張如碧

[摘? ?要] 通過對一道中考題的變式教學(xué)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解有關(guān)知識，掌握解題方法，形成解題技巧，提高解題能力.

[關(guān)鍵詞]中考題;變式;教學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）11-0009-02

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 知識與技能.理解一次函數(shù)、二次函數(shù)、等腰三角形、直角三角形、線段垂直平分線、圓的性質(zhì);會運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;掌握特殊角度解直角三角形的方法.

2. 過程與方法.會綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題;掌握疑難問題和變式疑難問題的思維方法;提升邏輯推理能力、運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)抽象能力.

3. 情感態(tài)度與價值觀.理解類比化歸的數(shù)學(xué)思想;培養(yǎng)和增強(qiáng)學(xué)生解決疑難問題的信心.

二、教學(xué)重點

運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;會綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題;通過解題實踐增強(qiáng)解決疑難問題的信心.

三、教學(xué)難點

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決復(fù)雜數(shù)學(xué)綜合問題;提升邏輯推理核心素養(yǎng).

四、學(xué)情分析

學(xué)生已掌握待定系數(shù)法等解決數(shù)學(xué)問題的基本方法和技巧;具備一定的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力;但邏輯推理能力、運(yùn)算能力不強(qiáng)，缺乏數(shù)學(xué)抽象能力和解決數(shù)學(xué)疑難問題的信心.

五、教學(xué)過程

（一）知識鋪墊

復(fù)習(xí)函數(shù)的待定系數(shù)法的步驟與方法;特殊角度解直角三角形、勾股定理的方法;等腰三角形、直角三角形的性質(zhì).

設(shè)計意圖：本題涉及考點內(nèi)容較多，綜合性強(qiáng)，屬較復(fù)雜的解答題，必要的鋪墊能為學(xué)生解決疑難問題提供有效幫助.

（二）試題呈現(xiàn)

（2018年廣東省中考題第23題）如圖1，已知頂點為C（0，-3）的拋物線y=ax2+b（a≠ 0）與x軸交于A，B兩點，直線y =x+m過頂點C和點B.

（1）求m的值;

（2）求函數(shù)y=ax2+b（a≠0）的解析式;

（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

（三）啟發(fā)引導(dǎo)

設(shè)計層層深入的引導(dǎo)環(huán)節(jié)，不斷追問、啟發(fā)，在解決若干啟發(fā)問題過程中相當(dāng)于逐步分解難點，給出解題的思路暗示，環(huán)環(huán)相扣，遞進(jìn)式解決疑難問題.

環(huán)節(jié)1：觀察直線y=x+m，需待定的系數(shù)只有m，怎樣可確定m的值？可否找到此直線經(jīng)過的點的坐標(biāo)呢？

設(shè)計意圖：詳細(xì)審題，從問題出發(fā)，展開推理，點C（0，-3）在直線BC上，所以把C（0，-3）代入直線y=x+m中解答即可.初步獲得成功感.

環(huán)節(jié)2：觀察拋物線y=ax2+b，需待定的系數(shù)有a、b，可否找到此拋物線經(jīng)過的兩個點的坐標(biāo)呢？

設(shè)計意圖：通過環(huán)節(jié)1中獲得的體驗，本環(huán)節(jié)繼續(xù)從問題出發(fā)，找解題所需條件，此時暫時只有C（0，-3）可用，怎樣找出另一個點的坐標(biāo)？在學(xué)生思維發(fā)展的最近區(qū)域引起思考，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣.

環(huán)節(jié)3：有哪個點可通過進(jìn)一步運(yùn)算而求出其坐標(biāo)的？

設(shè)計意圖：承接環(huán)節(jié)2，思考得出第（2）題解題所需條件.由于直線BC的解析式已得出，點B在直線BC上，所以把y = 0代入yBC = x -3中，即可得出B （3，0），再利用待定系數(shù)法，用點B，C可確定函數(shù)y = ax2 + b的解析式.

以上三個環(huán)節(jié)的活動中，以問題為導(dǎo)向，層層追問，學(xué)生參與其中，循序漸進(jìn)突破本題重點——待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式.

環(huán)節(jié)4：點M需在拋物線上，且∠MCB=15°時，則點M有可能在哪些位置？

設(shè)計意圖：把第（3）題分解，觀察確定點M的位置，點M可能在點B的上方和下方，如圖2所示點M1、M2，給學(xué)生以直觀的感受.

環(huán)節(jié)5：當(dāng)點M在點B的上方，∠M1CB=15°時，∠OCD的度數(shù)是多少？

設(shè)計意圖：通過設(shè)計環(huán)節(jié)4，學(xué)生有了感性認(rèn)識，進(jìn)一步探討∠OCD的度數(shù).由于OC=OB，∠COB=90°，所以△OCB為等腰直角三角形，∠OCB=45°，此時∠OCD=30°，∠ODC=60°.

環(huán)節(jié)6：如何求出點M1的坐標(biāo)？

設(shè)計意圖：基于環(huán)節(jié)4、5鋪墊，本環(huán)節(jié)設(shè)計開放式地找條件，提高學(xué)生對解直角三角形、函數(shù)交點的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)△OCD為特殊角度直角三角形，解Rt△OCD即可得出點D坐標(biāo)，用點C、D坐標(biāo)可得直線BD的解析式，再求出直線BD與拋物線的交點坐標(biāo)即可確定點M1坐標(biāo)，從而突破本題難點.

環(huán)節(jié)7：當(dāng)點M在點B的下方，∠M2CB=15°時，∠OCE的度數(shù)是多少？如何求出點M2的坐標(biāo)？

設(shè)計意圖：類比環(huán)節(jié)6，點M在點B的上方的解題思路，可得出∠COE = 60°，Rt△OCE為特殊角度直角三角形.先求直線CE的解析式，再求出直線CE與拋物線的交點即可確定M2坐標(biāo).學(xué)生已形成解題方法模型，本環(huán)節(jié)放手給學(xué)生自主探討，自主完成，能增強(qiáng)學(xué)生解決疑難問題的信心.

（四）歸納小結(jié)

此題主要考查二次函數(shù)內(nèi)容.掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵.由已知條件，通過觀察，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)特殊角度的直角三角形，從而求出相關(guān)的函數(shù)解析式，是解決此疑難問題的突破口.

（五）變式延伸

題目：已知頂點為C（0，-3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

（1）求m的值;

（2）求函數(shù)y=ax2+b（a≠0）的解析式.

變式1：拋物線上是否存在點P，使得PA//BC？若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

設(shè)計意圖：在原題條件不變的情況下，先進(jìn)行結(jié)論簡易變式，使學(xué)生增強(qiáng)解決變式問題的信心.易推理出若PA//BC，則直線PA與直線BC的斜率相等，yPA= x+b，再利用點A坐標(biāo)即可求得直線PA解析式.

變式2：拋物線上是否存在點P，使得△BCP為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

設(shè)計意圖：在簡易變式后，變式2改變命題結(jié)論逐漸復(fù)雜.通過原題解題方法模型，推理出∠P1CB = 90°（點P1與點A重合）或∠P2BC = 90°，求出P1、 P2坐標(biāo).

變式3：拋物線上是否存在點P，使得△BCP是以BC為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

設(shè)計意圖：通過前兩次變式，變式3改變命題結(jié)論，難度再次遞進(jìn).需推理出線段BC的垂直平分線（垂足為點D）與拋物線交點即為P1、P2，而BC的垂直平分線經(jīng)過點O，解特殊角度直角三角形可得出點D坐標(biāo)，即可得出OD解析式，求出點P1、P2坐標(biāo).

變式4：如圖3，已知經(jīng)過點C（0，-[3]），點A（-1，0）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=[33]x+m過頂點C和點B.

（1）求m的值;

（2）求函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式;

（3）拋物線上是否存在點Q，使得QA//BC？若存在，求出點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

設(shè)計意圖：前三種變式是通過改變命題結(jié)論，形成新命題，有助于學(xué)生認(rèn)識本題的本質(zhì)內(nèi)涵.變式4通過改變命題條件，形成新命題，變化的情境問題有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和邏輯推理能力.

（六）小結(jié)與作業(yè)

運(yùn)用微課視頻呈現(xiàn)本題的解題方法模型的形成過程和相關(guān)變式題的解題方法模型.學(xué)生撰寫本題解題課題報告.

六、教學(xué)感悟

針對學(xué)生學(xué)情，先進(jìn)行相關(guān)知識的鋪墊，再設(shè)計引導(dǎo)環(huán)節(jié)，層層深入，不斷追問、啟發(fā)、探討，對重點和難點逐步分解，環(huán)環(huán)相扣，遞進(jìn)式解決疑難問題.

歸納原題的解決方法模型，對原題進(jìn)行多次改編，形成多種階梯式的變式練習(xí)，幫助學(xué)生把握本題的本質(zhì)內(nèi)涵.遵循學(xué)生思維發(fā)展階段性規(guī)律，通過改變命題結(jié)論和命題條件，形成新命題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力素養(yǎng)，有效提高學(xué)生解決問題的能力.

學(xué)生存在個體差異，要他們沿著教師的引導(dǎo)而思考，需提前做好預(yù)設(shè).結(jié)合小組合作學(xué)習(xí)模式，形成學(xué)生學(xué)習(xí)小組，幫助他們有效思考.

上課前，教師應(yīng)充分準(zhǔn)備引導(dǎo)問題，有效形成下一步變式練習(xí)的解題方法模型.變式練習(xí)設(shè)計應(yīng)循遵學(xué)生思維發(fā)展階段性規(guī)律，結(jié)合具體學(xué)情進(jìn)行設(shè)計，并強(qiáng)化訓(xùn)練.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].3版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）