寧黎明,何曉霞,王志明
(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢,430065)
刪失數(shù)據(jù)廣泛存在于金融、生物、醫(yī)學(xué)、工程等研究領(lǐng)域。為了更好地對刪失數(shù)據(jù)進行分析,各種統(tǒng)計模型相繼出現(xiàn),較早的有Cox提出的比例風(fēng)險模型[1],但其中一些假設(shè)在現(xiàn)實中是不成立的。隨后Cox等[2]又提出了加速失效時間(accelerated failure time, AFT)模型:logT=XTβ+ε,將失效時間的對數(shù)表示為協(xié)變量的線性組合。AFT模型很顯然是有意義的,但在實際應(yīng)用中,不可能保證所有協(xié)變量對生存時間都有線性影響,因此研究人員又提出了部分線性變系數(shù)模型,它在線性回歸模型的基礎(chǔ)上增加了非線性部分,使得整個模型具有更強的可塑性,通常采用局部多項式和光滑樣條來估計其非參數(shù)部分?;诰植慷囗検椒椒?,Zhang等[3]研究了半變系數(shù)模型,而Fan等[4]研究了協(xié)變量帶測量誤差情況下的懲罰經(jīng)驗似然估計。Zhao等[5]基于B樣條估計,得到半?yún)?shù)部分線性變系數(shù)模型的模態(tài)回歸。
分位數(shù)回歸較普通的均值回歸更加靈活,其應(yīng)用也得到了迅速發(fā)展。何曉霞等[6]針對右刪失數(shù)據(jù),得到光滑回歸函數(shù)的組合分位數(shù)回歸估計。Wang等[7]對非參數(shù)部分采用B樣條近似,得到部分線性變系數(shù)模型在縱向數(shù)據(jù)情形下的分位數(shù)回歸。Shen等[8]運用局部多項式方法,在指示變量缺失的條件下得到部分線性變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸估計。由于局部多項式的計算速度較慢,因此本文采用B樣條估計,研究刪失指示變量缺失情形下部分線性變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸。
本文考慮右刪失數(shù)據(jù)情形下的部分線性模型
(1)
由于數(shù)據(jù)右刪失,故只能觀察到(Xi,Ui,Zi,Yi),其中Yi=min(Ti,Ci),Ci是隨機刪失時間。定義刪失指示量δi=I(Ti≤Ci)以及缺失指示量ξi,其中I為示性函數(shù),如果δi被觀測到存在缺失時ξi=1,否則ξi=0。另外,記Hi=(Xi,Zi,Ui)。
(1)s限制在任何區(qū)間IMi(0≤i≤M)上是r次多項式;
(2)對r≥2,s在區(qū)間[a,b]上是r次連續(xù)可微的。
由文獻[10],對Sn存在標準化的B樣條基{Bω,1≤ω≤mn},其中mn=M+r是Sn的維數(shù)。因此對于任意函數(shù)αn(t)∈Sn,能夠得到
(2)
在合理的平滑假設(shè)條件下,可以通過Sn中的基函數(shù)來逼近任意平滑函數(shù)。因此模型(1)中對α*的估計就可以轉(zhuǎn)化為估計αω。
(3)
進一步地,式(3)又可以寫為
(4)
其中Wi=Ip?B(Ui)·Xi且γ=(α1,α2,…,αmn)T,cτk是誤差ε的τk分位數(shù)。
(5)
(6)
在刪失指示量隨機缺失的情況下,對于G(·)的估計不能再使用較為常見的Kaplan-Meier估計。參照文獻[11],這里給出G(·)的估計:
(7)
(8)
為了分析估計量的理論性質(zhì),首先給出以下假設(shè)條件:
(C1) 對于任意α*∈Ψ,有E[α*(Ui)]=0。
(C2) 協(xié)變量U有密度函數(shù)fU(u)且存在兩個常數(shù)c1和c2,使得在[a,b]區(qū)間上,有0 (C3)Ci獨立于(Zi,Ui)和Ti。 (C4) 對于任何t∈[0,τ],P(t≤T≤C)≥ζ0,其中ζ0是正常數(shù)。 (C5)ε1,ε2,…,εn有共同的連續(xù)可微的概率密度函數(shù)f(·),滿足0 (C7) 定義aH=inf{t∶H(t)=1},aG=inf{t∶G(t)=1},令aH 條件(C1~C2)是一般性假定,條件(C3~C5)是生存分析背景下的常規(guī)設(shè)定,條件(C6)保證定理1的證明中所定義矩陣D的特征值是有界的并且遠離零,條件(C7)表示G(Yi)遠離零。 關(guān)于估計量的性質(zhì),本文有下述結(jié)論。 定理1假設(shè)條件(C1~C7)成立,可以得到 其中,D1和Σ的定義在定理1的證明中給出。假設(shè)mn=O(n1/(2p+1)),定理1的結(jié)論(II)也可寫為 引理2假設(shè)條件(C1~C7)成立,最小化式(8)等同于最小化下式: (9) 同時,可以得到 因此A2=op(1),A3=op(1)。 基于以上結(jié)論,可以得到 (10) (11) 而 =op(1) (12) (13) 根據(jù)引理1和引理2,可以得到 (14) 結(jié)合式 (13) 和式(14) 就可以得到式(11)。 定義如下矩陣: D-1= 令 =op(1)。 下面證明定理1的結(jié)論(II)。由式(11)也可得到: 則可以得到 因此, (15) 根據(jù)I2的定義與如下等式: 有 (16) 結(jié)合式 (15)~式(16),有 因此 本文采用R軟件中的lpsolve包解決此線性規(guī)劃問題。 樣本數(shù)據(jù)由以下模型產(chǎn)生: Ti=b1zi1+b2zi2+α(Ui)Xi+εi,i=1,…,n (17) 評價非參數(shù)部分估計效果采用均方誤差指標: (18) 本文應(yīng)用3種方法處理缺失數(shù)據(jù):校準方法(Calibration Method, CA)和插補方法 (Imputation Method, IM)以及完全記錄分析(Complete Case Analysis, CC)方法。CC方法的基本思路就是直接忽略那些有缺失記錄的個體,再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法去處理剩下的數(shù)據(jù)集,該方法的缺點是,當缺失數(shù)據(jù)太多時得不到有效的估計。IM方法是對缺失的數(shù)據(jù)進行填補,然后再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法去處理整個數(shù)據(jù)集,其缺點也很明顯,對缺失的數(shù)據(jù)進行填補亦要選擇合適的方法,否則不會得到較好的估計。CA方法是用當前的可觀測數(shù)據(jù)來估計參數(shù),通過給定參數(shù)的形式產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù),即對包含缺失在內(nèi)的整個數(shù)據(jù)集進行估計。 設(shè)置模擬次數(shù)為200、q=5,誤差服從N(0,1)和t(5)分布的計算結(jié)果分別見表1和表2,其中MSE為200次模擬均值。另外,在表1中,CR為10%和20%時所對應(yīng)的刪失時間指數(shù)分布參數(shù)分別為0.1和0.19;在表2中,CR為10%和20%所對應(yīng)的刪失時間指數(shù)分布參數(shù)分別為0.08和0.16。 從表1和表2的結(jié)果可以看出:①對比不同的處理缺失數(shù)據(jù)方法,CA方法最好,IM方法其次,CC方法最差,表明本案例選用數(shù)據(jù)校準方法比較合適,而CC方法在不是完全隨機缺失的假設(shè)下只能得到有偏的估計,所以在本案例中的估計效果是最差的。②隨著樣本數(shù)量的增多,估計結(jié)果的偏差也逐漸變小,這與估計的大樣本性相符。③當刪失率和丟失率增大時,估計偏差隨之變大,這也從側(cè)面說明了估計的大樣本性,在足夠的樣本容量下,配合適當?shù)墓烙嫹椒ú拍艿玫胶玫墓烙嫿Y(jié)果。④在樣本量一定的情況下,相較于丟失率的變化,刪失率的變化對最后的估計結(jié)果影響更大。 實例分析數(shù)據(jù)來源于文獻[15]。該數(shù)據(jù)是基于“東部腫瘤合作組織”(Eastern Cooperative Oncology Group)進行的一次臨床試驗,其對象是II 期女性乳腺癌患者,目的是比較三苯氧胺(tamoxifen)和安慰劑對于該病的療效。在參與試驗的170 名對象中,只關(guān)注其中79 個在試驗結(jié)束前死亡的病患。根據(jù)報告可知,這個試驗的死亡原因數(shù)據(jù)并不完全。在這79 個死亡對象中, 44人死于乳腺癌,17 人死于已知的其他原因,剩下的18 名死于未知原因。為了適用于本文模型,在下面的數(shù)據(jù)分析中,采用的都是生存時間(單位:d)的對數(shù)值,記作Y。設(shè)指標δ顯示死亡是否由乳腺癌引起,指標ξ顯示死因是否已知。另外,變量Z1表示病人服用藥物情況(1,三苯氧胺;0,安慰劑);變量Z2表示病人雌激素受體蛋白狀態(tài)(1,陽性;0,陰性);X為病人腋淋巴結(jié)個數(shù);U為腫塊的大小。模型如下: 表1 誤差服從N(0,1)分布的模擬結(jié)果 表2 誤差服從t(5)分布的模擬結(jié)果 Y=b1Z1+b2Z2+α(U)X+ε (19) 實例分析時采用的缺失數(shù)據(jù)處理方法為CA和IM,參數(shù)估計結(jié)果見表3,非參數(shù)部分的估計結(jié)果見圖1。由表3可見,所有的系數(shù)估計值都是正值,但是變量Z1的系數(shù)估計值比較小,也就是說,乳腺癌患者的生存時間雖然沒有受到“是否接受藥物治療”這個因素的顯著性影響,但若服用三苯氧胺,病人存活的時間還是可以延長;另外雌激素受體蛋白狀態(tài)為陽性也能增加生存時間,變量Z2的系數(shù)相對比較大,可見該因素對乳腺癌患者生存時間的影響更顯著一些。上述計算結(jié)果與文獻[11]的結(jié)論基本一致。根據(jù)圖1,非參數(shù)部分估計值意味著腫塊的增大會導(dǎo)致生存時間的減少,這與文獻[15]中的試驗結(jié)果是一致的。 表3 參數(shù)估計結(jié)果 圖1 非參數(shù)部分估計結(jié)果 [1] Cox D R. 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3.1 三條引理
3.2 定理1的證明
4 數(shù)值模擬與實例驗證
4.1 蒙特卡洛模擬
4.2 實例分析