【摘要】數(shù)學(xué)活動(dòng)屬于“綜合與實(shí)踐”課程內(nèi)容.實(shí)施“設(shè)疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的模式組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)自主參與性、綜合性、實(shí)踐性、開放性，通過深入挖掘教材，以問題為課堂活動(dòng)導(dǎo)向，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主思考與合作交流，注重活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累和思想方法滲透，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和函數(shù)建模等訓(xùn)練可以得到不斷升華.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng);三疑三探;升華

數(shù)學(xué)活動(dòng)是一類以問題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)，它屬于“綜合與實(shí)踐”課程內(nèi)容，分散安排在每一單元后面，初中階段共安排了71個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng).在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生要廣泛聯(lián)系生活實(shí)際、綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等本學(xué)科和其他學(xué)科的知識(shí)和方法解決問題.學(xué)生必須積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口、認(rèn)真觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、主動(dòng)合作、探究，參與活動(dòng)全過程.數(shù)學(xué)活動(dòng)具有較強(qiáng)的自主性、綜合性、實(shí)踐性，但課堂組織難度大，因此并沒有得到教師和學(xué)生的足夠重視.

如何有效組織數(shù)學(xué)活動(dòng)？“設(shè)疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的課堂組織形式，以問題為課堂活動(dòng)導(dǎo)向，以探究為活動(dòng)主線，可讓數(shù)學(xué)活動(dòng)更加精彩，讓學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到升華.

下面以二次函數(shù)單元的數(shù)學(xué)活動(dòng)1為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)實(shí)踐與思考.

（1）觀察下列兩個(gè)兩位數(shù)的積（兩個(gè)乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9，個(gè)位上的數(shù)的和等于10），猜想其中哪個(gè)積最大.

91×99，92×98，…，98×92，99×91.

（2）觀察下列兩個(gè)三位數(shù)的積（兩個(gè)乘數(shù)的百位上的數(shù)都是9，十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于100），猜想其中哪個(gè)積最大.

901×999，902×998，…，998×902，999×901.

對(duì)（1）（2），你能用二次函數(shù)的知識(shí)說明你的猜想正確嗎？

（人教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第54頁）

一、設(shè)疑引探

首先，探究問題（1）.

思路一：計(jì)算驗(yàn)證法

方法一（直接計(jì)算）

91×99=9 009，

92×98=9 016，

93×97=9 021，

……

方法二（應(yīng)用多項(xiàng)式乘法或頭同尾合十的口訣算法）

91×99=（90+1）×（90+9）=8 100+90×（1+9）+1×9=9 000+9，

92×98=（90+2）×（90+9）=8 100+90×（2+8）+2×8=9 000+16，

93×97=（90+3）×（90+7）=8 100+90×（3+7）+3×7=9 000+21，

……

方法三（應(yīng)用平方差公式）

91×99=（95-4）×（95+4）=952-42=9 025-16，

92×98=（95-3）×（95+3）=952-32=9 025-9，

93×97=（95-2）×（95+2）=952-22=9 025-4，

……

小結(jié)、提問：由對(duì)稱性可知，只需直接（或巧用公式）計(jì)算前五個(gè)積，逐個(gè)比較，馬上可以驗(yàn)證問題（1）中哪個(gè)乘積最大.假如三位數(shù)乘三位數(shù)，且共有100組，你能快速猜想哪一組的乘積最大并加以說明嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在反思中總結(jié)方法，在提問中拓展過渡.

思路二：函數(shù)建模法

認(rèn)真觀察91×99，92×98，…，98×92，99×91這一列數(shù)，積依次在變.是兩個(gè)乘數(shù)中哪一部分的變化引起積在變化？

設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)函數(shù)本質(zhì)設(shè)置問題.

通過數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模，問題（1）的任何一個(gè)乘積都可以用如下二次函數(shù)模型表示：y=（90+x）（90+10-x），x=1，2，3，4，…，8，9.

此為開口向下拋物線，交x軸于兩點(diǎn)（-90，0）和（100，0），其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-90+1002=5，所以當(dāng)x=5時(shí)，乘數(shù)（90+x）與（90+10-x）都是95，函數(shù)y有最大值，最大值是.

學(xué)生設(shè)什么為自變量x，可能還有不同的設(shè)法，教師要及時(shí)肯定評(píng)價(jià);學(xué)生如沒有其他不同解法，教師可適當(dāng)簡介下列第一種解法.設(shè)什么為自變量x、設(shè)什么為函數(shù)y，是本思路的第一個(gè)難點(diǎn);建立函數(shù)模型后，如何快速地求出函數(shù)最大值，是第二個(gè)難點(diǎn).教師做好示范后，為化解難度，以填空的形式，一步一步引領(lǐng)學(xué)生自主完成如下問題的探究：

若設(shè)第一個(gè)乘數(shù)為x，則第二個(gè)乘數(shù)表示為，設(shè)這兩個(gè)乘數(shù)的積為y，則函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.所以當(dāng)?shù)谝粋€(gè)乘數(shù)為，第二個(gè)乘數(shù)為時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值是.

若設(shè)第一個(gè)乘數(shù)為95-x，則第二個(gè)乘數(shù)表示為，設(shè)這兩個(gè)乘數(shù)的積為y，則函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.所以當(dāng)?shù)谝粋€(gè)乘數(shù)為，第二個(gè)乘數(shù)為時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值是.

二、解疑合探

對(duì)問題（1），我們已經(jīng)知道，頭九尾合十的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，共有9項(xiàng)乘積，什么情況下乘積最大.但問題（2）中，已擴(kuò)展到兩個(gè)三位數(shù)乘三位數(shù)，而且擴(kuò)展至99項(xiàng)乘積，哪個(gè)乘積最大呢？怎樣說明你的猜想正確？請(qǐng)大家先自主思考，再小組交流，最后小組展示.

預(yù)設(shè)1：學(xué)生類比問題（1）的結(jié)論得到對(duì)問題（2）的猜想.也可以計(jì)算問題（2）前面三四個(gè)乘積，得到乘積的初步變化趨勢(shì)，再歸納得到猜想.

預(yù)設(shè)2：問題（2）中三位數(shù)乘三位數(shù)，因?yàn)橹饌€(gè)計(jì)算要計(jì)算99次（考慮到對(duì)稱性也至少要計(jì)算50次），學(xué)生肯定不考慮計(jì)算驗(yàn)證法.

預(yù)設(shè)3：有了問題（1）的探究經(jīng)驗(yàn)做鋪墊，面對(duì)901×999，902×998，…，998×902，999×901新情境下建立函數(shù)模型解題的必要性和優(yōu)越性學(xué)生應(yīng)有較強(qiáng)的意識(shí)和感悟，但對(duì)解法的遷移，解法訓(xùn)練應(yīng)是本課的重點(diǎn)，所以必須要求學(xué)生寫出完整解題過程：設(shè)出自變量x和函數(shù)y、列出函數(shù)關(guān)系式、寫出自變量x取值范圍、求出頂點(diǎn)，答題.化解數(shù)學(xué)活動(dòng)的難點(diǎn)更要充分體現(xiàn)學(xué)生主體性、參與性.鼓勵(lì)學(xué)生合作交流.

預(yù)設(shè)4：有了問題（1）的多角度設(shè)自變量的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生思維具有一定開放性.要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，教師可以安排兩個(gè)小組分別展示各自不同的解法.

預(yù)設(shè)5：學(xué)生能總結(jié)反思、自主建構(gòu).總結(jié)探究過程的邏輯聯(lián)系，反思自己的思想方法，歸納題目蘊(yùn)含的結(jié)論、規(guī)律.

至此，本次數(shù)學(xué)活動(dòng)，問題全部解決.通過類比、歸納等合情推理得到猜想，再驗(yàn)證或證明猜想正確.其中建立二次函數(shù)模型來說明猜想正確的方法，既簡明又有說服力.還得到了兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論.教師放手學(xué)生自主探究、合作交流，師生角色定位良好.教師設(shè)置疑問恰到好處.以問題引導(dǎo)探究活動(dòng)，在探究中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn).安排自主思考與合作交流相結(jié)合，學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力得到實(shí)實(shí)在在的訓(xùn)練.

三、質(zhì)疑再探

質(zhì)疑一：問題（2）與問題（1）情境雖然不同，但兩者是否反映了一個(gè)共同規(guī)律？（預(yù)設(shè)：和一定的兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)它們相等時(shí)，它們的乘積最大.分清楚命題的題設(shè)與結(jié)論，反復(fù)讀一讀、記一記、悟一悟、拓一拓.）

追問1：問題（1）中，頭9尾合十，改為頭6尾合8，也就是61×67，62×66，…，66×62，67×61中哪個(gè)積最大？

追問2：1×199，2×198，3×197，…，197×3，198×2，199×1中哪個(gè)積最大？

以上設(shè)計(jì)意圖：通過變式和拓展，逐步加深對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

質(zhì)疑二：這個(gè)規(guī)律如何表述？

除了用文字表述，你還可以用數(shù)學(xué)符號(hào)語言怎樣表示？（預(yù)設(shè)：優(yōu)秀學(xué)生可以理解a>0，b>0時(shí)ab≤（a+b）24，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.這樣，自然地滲透了基本不等式，屬于高中內(nèi)容，教師點(diǎn)到即止，把握尺度.還可結(jié)合下面回顧，用典型圖形表述.）

追問1：根據(jù)上述結(jié)論，你能自編一道類似的最值問題嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從不同角度認(rèn)識(shí)問題本質(zhì).

質(zhì)疑三：這個(gè)規(guī)律有何應(yīng)用？

“兩個(gè)正數(shù)和一定，積最大”.生活中最常用的實(shí)例有哪些？（體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的綜合性與實(shí)踐性.）

回顧人教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第49頁探究1“用周長為60 m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，當(dāng)l是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？”

回顧人教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第52頁第4題“已知直角三角形兩條直角邊的和等于8，兩條直角邊各為多少時(shí)，這個(gè)直角三角形的面積最大？最大面積是多少？”

回顧人教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第51頁第2題“某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可以賣出（100-x）件，應(yīng)如何定價(jià)才能使利潤最大？”

回顧人教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第52頁第7題“如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，正方形EFGH的面積最小？”

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)活動(dòng)作為一個(gè)單元內(nèi)容全部結(jié)束之后的“綜合與實(shí)踐”，是前面學(xué)過的例題、習(xí)題等主干知識(shí)、方法和應(yīng)用的回顧與復(fù)習(xí).

“設(shè)疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的“三疑三探”課堂組織模式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)自主參與性、綜合性、實(shí)踐性、開放性;通過深入挖掘教材，以問題為課堂活動(dòng)導(dǎo)向，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主思考與合作交流，注重活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累和思想方法滲透，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和函數(shù)建模能力得到不斷升華.

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