賈星偉，殷晨暉，隋國榮

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

工程測量學(xué)作為一門古老的學(xué)科，集光學(xué)、電子學(xué)、傳感器、圖像、制造及計算機等技術(shù)為一體，應(yīng)用于人類生活、生產(chǎn)和科研等各個領(lǐng)域[1]。經(jīng)濟社會的進(jìn)步促進(jìn)了測量技術(shù)的發(fā)展，同時對測量技術(shù)提出了更高的要求。20世紀(jì)80年代以來，現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)利用計算機視覺進(jìn)行的非接觸式測量成為一種新興的測量技術(shù)[2]。計算機視覺的主要任務(wù)是根據(jù)二維圖像信息獲得實際三維場景中物體的空間位置、形狀等幾何信息[3]，從而進(jìn)行物體識別與重建等。其關(guān)鍵是對該系統(tǒng)建模，找到圖像與物體的映射關(guān)系，精準(zhǔn)的視覺測量建立在精確的映射關(guān)系的基礎(chǔ)之上[4-5]。

攝像機成像系統(tǒng)是較為復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)。攝像機模型是光學(xué)幾何關(guān)系的簡化，最簡單的模型為針孔模型[6]，是一種理想的近似模型，由三維空間到平面的中心投影變換所給出[3]。其他如Martins等[7]提出的雙平面攝像機模型，不要求光線必須經(jīng)過光心，可利用任一圖像點計算出兩標(biāo)定平面上的對應(yīng)點，進(jìn)而確定產(chǎn)生該圖像點的光線。針孔線性模型由射影幾何得來，自攝影測量學(xué)興起時一直沿用至今[8]，計算機視覺在工業(yè)自動化檢測、遙感圖像分析、醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域越來越廣泛的應(yīng)用[9-11]普遍使用針孔模型作為理論基礎(chǔ)。航空攝像機獲取遙感圖像實現(xiàn)目標(biāo)定位，根據(jù)直線透視投影不變性，在針孔成像模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行幾何畸變自動校正[12]，能夠準(zhǔn)確校正圖像變形，在2500 m高空作業(yè)時均方根誤差約為2 m。在大視場的雙目視覺測量系統(tǒng)中，由單目針孔模型結(jié)合兩臺攝像機的成像原理，構(gòu)建系統(tǒng)模型參數(shù)，利用空間平行線及垂直線求解約束方程，實現(xiàn)系統(tǒng)的標(biāo)定，避免了對標(biāo)定物的依賴，平均標(biāo)定誤差為0.51%[13]。進(jìn)行大型工件三維尺寸檢測時，采用全線性標(biāo)定方法，使用多個CCD攝像機(多于60個)，并假設(shè)成像模型為針孔模型且不考慮畸變，對白車身(測量范圍為6 m左右)進(jìn)行測量，誤差優(yōu)于0.05 mm[14]。高精度的攝像機標(biāo)定過程中，首先結(jié)合理想的針孔模型及透鏡畸變模型建立實際的攝像機模型，考慮圖像中心畸變小的問題，利用中心區(qū)域數(shù)據(jù)初步計算部分參數(shù)，再代入綜合模型逼近精確解，此方法重復(fù)性好，平均像素誤差僅為0.114 9 pixel[15]。

根據(jù)前述國內(nèi)外文獻(xiàn)分析，可見大部分光學(xué)系統(tǒng)都采用了針孔模型進(jìn)行分析。但缺乏相關(guān)文獻(xiàn)對針孔模型進(jìn)行建模分析、設(shè)計并進(jìn)行實驗研究以獲得相應(yīng)的實驗結(jié)果，從而支撐將針孔模型用于攝像機光學(xué)系統(tǒng)的觀點。為此，本文分析、構(gòu)建傳統(tǒng)攝像機線性模型；根據(jù)成像規(guī)律，設(shè)計新模板的視覺測量實驗，通過改變系統(tǒng)待測模板的線段長度，并利用21組數(shù)據(jù)擬合成像的線性結(jié)果，觀察分析攝像機成像能達(dá)到的線性度；在20個不同位置進(jìn)行重復(fù)性實驗，進(jìn)一步分析了該方法中針孔線性模型的實用性。實驗通過提取多組待測物的特征，直接進(jìn)行圖像及實際線段的測量比較，分析攝像機線性模型測量精度。實驗結(jié)果顯示實際針孔模型可以實現(xiàn)相對測量誤差不超過1%，在該模型下重復(fù)測量誤差最大不超過0.3 mm量級，測量精度不低于0.1 mm，為計算機視覺中攝像機線性針孔模型的使用提供了重要的參考。

1 數(shù)學(xué)模型分析

1.1 基本成像模型

三維物體通過透鏡映射到成像面上，其中的變換關(guān)系可以由成像模型來描述。通常計算機視覺中廣泛使用針孔模型[3]，它是簡化的光學(xué)成像線性模型，在數(shù)學(xué)上可以表示為三維空間到二維平面的中心投影?？臻g中任何一點P與光心O的連線交圖像于一點p，則p為P在圖像中的投影位置，如圖1所示。

圖1 攝像機基本成像模型Fig. 1 Basic imaging model of camera

下面描述針孔模型數(shù)學(xué)建立過程[16]，實現(xiàn)二維圖像點與三維空間的轉(zhuǎn)換。如圖2所示，在圖像上定義直角坐標(biāo)系u、v為圖像像素坐標(biāo)系，它以像素為單位，表示像點位于圖像上的行數(shù)與列數(shù)。為了用物理單位表示像點在圖像中的位置，需要建立圖像物理坐標(biāo)系，光軸交圖像平面于o點，以o點為原點，x軸和y軸分別平行于u、v，構(gòu)成以物理單位（如mm）表示的圖像坐標(biāo)系。

圖像物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為像素坐標(biāo)，有

圖2 圖像坐標(biāo)系Fig. 2 Image coordinate system

式中：dx，dy分別是CCD上u軸和v軸的尺寸因子；(u0, v0)是圖像中心點的坐標(biāo)。將其表示為矩陣形式：

以光心O為原點，xc軸平行于x軸，yc軸平行于y軸，O、xc、yc構(gòu)成攝像機坐標(biāo)系。圖像物理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為攝像機坐標(biāo)系：

式中：f為攝像機鏡頭的焦距?？杀硎緸榫仃囆问剑?/p>

由于物體和攝像機可以擺放在任意位置，需要在環(huán)境中選擇一個基準(zhǔn)坐標(biāo)系，用來描述攝像機以及空間中任意物體的位置，這個基準(zhǔn)坐標(biāo)系可以人為定義，稱之為世界坐標(biāo)系。為了將世界坐標(biāo)系中的點P轉(zhuǎn)換到攝像機坐標(biāo)系中，引入旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量t進(jìn)行兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

式中：R是3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣，3個列向量均為單位向量，并相互正交；t是3×1的平移矩陣。

綜上，攝像機模型可簡寫為

1.2 非線性畸變校正

實際上，由于光學(xué)系統(tǒng)中鏡頭失真、鏡頭組的設(shè)計與組裝誤差造成像點位置偏移，針孔模型并不能完美地表達(dá)像點的真實位置[19-20]。線性模型描述的像點位置與實際像點的關(guān)系可以表示為

式中：δx、δy是像點在x、y方向的偏移量，與圖像點在圖像中的位置有關(guān)。理論上鏡頭同時存在徑向畸變和切向畸變，如圖3所示。

圖3 畸變模型Fig. 3 Distortion model

光線在遠(yuǎn)離透鏡中心的地方比靠近中心的地方折射率更大，造成了視野總光軸中心區(qū)域的放大率不同于邊緣區(qū)域的放大率。透鏡不平行于圖像平面且透鏡組各個透鏡光軸不重合。由于攝像機工藝的發(fā)展，一般切向畸變比較小，主要考慮徑向畸變的修正量。同軸透鏡的徑向畸變量關(guān)于光軸嚴(yán)格對稱，故

2 實驗結(jié)果與分析

2.1 實驗過程

為了驗證針孔相機模型的可靠性和適用范圍，自行設(shè)計模板進(jìn)行標(biāo)定實驗，比較模板線段的實測長度與經(jīng)過相機成像后測得的長度。實驗結(jié)果表明，在一定的物距范圍內(nèi)，經(jīng)過成像后的模板線段仍然具有很好的線性度，針孔模型可以適用。物距越小，標(biāo)準(zhǔn)誤差越大。這表明物距越小，對應(yīng)的光學(xué)像差越大。

實驗的基本步驟如圖4所示。首先設(shè)計和制作待測模板，然后使用攝像機對多張模板依次進(jìn)行拍攝，應(yīng)用圖像處理的方法記錄模板各個位置處線段的長度。利用攝像機采集到的每張模板不同位置線段的成像數(shù)據(jù)，分析針孔模型的適用范圍和可靠性。設(shè)計的模板如圖5所示。

圖4 實驗過程Fig. 4 Experimental procedure

首先設(shè)計并制作21張待測模板，每個待測模板是使用Visio軟件繪制的21條長度漸變的平行線段，將其存入PowerPoint。以放映幻燈片的方式切換模板，不僅可以全屏顯示模板，而且可以減小更換模板帶來的誤差。鏡頭的光學(xué)像差是不可避免的，圖像不同位置處的光學(xué)像差不同。實驗為了觀察攝像機光學(xué)系統(tǒng)在不同物距和不同視場的成像線性度，需要分別比較兩種成像效果，即多張模板圖像中同一位置處的線段成像效果和單張模板圖像中不同位置處的線段成像效果。為了讓線段盡可能充滿整個成像傳感器，且避免線段排布緊密導(dǎo)致檢測受到干擾，需選擇合適的平行間距及線段長度。第一張模板中線段長度從上到下由90 mm依次遞減3.6 mm，至18 mm，其中每兩條線段間隔2 mm；第二張模板中兩兩線段間距不變，只是將最下面一條線段移到最上面的位置，上面的20條線段依次往下調(diào)整一格位置，以此類推，設(shè)計21個標(biāo)定模板，使得每個位置都有相同的21組不同數(shù)據(jù)。

圖5 待測模板Fig. 5 Template for testing

系統(tǒng)實驗平臺的基本思路如圖6所示，在該圖基礎(chǔ)上選用MV-VEM200SM型號的黑白攝像機，分辨率為1 600 pixel×1 200 pixel。鏡頭為M3Z1228C-MP工業(yè)鏡頭。防震臺的一端放置攝像機，電子屏幕固定于一維導(dǎo)軌上。定義模板平面在世界坐標(biāo)系中z=0，將三維空間中線段的測量轉(zhuǎn)換為平面線段測量，不需要計算三維坐標(biāo)，減少計算量。利用精度為0.01 mm的游標(biāo)卡尺進(jìn)行目標(biāo)點在世界坐標(biāo)系下的測量，記錄顯示屏上每條線段的實際長度。

圖6 實驗系統(tǒng)平臺Fig. 6 Experiment platform

實驗首先要調(diào)整電子屏與攝像機平面平行，并且攝像機光心通過電子屏中心，在模板平面距離攝像機光心18～38 cm的條件下進(jìn)行，每個位置拍攝21張模板圖像，輕觸顯示屏更換模板，

這樣可以減小實驗誤差。用電位移平臺使模板每次移動1 cm，并且保證焦距不變，同樣拍攝21張模板照片。拍攝20組模板照片，在Visual Studio 2015和OpenCV 3.3下編寫亞像素級角點檢測程序，獲得圖像模板上每條線段像素個數(shù)(單位：pixel)。

2.2 實驗結(jié)果與分析

第一組實驗將電子屏固定在距離攝像機光心18 cm處的位置，拍攝21張標(biāo)定模板，然后使用亞像素級角點檢測方法，提取每個模板中最中間的第11條線段所占的像素個數(shù)，結(jié)果如表1所示。假設(shè)經(jīng)過成像后線段的像素長度為y，模板線段實際長度為x，函數(shù)擬合結(jié)果如圖7所示。經(jīng)過函數(shù)擬合，可以看出實驗系統(tǒng)成像效果滿足線性關(guān)系 y =0.070 8x?0.547，每個像素代表固定的實際長度。

由圖7可以看出，實驗中間線段經(jīng)過攝像機成像后的像素長度具有優(yōu)秀的線性擬合效果，也就是說攝像機在這種情況下滿足小孔成像。此線性模型參數(shù)及統(tǒng)計量如表2所示，線性回歸方程為y=p1x+p2，其中y代表實際長度(單位：mm)，x代表像素長度(單位：pixel)，系數(shù)p1表示一個像素對應(yīng)的實際長度，p2為常數(shù)項，表示系統(tǒng)誤差如平臺搭建產(chǎn)生的誤差等。從表2可以得出，檢驗直線方程擬合程度的可決系數(shù)R2=0.999 97，其值越接近1，說明此方程的擬合程度越好。標(biāo)準(zhǔn)誤差項表示實際值與擬合估計值的總體偏差，用來衡量回歸方程的代表性，其值越小代表擬合效果越好。標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為

表1 第 11 條線段測量結(jié)果Tab. 1 Measurement results of Line 11

圖7 第 11 條線段測量結(jié)果Fig. 7 Measurement results of Line 11

表2 線性模型參數(shù)及統(tǒng)計量表Tab. 2 Linear model parameters and statistics

式中：n為樣本數(shù)；m為變量數(shù)；Se為剩余平方和。

由表2可以看出，標(biāo)準(zhǔn)誤差S較小，說明此線性模型假設(shè)合理，能夠很好地解釋圖像線段與物方實際線段的關(guān)系。用此線性模型隨機測量不同位置的幾條線段的數(shù)據(jù)，取上(第1條線)、中(第11條線)、下(第21條線)3個位置的線段測量數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果表明，絕對誤差不超過0.26 mm，相對誤差不超過0.28%，實驗結(jié)果如表3所示。

表3 模型測量結(jié)果Tab. 3 Measurement results of model

為了進(jìn)一步比較、確定模板中間還是邊緣的光學(xué)像差會影響成像的線性度，采用同樣的方法研究物距30 cm處模板中其他位置的線段，得到的標(biāo)準(zhǔn)誤差隨線段位置的變化如圖8所示。由圖8可以進(jìn)一步得出，成像線性度主要受邊緣圖像的畸變影響，中間部分的線段標(biāo)準(zhǔn)誤差小，說明中間部分畸變較小，邊緣部分的線段標(biāo)準(zhǔn)誤差大，說明邊緣部分畸變較大。進(jìn)一步可以得出視場越大，畸變越大。

在實際測量中，難免會產(chǎn)生誤差。誤差包括拍攝時光照不均、手動測量誤差、圖像特征提取誤差等，實驗中此線性模型測量的相對誤差不超過0.28%，非常接近真實值，說明其可信度很高且具有實用價值，但其絕對誤差達(dá)到0.26 mm級別，可見在測量精度要求較高的場合下需要進(jìn)一步改進(jìn)。

圖8 標(biāo)準(zhǔn)誤差比較Fig. 8 Comparison of the standard error

在電子屏幕距離攝像機平面18～38 cm處進(jìn)行重復(fù)實驗，選擇每組物距下的第8張圖片進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，部分測量結(jié)果如表4所示。其中標(biāo)準(zhǔn)誤差為各距離下對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合后的結(jié)果，同時利用擬合的線性模型對模板中上、中、下3個位置的線段(第1條，第11條，第21條)長度進(jìn)行預(yù)測，與實際值對比后計算其相對誤差。

表4 不同距離下模型測量結(jié)果Tab. 4 Measurement results of model at different distances

模型標(biāo)準(zhǔn)誤差隨物距的變化如圖9所示，可以推測，攝像機系統(tǒng)成像的線性程度與物距有一定關(guān)系。且物距越小，標(biāo)準(zhǔn)誤差越大，說明線性模型的擬合程度相對較差，也就是對應(yīng)的光學(xué)像差大，圖像畸變大。此線性模型在遠(yuǎn)距離時測量結(jié)果更加穩(wěn)定，然而隨著物距的增大，可能會應(yīng)用大焦距去拍攝遠(yuǎn)距離物體，此時帶來的結(jié)果就是犧牲圖像畫質(zhì)，誤差也會相對增加。因此在實際應(yīng)用中，應(yīng)平衡各因素的影響，選擇焦距合適的鏡頭，選擇最佳的物距。

圖9 物距與標(biāo)準(zhǔn)誤差的關(guān)系Fig. 9 Relationship between object distance and standard error

3 結(jié) 論

視覺測量以攝像機模型為基礎(chǔ)完成后續(xù)測量任務(wù)，復(fù)雜的攝像機系統(tǒng)是否可以看作線性模型有待考證。本文通過搭建單目視覺系統(tǒng)進(jìn)行了重復(fù)性測量實驗，20組實驗結(jié)果表明在該實驗條件下攝像機成像的線性度高，使用攝像機基本模型——線性模型進(jìn)行計算機視覺任務(wù)是有效可行的。實驗方法中使用多組線段構(gòu)成的模板組，其特征提取過程簡便且提取結(jié)果精度高。實驗不僅為針孔線性模型的使用提供了依據(jù)，同時由于實驗方法避免了復(fù)雜的模型運算，計算簡單，在本實驗條件下線性模型測量的相對誤差不超過1%，近距離測量時測量誤差不超過0.3 mm，因此在有特定精度要求的應(yīng)用場合可直接用于平面測量。