藍(lán)和平 卓泳萍

摘 要：空間幾何教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。但是，由于幾何內(nèi)容抽象，強(qiáng)調(diào)演繹推理，所以構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)。如何突破這一難點(diǎn)？首先要準(zhǔn)確把握小學(xué)幾何題解題難的原因，然后找到有針對(duì)性的策略。

關(guān)鍵詞：幾何題；困難；調(diào)查；對(duì)策

空間幾何教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。但是，由于幾何內(nèi)容抽象，強(qiáng)調(diào)演繹推理，所以構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)。如何突破這一難點(diǎn)？首先要準(zhǔn)確把握小學(xué)幾何題解題難的原因，然后找到有針對(duì)性的策略。于是，我決定采取問(wèn)卷調(diào)研和學(xué)生解題過(guò)程相結(jié)合的方法研究。

一、問(wèn)卷調(diào)研

六年級(jí)兩個(gè)班共100人，每人一卷，我強(qiáng)調(diào)調(diào)研的真實(shí)性。同學(xué)們積極配合。對(duì)調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)如下表：

從整個(gè)統(tǒng)計(jì)表看，學(xué)生在知道計(jì)算公式方面（問(wèn)題1、問(wèn)題2）“能”的人數(shù)比例較高，而公式的推導(dǎo)過(guò)程（問(wèn)題3、問(wèn)題4）“能”的人數(shù)比例較低。從數(shù)據(jù)上顯示出學(xué)生沒(méi)有深刻體驗(yàn)到公式的推導(dǎo)過(guò)程。問(wèn)題5“不能”的人數(shù)比例是65%，學(xué)生對(duì)于一些幾何概念很模糊。問(wèn)題10“沒(méi)有”的人數(shù)比例是80%，學(xué)生不善于反思自己的思維過(guò)程，長(zhǎng)久下去必定導(dǎo)致思維單一。另外在添加輔助線(xiàn)、畫(huà)圖助理解、觀察幾何模型、畫(huà)立體圖四個(gè)方面“沒(méi)有”的人數(shù)比例也較高。如此看來(lái)，學(xué)生的識(shí)圖和作圖能力較弱。而識(shí)圖和作圖能力直接影響到學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。

可見(jiàn)，學(xué)生在空間想象力、識(shí)圖作圖、概念闡述、思維靈活性四個(gè)方面存在問(wèn)題。為了進(jìn)一步證實(shí)學(xué)生解答幾何題困難的原因，我挑選教學(xué)中出錯(cuò)率較高的幾何題，讓學(xué)生解答，了解出錯(cuò)的原因，挖掘影響學(xué)生正確解答幾何題的不良因素。

二、結(jié)合問(wèn)卷調(diào)研的結(jié)果和教學(xué)中學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行具體分析

1.空間想象能力差

學(xué)生中已經(jīng)了解求解圖形面積公式的占比高達(dá)85%，但是僅有44%了解推導(dǎo)這一計(jì)算方程的經(jīng)過(guò)。由此可知，多數(shù)學(xué)生并未有補(bǔ)、割、平移和旋轉(zhuǎn)等計(jì)算推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，只是將公式死記硬背下來(lái)。學(xué)生并不了解圖形轉(zhuǎn)化的流程經(jīng)過(guò)，尤其是立體幾何學(xué)科，學(xué)生“畫(huà)”“看”“思考”的不夠多，沒(méi)有能力將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)為平面幾何問(wèn)題，不具備較強(qiáng)的空間想象能力。

如下面左圖是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖形，圖形（ ）經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后和標(biāo)準(zhǔn)圖形完全相同（圖1）。

這是有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，許多學(xué)生做錯(cuò)了。學(xué)生沒(méi)有實(shí)際的物體去實(shí)踐操作嘗試，只能在腦海里想象，這就要求學(xué)生有一定的空間想象能力，一旦想象模糊，題目就會(huì)出錯(cuò)?？梢?jiàn)，學(xué)生的空間想象力影響到幾何題的正確性。

2.識(shí)圖和作圖能力較弱

調(diào)查問(wèn)卷表明學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。學(xué)生在面對(duì)幾何題計(jì)算求解過(guò)程中，更加慣于從條件和問(wèn)題之間尋找其中內(nèi)在關(guān)聯(lián)、摸索思考，但很少審題并繪制圖形分析題干，而認(rèn)為繪圖計(jì)算需要耗費(fèi)大量的時(shí)間精力。例如，下面這道題，100名學(xué)生里45人做錯(cuò)了。

選擇題：將平行四邊形拉成長(zhǎng)方形，那么平行四邊形面積（ ）長(zhǎng)方形面積。

A.大于 B.等于 C.小于

這一題其實(shí)很好理解，只需將繪圖并對(duì)比“高”就能夠得到答案?？墒菍W(xué)生在實(shí)際計(jì)算時(shí)，卻很容易出錯(cuò)。筆者了解到多數(shù)得出正確答案的學(xué)生在解題時(shí)都在稿紙上繪制了圖形。而沒(méi)有得出正確答案的學(xué)生（共計(jì)45名）中，有38人解題從不繪圖，胡亂猜測(cè)、盲目下筆。

除了不善于畫(huà)圖以外，學(xué)生的識(shí)圖能力也較弱。有些圖形題看似復(fù)雜，其實(shí)認(rèn)真細(xì)看，添加輔助線(xiàn)幫助分割，圖形就會(huì)變得很簡(jiǎn)單。例如，求陰影部分面積（圖2）。大部分學(xué)生覺(jué)得無(wú)從下手。其實(shí)只要在圖形上添兩條輔助線(xiàn)，把圖分割移補(bǔ)后可以得到：陰影部分的面積剛好等于正方形面積的二分之一。

3.概念闡述欠準(zhǔn)確

幾何題中的概念比較多，概念所反映的內(nèi)涵是非常明確的，來(lái)不得半點(diǎn)模糊。一旦理解不透，思維推理不嚴(yán)謹(jǐn)，解題就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。在求解下題“星星工程項(xiàng)目組建設(shè)過(guò)程中使用的新型壓路機(jī)的滾筒結(jié)構(gòu)直徑大小為1m，滾筒總長(zhǎng)1.5m，如果以10圈/min的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，一小時(shí)能夠前進(jìn)多遠(yuǎn)？”有60%的學(xué)生錯(cuò)列式為3.14×1×1.5×10，把底面周長(zhǎng)算成了圓柱的側(cè)面積，學(xué)生對(duì)底面周長(zhǎng)的含義并不十分理解。

4.解題思維不靈活

許多學(xué)生在做題的時(shí)候表現(xiàn)出不能觸類(lèi)旁通，只能是老師怎樣講的就怎樣用。對(duì)于延拓性的題目感到束手無(wú)策。例如學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的面積計(jì)算后，解答以下三道應(yīng)用題。

（1）圖中半圓的直徑是5厘米，求整個(gè)圓的面積。

（2）丁丁用一根長(zhǎng)31.4米的紅色鐵絲，然后繞成一個(gè)圓形，請(qǐng)求出這個(gè)圓的面積。

（3）已知半圓的周長(zhǎng)等于10.28厘米（圖3），求半圓的面積。

對(duì)于第（1）題，并沒(méi)有多少學(xué)生感到困難。解答第（2）題時(shí)，有部分學(xué)生感到比較困難，但經(jīng)過(guò)教師的點(diǎn)撥，很快就領(lǐng)悟如何解答。對(duì)于第（3）題很多學(xué)生就感到無(wú)從下手了。為什么學(xué)生會(huì)感到第（3）題很困難？因?yàn)檫@題不像書(shū)本的例題，他們找不到“圓的半徑是多少”。就算有的學(xué)生懂得方法，可是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，求半徑時(shí)錯(cuò)列式為“10.28×2÷3.14÷2”，把“半圓周長(zhǎng)中的直徑”漏掉了。學(xué)生受到了書(shū)本例題的影響，教師教過(guò)的題，他們就會(huì)做；沒(méi)有教過(guò)的題，越不典型，就有越多學(xué)生可能解決不了。這種消極的思維方式，不僅影響到小學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)，可能成為中學(xué)階段學(xué)習(xí)的一個(gè)隱患。

三、策略

1.訓(xùn)練看、畫(huà)、想，培養(yǎng)空間想象力

在進(jìn)行幾何初步知識(shí)教學(xué)時(shí)，應(yīng)該重視學(xué)生的觀察、繪圖、思考。也就是“多看”，多閱讀教材，多對(duì)比、觀察不同模型、圖形以及實(shí)體等；“多畫(huà)”即經(jīng)常練習(xí)繪制3D圖，經(jīng)常從不同角度繪圖；“多想”即將實(shí)體轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀文Ｐ停⑾胪ú煌瑘D形和部分的關(guān)聯(lián)，閉上眼睛之后在腦海中重現(xiàn)想象幾何圖形。譬如在教授圓錐體時(shí)，高線(xiàn)就是學(xué)生無(wú)法真實(shí)看見(jiàn)，也無(wú)法觸摸到，很難掌握的知識(shí)，因此教師可以運(yùn)用模型展示、操作實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生觀察，助其建立圓錐體的“高”這一概念。在授課時(shí)，教師不妨用教具順著底面直徑和頂點(diǎn)之間連線(xiàn)將圓錐切開(kāi)，接著展開(kāi)讓學(xué)生觀察所獲截面（等腰三角形），三角形底邊為底面圓直徑，從底面圓心到頂點(diǎn)之間直線(xiàn)距離即為“高”。隨后再讓學(xué)生親自測(cè)量“高”，并在黑板上繪圖標(biāo)識(shí)。如此一來(lái)，抽象概念就變得具體而形象了，學(xué)生更好理解?？傊?，“多看”“多畫(huà)”“多想”是培養(yǎng)空間想象力的重要途徑。

2.注重實(shí)驗(yàn)操作，建立形體表象

常言道“光說(shuō)不練假把式”。圖形知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，不應(yīng)該僅僅重視“觀察”，還應(yīng)該結(jié)合實(shí)驗(yàn)操作教學(xué)，幫助學(xué)生更好地感知理解幾何形體。譬如在教授“圓柱表面積”部分內(nèi)容時(shí)，老師可以利用教具，將圓柱體展開(kāi)，隨后帶領(lǐng)學(xué)生繪制展開(kāi)圓柱體后所得平面圖，再說(shuō)明各面計(jì)算方法。如此一來(lái)，學(xué)生先觀察然后繪圖，就很容易理解“圓柱表面積”這一知識(shí)點(diǎn)了。

3.加強(qiáng)變式訓(xùn)練，掌握解題技巧

在求解幾何題時(shí)常用的方法和數(shù)學(xué)思想有翻折、平移、割拼、割補(bǔ)、借用、旋轉(zhuǎn)以及添線(xiàn)等。完成基礎(chǔ)知識(shí)部分教學(xué)之后，筆者運(yùn)用活動(dòng)課，設(shè)計(jì)了大量練習(xí)題，練習(xí)上述解題方法的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用和問(wèn)題求解能力。如圖4，即為割補(bǔ)方法解題的案例。學(xué)生只有認(rèn)真識(shí)圖，才能正確地移補(bǔ)陰影部分，還原成一個(gè)三角形。圖中的陰影部分就是拼成一個(gè)三角形。又如，圖5是利用添線(xiàn)、割拼的方法解答的。這是求圖形面積的幾何題，圖形很特別，用常規(guī)思路解答，常常無(wú)從下手。若能巧添輔助線(xiàn)，就能化難為易，使問(wèn)題迅速得到解決。用線(xiàn)連接起來(lái)后可以看出，這個(gè)圖形的面積是一個(gè)正方形的面積加上一個(gè)圓形的面積。只要能作出準(zhǔn)確的輔助線(xiàn)，學(xué)生便會(huì)體驗(yàn)到柳暗花明又一村的美妙。

學(xué)生解答幾何題困難的原因是復(fù)雜多樣的。本人只是從學(xué)生方面挖掘原因，提出實(shí)踐性的對(duì)策。實(shí)踐后我感覺(jué)效果很好，因此拿來(lái)與為“學(xué)生解答幾何題困難”犯愁的同行參考。學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，對(duì)老師的教育方法提出很高的要求。愿大家共同努力，把解幾何題的活動(dòng)更好地變成學(xué)生動(dòng)腦筋、再創(chuàng)造的過(guò)程。