袁昱超， 薛鴻祥， 唐文勇

(上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室； 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心， 上海 200240)

渦激振動(dòng)(VIV)一直以來都是海洋細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)過程中面臨的一個(gè)關(guān)鍵性問題，尤其對(duì)于頂張式立管的動(dòng)力響應(yīng)分析和疲勞壽命評(píng)估有著舉足輕重的影響.由于其極強(qiáng)的非線性，渦激振動(dòng)在流固耦合領(lǐng)域仍然是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的研究課題.作為油氣生產(chǎn)系統(tǒng)的重要組成部分，頂張式立管是連接海上浮式平臺(tái)和海底井口的橋梁，扮演著將油氣資源由海底輸送至頂端平臺(tái)的媒介.影響立管動(dòng)力響應(yīng)的結(jié)構(gòu)剛度可分為由立管材料固有物理屬性決定的彎曲剛度和由立管軸向有效張力提供的附加橫向剛度2種成分，通常情況下，會(huì)在立管頂端施加一定的預(yù)緊力以提供必要的附加橫向剛度.在復(fù)雜的海洋環(huán)境中，波浪與海流的聯(lián)合作用易激發(fā)海上浮式平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)，平臺(tái)的升沉帶動(dòng)張緊器的壓縮或拉伸，從而導(dǎo)致立管軸向張力呈現(xiàn)隨時(shí)間波動(dòng)的變化特征.這不僅使得立管動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)需要引入動(dòng)邊界條件，更為本質(zhì)的是結(jié)構(gòu)剛度將隨時(shí)間周期性變化.因此，計(jì)及頂端平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)(即軸向張力時(shí)變效應(yīng))的頂張式立管渦激振動(dòng)響應(yīng)相較軸向張力恒定條件更接近于真實(shí)的海洋環(huán)境，也勢(shì)必更為復(fù)雜.

試驗(yàn)研究和數(shù)值模擬是目前對(duì)渦激振動(dòng)加深了解和認(rèn)識(shí)的2類主要途徑.近年來，隨著相關(guān)試驗(yàn)技術(shù)的不斷進(jìn)步，F(xiàn)ranzini等[1]針對(duì)小尺度立管模型計(jì)及頂端垂蕩運(yùn)動(dòng)的渦激振動(dòng)問題開展了相關(guān)試驗(yàn)研究.時(shí)域數(shù)值模擬同樣是研究此類問題時(shí)一種可供選擇的有效方法，且不易受到模型尺寸的限制.時(shí)域渦激振動(dòng)數(shù)值模型根據(jù)其依托的核心算法可分為計(jì)算流體力學(xué)、尾流振子模型和流體力分解模型3類.Josefsson等[2]基于二維切片理論借助計(jì)算流體力學(xué)方法研究了結(jié)構(gòu)彎曲剛度可變條件下圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng).現(xiàn)有關(guān)于立管軸向張力時(shí)變(有時(shí)也被稱為參數(shù)激勵(lì))條件下的渦激振動(dòng)研究主要基于尾流振子模型[3-7].然而，已有的數(shù)值模擬研究鮮有與已公布的模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其模擬時(shí)變張力工況的有效性及預(yù)報(bào)精度仍有待進(jìn)一步論證.

流體力分解模型同樣是被學(xué)術(shù)界和工程界廣泛用于預(yù)報(bào)頂張式立管渦激振動(dòng)的一類較為成熟的方法，Lie[8]早在1995年就已開展了相關(guān)研究工作.在近十年間，Sidarta 等[9]和Wang等[10]相繼提出了各自的流體力分解模型用于開展立管在各種形式來流下渦激振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)的相關(guān)研究.但上述流體力分解模型大多沒有計(jì)及頂端平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)立管結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，而是簡(jiǎn)單地認(rèn)為軸向張力在整個(gè)渦激振動(dòng)過程中保持恒定.本文推薦了一套可供選擇的流體力分解模型，能夠用于預(yù)報(bào)張力時(shí)變條件下頂張式立管渦激振動(dòng)時(shí)域響應(yīng).渦激振動(dòng)流體力載荷基于受迫振蕩試驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)剛度矩陣根據(jù)實(shí)時(shí)軸向張力沿管長(zhǎng)方向的分布在每一分析步中進(jìn)行更新.Franzini等[1]公布的模型試驗(yàn)被用于驗(yàn)證推薦數(shù)值模型在恒定及時(shí)變張力條件下的有效性.數(shù)值模擬與試驗(yàn)觀測(cè)對(duì)比研究中發(fā)現(xiàn)，時(shí)變張力與渦激振動(dòng)聯(lián)合作用下立管結(jié)構(gòu)響應(yīng)呈現(xiàn)亞諧振成分、非對(duì)稱振型及Mathieu型共振等特性，本文針對(duì)以上問題作進(jìn)一步展開討論，并給出了合理解釋.

1 渦激振動(dòng)時(shí)域模型

典型的平臺(tái)-頂張式立管-海床系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖1所示布置形式.圖中：Cartesian坐標(biāo)體系用以描述推薦渦激振動(dòng)時(shí)域模型；x軸順應(yīng)來流方向；y軸垂直于流速方向；z軸為立管軸向即豎直向上方向.

圖1 平臺(tái)-頂張式立管-海床系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of platform-TTR-seabed system

1.1 渦激振動(dòng)流體力載荷模型

基于渦激振動(dòng)流體力分解模型，流體力載荷

Fhydro,y=Fv+Fd+Fm=

(1)

式中：Fv為激勵(lì)力；Fd為阻尼力；Fm為慣性力；Cv為激勵(lì)力系數(shù)；A為響應(yīng)位移幅值；D為立管直徑；f為響應(yīng)頻率；V為遭遇流速；t為時(shí)間；ρf為流體密度；cf為水動(dòng)力阻尼系數(shù)；Ca為附加質(zhì)量系數(shù)，本文假定Ca為經(jīng)驗(yàn)值 1.0.

由式(1)可知，渦激振動(dòng)流體力載荷系數(shù)Cv和cf的確定是流體力分解模型的核心內(nèi)容，其在每一分析步內(nèi)均同時(shí)受控于響應(yīng)幅值和頻率.圖2所示為本文選取的激勵(lì)力系數(shù)云圖[11].圖中：粗實(shí)線標(biāo)注出對(duì)應(yīng)Cv=0的能量輸入及輸出邊界；當(dāng)Cv<0時(shí)，激勵(lì)力將遵循下文規(guī)定法則轉(zhuǎn)化為水動(dòng)力阻尼；當(dāng)超出圖2所示的試驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍時(shí)，同樣認(rèn)為激勵(lì)力將依據(jù)下文提及的經(jīng)驗(yàn)阻尼模型轉(zhuǎn)化為水動(dòng)力阻尼.上述受迫振蕩試驗(yàn)工況測(cè)得的斯坦頓數(shù)(St)約為 0.193.

圖2 渦激振動(dòng)激勵(lì)力系數(shù)庫[11]Fig.2 VIV excitation force coefficient database [11]

計(jì)算流體力載荷時(shí)，立管的振動(dòng)幅值和頻率是最為關(guān)鍵的決定因素，因此，在每一分析步中，需提取各節(jié)點(diǎn)位移(y)、速度(v)和對(duì)應(yīng)時(shí)刻(t)求解振動(dòng)幅值和頻率分別為

A=|yb-ya|/2,f=1/[2(tb-ta)]

(2)

式中：(ya,yb)和(ta,tb)分別為相鄰兩個(gè)瞬時(shí)速度為零(即v=0)點(diǎn)a和b對(duì)應(yīng)的位移和時(shí)刻.

1.2 鎖定判定準(zhǔn)則

鎖定(Lock-in)是渦激振動(dòng)問題中尤其需要引起重視的響應(yīng)特性，本文參照文獻(xiàn)[12]中雙自由度圓柱體受迫振蕩試驗(yàn)研究成果，選取無因次頻率帶寬[0.125，0.25]作為鎖定區(qū)間，上述鎖定區(qū)間需要考慮真實(shí)環(huán)境及試驗(yàn)條件下St的差異進(jìn)行修正.修正方法為

(fr/St)test=(fr/St)actual

(3)

式中：fr為無因次頻率且有fr=fD/V.

若無因次頻率落在渦激振動(dòng)激發(fā)帶寬內(nèi)，鎖定將發(fā)生.本文假定立管單元的無因次頻率將被鎖定到渦激振動(dòng)激勵(lì)中心對(duì)應(yīng)的 0.17 (見圖2)以確保激勵(lì)力系數(shù)取到峰值，此處的 0.17 同樣需要根據(jù)式(3)進(jìn)行修正，此時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率則作為渦激振動(dòng)主導(dǎo)頻率用于根據(jù)圖2計(jì)算激勵(lì)力系數(shù).

水動(dòng)力阻尼同樣是渦激振動(dòng)數(shù)值模擬領(lǐng)域較為重要的一個(gè)課題，當(dāng)激勵(lì)力系數(shù)為正時(shí)，激勵(lì)力與立管速度同向，整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)能量由流體傳入立管，而當(dāng)激勵(lì)力系數(shù)為負(fù)時(shí)，水動(dòng)力阻尼力作用于立管，能量也將由立管傳回流體.參考渦激振動(dòng)頻域方法中的處理手段，本文假定流體傳入立管的等效能量在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)傳回流體，根據(jù)能量守恒原理，水動(dòng)力阻尼系數(shù)計(jì)算公式可表示為

(4)

若無因次頻率位于激發(fā)帶寬外，則可根據(jù)圖2求得Cv<0的激勵(lì)力系數(shù)，進(jìn)而基于式(4)得到對(duì)應(yīng)的水動(dòng)力阻尼系數(shù).當(dāng)立管響應(yīng)幅值和頻率超出圖2所示試驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍，采用Venugopal提出的渦激振動(dòng)經(jīng)驗(yàn)阻尼模型[13]模擬水動(dòng)力阻尼力，其中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)Chf、Csw和Clf推薦選取 0.18、0.25 和 0.2.

1.3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)求解

頂張式立管渦激振動(dòng)響應(yīng)通常遵循小位移假定，立管模型可認(rèn)為是滿足Euler-Bernoulli梁理論的抗彎彈性結(jié)構(gòu)物，其在橫流向的運(yùn)動(dòng)控制微分方程

(5)

式中：m為立管單位長(zhǎng)度質(zhì)量；cs為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)且有cs=2mωξ，ξ為結(jié)構(gòu)阻尼比，ω為圓頻率；E為彈性模量；I為慣性矩；T0為恒定軸向有效張力；ΔT、PT和φ分別為時(shí)變張力的幅值、周期和初始相位.

式(5)左側(cè)的第3和4項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)由立管固有屬性EI決定的彎曲剛度和由軸向有效張力提供的附加橫向剛度.為了更好地說明本文的推薦方法，圖3給出渦激振動(dòng)時(shí)域分析中每一分析步的完整流程圖.

圖3 渦激振動(dòng)時(shí)域分析流程圖Fig.3 Flow-chart of VIV time domain analysis

本文推薦的渦激振動(dòng)時(shí)域數(shù)值模型基于直接積分動(dòng)力分析，采用Hilber-Hughes-Taylor (HHT)方法[14]求解式(5)中的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)控制方程.HHT法作為一種隱式數(shù)值求解方法已較為成功地應(yīng)用于經(jīng)典動(dòng)力學(xué)問題的仿真模擬，由于其具有更好的收斂性、計(jì)算精度和效率，也被認(rèn)為是一種改進(jìn)的Newmark-β法.

2 數(shù)值模型試驗(yàn)驗(yàn)證

本文選取由文獻(xiàn)[1]中公布的一組小尺度立管模型(未拉伸長(zhǎng)度L0為2.552 m)計(jì)及頂端垂蕩運(yùn)動(dòng)的渦激振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果用以驗(yàn)證推薦數(shù)值模型預(yù)報(bào)恒定及時(shí)變張力工況的有效性.

2.1 試驗(yàn)描述

試驗(yàn)立管模型采用豎直放置形式，部分浸沒于水中，模型頂部由伺服電機(jī)裝置施加垂蕩幅值A(chǔ)t/L0=1%的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).沿立管跨長(zhǎng)分布43個(gè)測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量點(diǎn)位移通過水下相機(jī)借助光學(xué)追蹤技術(shù)直接獲取.頂端布置測(cè)壓元件用以測(cè)量軸向張力.圖4給出試驗(yàn)裝置布置示意圖.表征立管模型物理特性的相關(guān)參數(shù)如表1所示.

結(jié)合上述信息，可估算出該試驗(yàn)?zāi)M的軸向張力時(shí)變工況下ΔT/T0約為 0.51.除一個(gè)恒定張力工況外，文獻(xiàn)[1]中僅公布了2個(gè)垂蕩頻率(即ωT/ωCT=2,3)下試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果.其中：ωT為軸向張力變化圓頻率；ωCT為恒定張力條件下由渦激振動(dòng)誘發(fā)的立管響應(yīng)圓頻率.3個(gè)工況對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)(Re)介于[700, 6 100]，本文選取實(shí)際St近似為 0.21.

圖4 模型試驗(yàn)裝置布置圖[1]Fig.4 Experimental facilities arrangement of the model test[1]

模型參數(shù)數(shù)值未拉伸長(zhǎng)度/m2.552拉伸長(zhǎng)度/m2.602浸沒長(zhǎng)度/m2.257外徑/m0.022彎曲剛度/(N·m2)0.056質(zhì)量比3.48浸沒質(zhì)量/kg2.05定常預(yù)張力/N40

2.2 固有頻率對(duì)比

自由衰減試驗(yàn)表明立管模型n階固有頻率fN,n為 0.84nHz[1].本文基于FEM方法進(jìn)行模態(tài)分析得到模型固有頻率預(yù)報(bào)值，與實(shí)測(cè)值對(duì)比情況如圖5所示.計(jì)算所得第1、2、3階固有頻率分別為 0.85、1.70 和 2.57 Hz，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好.而從第4階開始，計(jì)算值略大于實(shí)測(cè)值.事實(shí)上，對(duì)于一端受拉的簡(jiǎn)支梁，在立管固有彎曲剛度和軸向張力提供的附加橫向剛度共同作用下，結(jié)構(gòu)各階固有頻率理論上應(yīng)呈現(xiàn)預(yù)報(bào)結(jié)果所示的增幅逐階遞增規(guī)律，而自由衰減試驗(yàn)揭示的嚴(yán)格線性關(guān)系更像是僅考慮附加橫向剛度所得結(jié)果.由于本文涉及的3個(gè)工況下，主激發(fā)模態(tài)最高為3階，因此固有頻率對(duì)比所示誤差對(duì)下文結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)研究影響甚微.

圖5 立管模型固有頻率Fig.5 Natural frequencies of the riser model

2.3 響應(yīng)位移時(shí)歷與幅值譜對(duì)比

3個(gè)計(jì)算工況下監(jiān)測(cè)點(diǎn)(z/L0=0.43)處立管結(jié)構(gòu)響應(yīng)的預(yù)報(bào)結(jié)果與試驗(yàn)觀測(cè)對(duì)比情況如圖6所示.圖6(a)表征恒定張力工況，圖6(b)和(c)分別表征ωT/ωCT=2,3的時(shí)變張力工況.其中：VR,1為約化速度，可通過VR,1=V/(fN,1D)計(jì)算得到.圖6(a)表明，均勻流條件下恒定張力工況中立管渦激振動(dòng)響應(yīng)展現(xiàn)出明顯的單一模態(tài)激發(fā)特征，位移時(shí)歷嚴(yán)格服從正弦變化規(guī)律，預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)響應(yīng)位移幅值均大致穩(wěn)定在 0.6D，預(yù)報(bào)值略大于實(shí)測(cè)值.預(yù)報(bào)所得主導(dǎo)頻率同樣與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，均接近于結(jié)構(gòu)一階固有頻率，由此可知，約化速度VR,1=5.63 時(shí)，渦激振動(dòng)穩(wěn)定地激發(fā)該立管模型一階固有模態(tài).

圖6 監(jiān)測(cè)點(diǎn)處響應(yīng)位移時(shí)歷曲線及對(duì)應(yīng)幅值頻響譜Fig.6 Time histories of response displacement and corresponding amplitude spectra at monitor point

由圖6(b)可知，變張力使得預(yù)報(bào)與實(shí)測(cè)結(jié)果中的響應(yīng)位移幅值放大約1倍.試驗(yàn)觀測(cè)中捕捉到位移振幅劇烈調(diào)制的現(xiàn)象且調(diào)制過程無明顯的規(guī)律性或周期性，而對(duì)應(yīng)的預(yù)報(bào)結(jié)果中雖然也存在一定的振幅調(diào)制現(xiàn)象，但就整個(gè)時(shí)間歷程而言位移響應(yīng)表現(xiàn)得更為穩(wěn)定.盡管如此，預(yù)報(bào)所得位移幅值頻響譜仍與實(shí)測(cè)結(jié)果保持較高的一致性，能量響應(yīng)集中在ω/ωCT=1處并伴隨著少量成分出現(xiàn)在ω/ωCT=2, 3, 4, 5等處，兩者之間細(xì)微的區(qū)別在于實(shí)測(cè)結(jié)果中其他頻率成分弱于預(yù)報(bào)結(jié)果所示，且如圖中虛圓圈標(biāo)注所示，預(yù)報(bào)結(jié)果中ω/ωCT=3,5的能量響應(yīng)較之ω/ωCT=2,4更強(qiáng).

由圖6(c)可知，預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)位移幅值均在0.6D附近輕微波動(dòng)，而對(duì)應(yīng)的幅值頻響譜中揭示出有別于前2個(gè)工況的新現(xiàn)象.預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)所得頻響譜在ω/ωCT=1，3處均出現(xiàn)突出的能量響應(yīng)峰值，且ω/ωCT=3處的能量峰值大于ω/ωCT=1處對(duì)應(yīng)值，即立管動(dòng)力響應(yīng)不再主要展現(xiàn)一階固有模態(tài)而變?yōu)橛山Y(jié)構(gòu)3階固有模態(tài)主導(dǎo).一些其他的頻率成分同樣出現(xiàn)在預(yù)報(bào)所得頻響譜中，而實(shí)測(cè)頻響譜似乎并未發(fā)現(xiàn)類似的亞諧振響應(yīng).Franzini等[15]指出，根據(jù)模型試驗(yàn)研究成果，在ωT/ωCT=3的純頂端垂蕩運(yùn)動(dòng)條件(即流速為0，無渦激振動(dòng)響應(yīng))下發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定的橫向振動(dòng)響應(yīng)，但僅限于第3階模態(tài)而對(duì)于第1、2階模態(tài)并不適用.由此認(rèn)為，在VR,1=5.63 這一約化速度下第3階模態(tài)響應(yīng)伴隨著第1階渦激振動(dòng)同時(shí)發(fā)生，對(duì)于造成這一特殊現(xiàn)象的深層次原因，文獻(xiàn)[15]中并未提及.上述事實(shí)也在一定程度上解釋了為何ωT/ωCT=3的時(shí)變張力工況中體現(xiàn)的頻響特征與前2個(gè)工況有所區(qū)別.

圖7 響應(yīng)位移幅值沿管長(zhǎng)包絡(luò)線Fig.7 Amplitude envelops of response displacement along the riser

2.4 響應(yīng)幅值包絡(luò)線對(duì)比

圖7給出上述3個(gè)工況下預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)所得響應(yīng)位移幅值沿管長(zhǎng)包絡(luò)線對(duì)比情況.圖中：L為立管拉伸長(zhǎng)度.對(duì)于恒定張力工況，預(yù)報(bào)所得響應(yīng)位移幅值包絡(luò)線與試驗(yàn)觀測(cè)較為吻合，均為規(guī)則的1階振型，僅在立管上半部分略大于實(shí)測(cè)值.兩者振幅峰值均出現(xiàn)在z/L=0.42 附近，偏離立管中點(diǎn).相比之下，在ωT/ωCT=2的時(shí)變張力工況中，幅值包絡(luò)線被顯著放大(1倍甚至更多).Franzini等[1]推斷這一放大現(xiàn)象是由于結(jié)構(gòu)發(fā)生了由Mathieu不穩(wěn)定引起的參數(shù)共振.實(shí)測(cè)結(jié)果不再是標(biāo)準(zhǔn)的1階模態(tài)振型，尤其是在z/L位于[0.25, 0.6]范圍內(nèi)，一些額外模態(tài)明顯參與立管渦激振動(dòng).預(yù)報(bào)結(jié)果同樣顯示出高階模態(tài)被激發(fā)的響應(yīng)特征，在z/L=0.4 附近(即1階振型極值出現(xiàn)位置)最大響應(yīng)幅值略大于實(shí)測(cè)值，呈現(xiàn)1階模態(tài)主導(dǎo)3階模態(tài)參與的整體振型，與圖6(b)中幅值頻響譜所示頻響特性對(duì)應(yīng).而對(duì)于ωT/ωCT=3的時(shí)變張力工況，預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)所得響應(yīng)幅值包絡(luò)線吻合較好，均展現(xiàn)出明顯的3階模態(tài)振型，預(yù)報(bào)值僅在z/L=[0, 0.3] 范圍內(nèi)略大于試驗(yàn)數(shù)據(jù).預(yù)報(bào)與實(shí)測(cè)振幅峰值出現(xiàn)位置同樣偏離標(biāo)準(zhǔn)3階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)位置，且兩者振幅包絡(luò)線均呈現(xiàn)一定程度的非對(duì)稱性.對(duì)比恒定張力工況，ωT/ωCT=3的時(shí)變張力對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)同樣具有放大效應(yīng)，只是不如ωT/ωCT=2條件下劇烈.

3 聯(lián)合作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性研究

本節(jié)將就前文對(duì)比研究中發(fā)現(xiàn)的時(shí)變張力與渦激振動(dòng)聯(lián)合作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)展現(xiàn)的亞諧振響應(yīng)、非對(duì)稱振型及Mathieu型共振等特性展開討論，探究其深層次原因.

3.1 亞諧振響應(yīng)

由圖6(b)中幅值頻響譜所示，除渦激振動(dòng)鎖定頻率外，ω/ωCT=3，5處同樣存在著明顯的能量響應(yīng)，而這兩處恰好對(duì)應(yīng)ωCT+ωT和ωCT+2ωT.事實(shí)上，時(shí)變張力與渦激振動(dòng)聯(lián)合作用下ωCT±kωT的亞諧振頻響成分的確可能被激發(fā)，現(xiàn)基于解析推導(dǎo)給出相應(yīng)的理論解釋.式(5)中的水動(dòng)力阻尼主要起到限制立管振動(dòng)幅值的作用，對(duì)于結(jié)構(gòu)共振條件的推導(dǎo)影響較小，現(xiàn)忽略水動(dòng)力阻尼項(xiàng)cf?y/?t并假定y(z,t)=φ(z)Y(t)對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行解耦.其中：φ(z)為模態(tài)振型函數(shù)；Y(t)為幅值函數(shù).對(duì)于兩端簡(jiǎn)支梁可表示為sin(iπz/L)，式(5)可整理為

(6)

將Y寫為級(jí)數(shù)展開形式

Y=Y0+εY1+ε2Y2…

(7)

將式(7)代入式(6)，可得到關(guān)于ε的各階方程.出于簡(jiǎn)潔考慮，僅以第0階和第1階表達(dá)式為例進(jìn)行推導(dǎo)：

通過求解式(8)和式(9)可得各自穩(wěn)態(tài)解

Y0=A0cosωCTt+B0sinωCTt

(10)

(11)

式中：

關(guān)于ε的一階方程的穩(wěn)態(tài)解表明，額外的頻率成分ωCT±ωT滿足諧振條件.若求解關(guān)于ε的k階方程，參照上述理論推導(dǎo)不難得出在渦激振動(dòng)與時(shí)變張力聯(lián)合作用下亞諧振頻率成分ωCT±kωT的確可能被激發(fā)的結(jié)論.

3.2 非對(duì)稱振型

由圖7可知，3個(gè)工況(尤其是時(shí)變張力工況)下立管整體振型均呈現(xiàn)一定的非對(duì)稱性，主要表現(xiàn)為振幅峰值出現(xiàn)位置偏離理論值且立管底端與頂端振型明顯不對(duì)稱.本文認(rèn)為上述現(xiàn)象主要是由于該試驗(yàn)立管模型采用豎直放置形式，立管結(jié)構(gòu)自重使得軸向張力定常成分沿管長(zhǎng)(即垂向)分布不均勻，自上而下線性減小.因此，各分段對(duì)整體附加橫向剛度矩陣的貢獻(xiàn)也不相同.事實(shí)上，豎直放置立管的固有模態(tài)滿足具有非正交解的Bessel類方程，模態(tài)振型峰值出現(xiàn)位置的確會(huì)向底端偏移.另外，T0(z) 沿管長(zhǎng)不等，ΔT/T0自上而下逐漸變大，因此時(shí)變張力對(duì)立管底端的影響效應(yīng)也會(huì)比頂端更為明顯.Chen等[7]研究表明，隨著ΔT/T0的增加，時(shí)變張力對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的放大效應(yīng)也越發(fā)顯著.這也能夠解釋為何底端響應(yīng)幅值大于頂端.文獻(xiàn)[4]中采用尾流振子模型同樣得出與本文預(yù)報(bào)結(jié)果趨勢(shì)相同的非對(duì)稱整體振型，一定程度上也佐證了本文數(shù)值模型的正確性.立管模型部分浸沒水中導(dǎo)致的附加質(zhì)量沿管長(zhǎng)分布不均也會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)整體振型產(chǎn)生一定影響，但由于該試驗(yàn)中浸沒比達(dá)到87%，本文認(rèn)為該影響效應(yīng)與上述兩點(diǎn)相比是次要的.

3.3 Mathieu型共振

圖7(b)表明，ωT/ωCT=2的時(shí)變張力工況下的位移振幅包絡(luò)線相較恒定張力工況放大1倍甚至更高，有理由認(rèn)為此時(shí)的時(shí)變張力與已有的渦激振動(dòng)協(xié)同作用下，立管結(jié)構(gòu)發(fā)生強(qiáng)烈共振，出于結(jié)構(gòu)安全性的考慮，共振狀態(tài)是立管在工程設(shè)計(jì)階段希望極力避免的，本文對(duì)于此類共振現(xiàn)象查閱相關(guān)文獻(xiàn)給出內(nèi)在機(jī)理解釋.事實(shí)上，ωT=2ωCT的時(shí)變張力正是觸發(fā)結(jié)構(gòu)Mathieu失穩(wěn)的最危險(xiǎn)條件，文獻(xiàn)[15]中試驗(yàn)研究表明僅ωT=2ωCT的時(shí)變張力即可導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生參數(shù)共振.這種由于Mathieu不穩(wěn)定造成的結(jié)構(gòu)共振伴隨著渦激振動(dòng)鎖定現(xiàn)象的發(fā)生被進(jìn)一步放大，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)顯著加劇.因此，本文認(rèn)為此類時(shí)變張力與渦激振動(dòng)聯(lián)合作用下發(fā)生的共振現(xiàn)象可定義為Mathieu型共振.張力變化頻率在ωT=2ωCT附近均可能誘發(fā)Mathieu型共振，故ωT/ωCT=3的時(shí)變張力同樣對(duì)立管振動(dòng)幅值具有一定的放大效應(yīng).

4 結(jié)論

計(jì)及頂端平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)的頂張式立管渦激振動(dòng)問題仍然是現(xiàn)階段值得深入研究的前沿課題.本文基于渦激振動(dòng)流體力分解模型提出一套可用于預(yù)報(bào)頂張式立管在海流及時(shí)變軸向張力聯(lián)合作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域數(shù)值方法.在對(duì)其恒定及時(shí)變張力條件下的有效性進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，詳細(xì)討論了對(duì)比研究中發(fā)現(xiàn)的若干響應(yīng)特性，并得到以下結(jié)論：

(1) 基于本文數(shù)值方法的預(yù)報(bào)結(jié)果與試驗(yàn)觀測(cè)吻合較好，推薦數(shù)值模型可有效預(yù)報(bào)軸向張力恒定及時(shí)變條件下頂張式立管渦激振動(dòng)時(shí)域響應(yīng).

(2) 通過理論推導(dǎo)與數(shù)值模擬均可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)計(jì)及軸向張力時(shí)變效應(yīng)時(shí)，除渦激振動(dòng)鎖定頻率外，對(duì)應(yīng)ωCT±kωT的亞諧振頻率成分也可能被激發(fā).

(3) 立管自重導(dǎo)致軸向張力定常成分沿管長(zhǎng)分布不均勻，加之張力時(shí)變效應(yīng)的影響，立管結(jié)構(gòu)響應(yīng)呈現(xiàn)非對(duì)稱振型.

(4) 時(shí)變軸向張力與渦激振動(dòng)聯(lián)合作用下，結(jié)構(gòu)會(huì)在張力變化頻率ωT=2ωCT附近發(fā)生Mathieu型共振，響應(yīng)位移幅值將明顯放大.