一個嚴(yán)格對角占優(yōu)超度量矩陣，(即N-1=[bij]∈Rn×n是實(shí)對稱正定矩陣， 當(dāng)bij＞0，i≠j 和bii＞并有bij=0 當(dāng)且僅當(dāng)aij=0。

引理3[15]若G=[gij]是一個對稱正定矩陣，且滿足

當(dāng)且僅當(dāng)G 是一個對角占優(yōu)矩陣。

2 主要結(jié)論

定理1對給定常數(shù)γ＞0，閉環(huán)系統(tǒng)(3)存在γ-次優(yōu)H∞控制律u（k）=Kx（k）的一個充分條件是存在對稱矩陣P，S 和嚴(yán)格對角占優(yōu)的矩陣G=[gij]，有：

證明：考慮Lyapunov 函數(shù)：

沿著閉環(huán)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡，v（x（k））的前向差分為

考慮給定的常量δ＞0，即

由(3), (7)和(8)式知，有

其中

若Π＜0，可得Δ v（x（k））+δ+zT（k）z（k）-γ2wT（k）w（k）＜0。

由零初始條件，可得

又有w（k）∈L2[0，∞），可得定理得證。

定理2對于給定常數(shù)γ＞0，如果存在對稱正定矩陣X 和T、嚴(yán)格超度量矩陣N 和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，滿足矩陣不等式（11）。

則u（k）=YN-1x（k）是系統(tǒng)（3）的一個γ-次優(yōu)H∞控制律。

證明：由矩陣不等式(5)可寫成去

用矩陣diag{G-T，G-T，I，G-T，I，I}分別左乘和右乘(12)，并記X=G-TPG-1，T=G-TSG-1，N=G-1，Y=KG-1，即可得矩陣不等式(11)。定理得證。

另外，基于γ-次優(yōu)控制器H∞的存在條件(5)，通過變量替換γ2=ρ，建立和求解以下優(yōu)化問題

這就給出了系統(tǒng)(3)的最優(yōu)魯棒H∞狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計(jì)方法。很容易看到不等式(13)是一個具有LMI 約束和線性目標(biāo)函數(shù)的凸優(yōu)化問題， 因此利用LMI 工具箱中的求解器求解該問題的全局最優(yōu)解。從而設(shè)計(jì)出最小化的性能指標(biāo)的狀態(tài)H∞狀態(tài)反饋控制器。

3 算例

考慮具有飽和非線性約束的離散時滯系統(tǒng)(1)，其中

D=[-0.7 0.5 0.2]T，D1=[0.5 0.2 0.1]T，B=[0.2 -0.4 0.68]T，B1=[0.1 -0.6 0.3]T，d2=2 系統(tǒng)初始狀態(tài)x（-2）=[1 1 1]，x（-1）=[2 1.2 0.8]，x（0）=[-1.3 0.8 -2]，擾動方程為w（t）=0.5cos（2πk）exp（-k）。由于A 的特征值為1.5586,0.4057+0.3426i,0.4057-0.3426i，所以矩陣A 是不穩(wěn)定的。初始系統(tǒng)H∞狀態(tài)軌線如圖1所示?，F(xiàn)在考慮該系統(tǒng)H∞狀態(tài)反饋控制器問題。通過應(yīng)用LMI 工具箱中的求解器mincx 來求解相應(yīng)的優(yōu)化問題(13)，可得該問題的最優(yōu)解是：

通過可行解易構(gòu)造出該系統(tǒng)γ 最小化H∞的狀態(tài)反饋控制律

圖1 初始系統(tǒng)的狀態(tài)軌線

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)（3）的狀態(tài)軌線

4 結(jié)論

本文研究了一類帶有飽和非線性約束的離散時間時滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題， 通過采用LMI的處理方法， 導(dǎo)出了一組LMI 的可行性表示該閉環(huán)系統(tǒng)的γ-次優(yōu)H∞狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件，進(jìn)而通過變量替換求解一個凸優(yōu)化問題，給出了滿足控制約束的最優(yōu)狀態(tài)H∞控制律的設(shè)計(jì)方法。最后，通過算例驗(yàn)證了該方法的有效性。