(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 河南洛陽 471003；2.洛陽鐵路信息工程學(xué)校 河南洛陽 471934； 3.國家軸承質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心 河南洛陽 471003)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是當(dāng)今社會(huì)應(yīng)用最普遍的機(jī)械設(shè)備，例如：電動(dòng)機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、葉片葉輪等。隨著社會(huì)發(fā)展和人類的進(jìn)步，旋轉(zhuǎn)機(jī)械也向著重載高速、輕量化、大跨度、柔性強(qiáng)的方向發(fā)展[1]。旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的核心零部件是軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有明顯的非線性。由于非線性現(xiàn)象對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的安全運(yùn)行和生產(chǎn)，造成了重大安全隱患。因此，隨著研究的深入，該系統(tǒng)轉(zhuǎn)子間的非線性油膜力的影響愈發(fā)受到重視。

對(duì)非線性油膜力的研究，通常基于Reynolds方程解析油膜力，解析方法包括有限元法或有限差分法(Finite Difference Method，F(xiàn)DM)[2]、簡化模型法、變分法[3]以及數(shù)據(jù)庫法。然而，有限元法或FDM雖然計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性高，但計(jì)算速度慢且耗時(shí)；簡化模型法雖計(jì)算精度低，但速度快，求解方法簡單；變分法雖計(jì)算精度高，但編程不易且迭代次數(shù)多；數(shù)據(jù)庫法具有高效和可靠等特點(diǎn)，但建數(shù)據(jù)庫較為復(fù)雜，普遍應(yīng)用性較差。以上求解方法各有優(yōu)劣，為此國內(nèi)外學(xué)者探討了建立一種快速、高精度的解析模型，來求解軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性油膜力。為了在不同邊界條件下盡可能準(zhǔn)確地求解Reynolds方程[4]，從而得到能夠適用于非線性動(dòng)力學(xué)的非線性油膜力，文獻(xiàn)[5-6]提出一種油膜力計(jì)算方法，分析了油膜力的內(nèi)部規(guī)律和特性；文獻(xiàn)[7]基于動(dòng)態(tài)“π”油膜假設(shè)模型，采用分離變量的方法對(duì)油膜力進(jìn)行了解析；文獻(xiàn)[8]提出一種結(jié)構(gòu)簡單、實(shí)用性強(qiáng)的油膜力解析模型；文獻(xiàn)[9]通過二維變分不等式降階的方法，對(duì)油膜力進(jìn)行了解析。日前，研究人員雖然對(duì)軸承的油膜力做了一些研究，但對(duì)表面織構(gòu)動(dòng)壓滑動(dòng)軸承油膜力解析模型的研究卻鮮有報(bào)道。

本文作者基于Sommerfeld邊界條件推導(dǎo)了表面織構(gòu)動(dòng)壓滑動(dòng)軸承油膜力解析式，求解了不同織構(gòu)參數(shù)下、不同織構(gòu)區(qū)域量綱一油膜力，通過與其他模型在不同長徑比和偏心率下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了提出方法的正確性和有效性。

1 表面織構(gòu)動(dòng)壓滑動(dòng)軸承油膜壓力理論模型

1.1 Reynolds控制方程

流體潤滑的基礎(chǔ)是Reynolds方程，解析該方程比較復(fù)雜，一般情況下需要簡化該方程以便解析。根據(jù)相關(guān)假設(shè)，適合表面織構(gòu)動(dòng)壓滑動(dòng)軸承的Reynolds方程為

(1)

式中：μ為油液動(dòng)力黏度，Pa·s；h為油膜厚度，m；p為油膜壓力，Pa；Ω為軸轉(zhuǎn)速，m/s；z為軸承長度方向坐標(biāo)，m；θ為軸承周向坐標(biāo)，m。

1.2 表面織構(gòu)動(dòng)壓軸承油膜方程推導(dǎo)

表面織構(gòu)動(dòng)壓軸承油膜理論模型示意圖，如圖1所示。

圖1 表面織構(gòu)滑動(dòng)軸承示意圖

光滑軸承油膜厚度為h1，油膜間隙c=R1-R2。則光滑軸承的油膜厚度表示如下：

h1=c+ecosθ

(2)

式中：e為軸承偏心距；c為軸承間隙。

在圖1所示的表面織構(gòu)動(dòng)壓滑動(dòng)軸承示意圖中，BC表示圓形凹坑的油膜厚度h2，且BC=O1C-O1B。故，織構(gòu)化動(dòng)壓軸承油膜厚度表示如下：

h3=h1+h2

(3)

表面織構(gòu)軸承中任意一個(gè)凹坑織構(gòu)的油膜厚度h2為

(4)

因此，表面織構(gòu)軸承油膜厚度h4為

(5)

表面織構(gòu)軸承油膜厚度解析式對(duì)于大尺寸凹坑織構(gòu)的計(jì)算具有指導(dǎo)意義[10]。表面織構(gòu)軸承的微凹坑織構(gòu)一般比較小，推導(dǎo)的油膜厚度解析式用于計(jì)算往往不夠準(zhǔn)確，因此進(jìn)行一定程度的修正是必要的，使理論結(jié)果滿足工程實(shí)際的需求。文中提出一種油膜厚度的計(jì)算方法——等體積法，對(duì)油膜厚度解析式進(jìn)行修正。選擇任意某一織構(gòu)處的凹坑進(jìn)行分析，表面織構(gòu)軸承凹坑織構(gòu)局部區(qū)域示意圖，如圖2所示。

圖2 表面織構(gòu)軸承局部區(qū)域示意圖

在圖2中，有以下幾何關(guān)系：

(6)

(7)

根據(jù)等體積法，則V球=V圓柱。在圖2中，表面織構(gòu)軸承微凹坑油液的油膜體積VEMDN表示如下：

VEMDN=VENDO3-VEMDO3

(8)

半球體體積表達(dá)式如下：

(9)

故，半球體體積VEMDO3為

VEMDO3=

(10)

將式(9)、(10)代入式(8)則表面織構(gòu)軸承任意微凹坑增加的油膜體積為

(11)

令R1/R3=k，則式(11)圓形凹坑增加的油膜厚度表達(dá)式為

(12)

經(jīng)過修正后，織構(gòu)化動(dòng)壓滑動(dòng)軸承的油膜厚度解析式如下：

(13)

光滑軸承油膜厚度與織構(gòu)軸承油膜厚度的三維分布，如圖3所示。

圖3 動(dòng)壓滑動(dòng)軸承量綱一油膜厚度三維分布圖

1.3 表面織構(gòu)軸承Reynolds方程量綱一化

表面織構(gòu)軸承解析模型的分析中，為了提高分析結(jié)果的普遍性，對(duì)Reynolds方程量綱一化處理。經(jīng)過量綱一化處理后，分析中的變量相對(duì)減少，方程式結(jié)構(gòu)更加緊湊，突出強(qiáng)調(diào)相關(guān)變量的影響，且減小無關(guān)變量對(duì)分析結(jié)果的干擾。量綱一化后的結(jié)論，提高了結(jié)論的適用性。

其中Reynolds方程(1)表示了一個(gè)非齊次二階偏微分方程，其中油膜壓力P(x,θ)是一個(gè)隨著軸向和圓周兩個(gè)方向變化的函數(shù)。對(duì)織構(gòu)油膜厚度進(jìn)行軸向和圓周方向求導(dǎo)得：

(14)

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)和式(1)，對(duì)表面織構(gòu)軸承Reynolds方程式(1)進(jìn)行量綱一化后得：

(16)

式中：P表示織構(gòu)軸承量綱一油膜壓力；p0在織構(gòu)軸承中表示為p0=6μΩR2/c2

式(16)中，等式的左邊是一個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，右邊是油膜壓力在圓周方向隨著角度變化而變化的函數(shù)表達(dá)式。令等式右邊油膜壓力圓周方向的函數(shù)表達(dá)式為f(θ)，則有：

(17)

1.4 表面織構(gòu)動(dòng)壓軸承油膜壓力解析表達(dá)式

表面織構(gòu)軸承油膜壓力P(ζ,θ)是由沿軸向分布?jí)毫(ζ)和圓周方向分布?jí)毫(θ)兩部分組成。分離變量后變成軸向壓力u(ζ)和周向壓力v(θ)兩部分。為了求解織構(gòu)軸承油膜壓力的分布，采用分離變量的方法對(duì)表面織構(gòu)軸承油膜壓力分布P(ζ,θ)進(jìn)行變量分離，則，表面織構(gòu)軸承油膜壓力P(ζ,θ)分離變量后為

P(ξ,θ)=u(ξ)v(θ)

(18)

式(18)經(jīng)過分離變量后，織構(gòu)軸承在圓周方向的函數(shù)v(θ)為

(19)

(20)

經(jīng)過求解后，式(20)中Z(θ)的解集如下：

(21)

為得到圓周方向油膜壓力v(θ)的函數(shù)表達(dá)式，對(duì)式(21)兩端進(jìn)行積分，則有：

(22)

織構(gòu)軸承油膜壓力P(x,θ)在圓周方向壓力v(θ)函數(shù)中的c1、c2和C表示常數(shù)。令C=0，經(jīng)過整理后得到周向油膜壓力v(θ)函數(shù)表達(dá)式如下：

(23)

表面織構(gòu)軸承油膜在Sommerfeld油膜邊界下周向油膜壓力分布為

(24)

Sommerfeld油膜邊界下周向油膜壓力v(θ)函數(shù)中的常數(shù)c1和c2表示如下：

(25)

(26)

在Sommerfeld油膜邊界下，圓周方向油膜壓力v(θ)分布如圖4所示。

表面織構(gòu)軸承油膜壓力P(ζ,θ)沿軸向油膜壓力為u(ζ)。為求解織構(gòu)軸承軸向油膜壓力u(ζ)，對(duì)式(17)等式左右兩端同乘sin(θ-θ1)/H3，織構(gòu)軸承周向由θ1向θ2變化。令，

a2=d1/d2;b=d3/d2;

(27)

圖4 周向量綱一油膜壓力分布

軸向的Sommerfeld油膜邊界條件：

(28)

式(27)為二階常系數(shù)非齊次微分方程，而該方程等式的右邊常數(shù)b存在3種情況：

(1)假若b=0時(shí)，式(27)變成一個(gè)二階常系數(shù)齊次方程，該方程的解表示如下：

u(ζ)=c3ζ+c4ζ

(29)

此種情況(b=0)不可能存在。因此，二階常系數(shù)齊次方程求解得出的解應(yīng)該舍去。

(2)假若b>0時(shí)，式(27)變?yōu)橐粋€(gè)二階常系數(shù)非齊次方程，且該方程的特征方程存在2個(gè)不同的特征值。那么，該方程的解表示如下：

u(ζ)=c5cos(bζ)+c6sin(bζ)

(30)

滿足式(30)條件的是一對(duì)共軛復(fù)根特征值，而等式(27)雖然存在2個(gè)不同的特征值，但不存在一對(duì)共軛復(fù)根特征值。因此，沒有可被接受的虛數(shù)解。故，二階常系數(shù)非齊次方程(27)的解不符合該方程的需要，應(yīng)舍去。

(3)假如b<0時(shí)，式(27)變成一個(gè)二階常系數(shù)非齊次方程，且該微分方程的特征方程存在2個(gè)不相等的實(shí)根特征值。該方程的解表示如下：

u(ζ)=c7eaζ+c8e-aζ

(31)

式中：ci(i=3，4，......，8)表示常數(shù)。表面織構(gòu)動(dòng)壓軸承在Sommerfeld油膜邊界下確定常數(shù)ci后，將常數(shù)ci代入式(31)，即可得到二階常系數(shù)非齊次微分方程的解：

(32)

表面織構(gòu)軸承在不同ζ下的軸向油膜壓力u(ζ)分布，如圖5所示。

圖5 軸向油膜壓力u(ζ)分布

在圖5中，油膜壓力在軸向表現(xiàn)為一種拋物線形狀，且光滑軸承和織構(gòu)軸承油膜壓力隨著ζ的變化，軸向油膜壓力值分布也不相同。光滑軸承軸向油膜壓力值在ζ=0.1下普遍高于織構(gòu)軸承軸向油膜壓力值；而織構(gòu)軸承軸向油膜壓力值在ζ≥0.5下大于光滑軸承軸向油膜壓力值，即，隨著織構(gòu)軸承ζ增加，軸向壓力值呈現(xiàn)一種逐漸大于光滑軸承軸向油膜壓力值的規(guī)律。結(jié)果表明，織構(gòu)軸承軸向油膜壓力受到ζ的影響，有且只有當(dāng)織構(gòu)軸承的ζ≥0.5時(shí)，軸承內(nèi)表面的織構(gòu)才能起到更好的承載作用。

聯(lián)立式(23)、(32)、(18)，經(jīng)整理可得到織構(gòu)軸承油膜壓力P(ζ,θ)解析式為

(33)

2 圓形凹坑軸承油膜力解析式

式(33)表述了圓形凹坑織構(gòu)軸承的油膜壓力分布。織構(gòu)軸承在徑向Fx和切線方向Fy的油膜力表示如下：

(34)

由織構(gòu)軸承油膜力F的定義，從而得到表面織構(gòu)軸承油膜力Fx和Fy分別表示如下：

(35)

(36)

因此，表面織構(gòu)軸承油膜力F為

(37)

3 算例與分析

3.1 凹坑結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)油膜壓力的影響

動(dòng)壓滑動(dòng)軸承在旋轉(zhuǎn)過程中，軸徑漸由發(fā)散區(qū)域(降壓區(qū))進(jìn)入到收斂區(qū)域(升壓區(qū))。為了分析凹坑結(jié)構(gòu)對(duì)織構(gòu)軸承油膜壓力的影響，選擇圓形微凹坑深度T=6，凹坑間距K分別為0.2、0.5和1，表面微凹坑對(duì)織構(gòu)動(dòng)壓滑動(dòng)軸承油膜壓力的影響如圖6所示。

圖6 不同間距的凹坑軸承油膜壓力分布

從圖6(a)可看出：織構(gòu)軸承油膜壓力值高于光滑軸承油膜壓力值。因?yàn)槲伎哟嬖谑諗繀^(qū)域時(shí)，織構(gòu)軸承油膜壓力由于受到收斂間隙與表面微凹坑二者共同作用，使得旋轉(zhuǎn)的動(dòng)壓滑動(dòng)軸承產(chǎn)生的動(dòng)壓作用疊加。因此在該區(qū)域內(nèi)的織構(gòu)對(duì)于軸承的作用是積極的，即有利于潤滑和承載。當(dāng)軸徑旋轉(zhuǎn)至降壓區(qū)時(shí)，如圖6(b)所示，光滑軸承的油膜壓力高于織構(gòu)軸承。凹坑軸承間距K=0.2時(shí)的量綱一油膜壓力約為光滑軸承的77.2%。此時(shí)，織構(gòu)軸承受到的影響最為顯著，且油膜壓力在變化過程中存在2個(gè)峰值，使得油膜壓力明顯下降，從而引起潤滑和承載能力下降。從圖6(c)可看出：對(duì)于全織構(gòu)軸承，當(dāng)織構(gòu)間距K在0.2～1之間變化時(shí)，軸承的量綱一油膜壓力分布趨近于光滑軸承。因此，全織構(gòu)軸承不僅不會(huì)提高軸承油膜壓力，且織構(gòu)密度還影響著油膜壓力，即織構(gòu)越密集，油膜壓力下降越顯著。

選擇圓形凹坑軸承的織構(gòu)參數(shù)T=6，K=0.5，得到的不同位置區(qū)域的織構(gòu)軸承油膜壓力如圖6(d)所示。可知：織構(gòu)位于升壓區(qū)時(shí)，圓形凹坑織構(gòu)軸承的油膜壓力總體變化趨勢略高于光滑軸承；而光滑軸承的油膜壓力卻明顯高于織構(gòu)位于降壓區(qū)的軸承和全織構(gòu)軸承，說明全織構(gòu)與位于降壓區(qū)的織構(gòu)不僅不能提高油膜壓力，還在一定程度上降低了油膜壓力；織構(gòu)位于降壓區(qū)的軸承與全織構(gòu)軸承的油膜壓力變化趨勢雖基本一致卻有略微不同，表明全織構(gòu)相較降壓區(qū)的織構(gòu)在承載和潤滑方面具有一定的優(yōu)勢。故，織構(gòu)位于升壓區(qū)的軸承在潤滑和承載性能方面優(yōu)于其余3種條件下的軸承。綜上所述，為提高軸承的潤滑和承載性能應(yīng)將織構(gòu)加工在軸承的升壓區(qū)[10]。

取表面織構(gòu)軸承間距K=0.2，深度T分別為2、10和30，表面織構(gòu)對(duì)軸承油膜壓力的影響如圖7所示。

圖7 不同深度的織構(gòu)軸承油膜壓力分布

由圖7(a)可看出：織構(gòu)存在收斂區(qū)域時(shí)，油膜壓力發(fā)生不同的變化，這是由于間隙收縮形成的動(dòng)壓效應(yīng)與增加的油膜二者共同作用的結(jié)果。由圖7(b)可看出：軸徑旋轉(zhuǎn)至降壓區(qū)時(shí)，織構(gòu)深度T在2～30變化范圍內(nèi)，軸承發(fā)生空化現(xiàn)象越發(fā)顯著，表明存在于降壓區(qū)的織構(gòu)對(duì)軸承的潤滑和承載性能不利。由圖7(c)可看出：不同深度的全織構(gòu)軸承油膜壓力變化明顯，表明織構(gòu)深度對(duì)軸承的油膜壓力產(chǎn)生明顯的影響，且深度愈深，壓力愈小。

為了比較不同位置區(qū)域的織構(gòu)軸承油膜壓力，選擇圓形凹坑織構(gòu)軸承的織構(gòu)參數(shù)K=0.2，T=10進(jìn)行對(duì)比，如圖7(d)所示。可知：織構(gòu)位于升壓區(qū)時(shí)織構(gòu)軸承的油膜壓力峰值明顯高于光滑軸承，表明軸承在該織構(gòu)參數(shù)下的動(dòng)壓效應(yīng)更突出；而光滑軸承與全織構(gòu)軸承在油膜域內(nèi)的油膜壓力分布均表現(xiàn)得比較平穩(wěn)，不存在突然變化的動(dòng)壓；相較于全織構(gòu)而言，織構(gòu)位于降壓區(qū)的軸承動(dòng)壓出現(xiàn)了波動(dòng)性，這會(huì)引起振動(dòng)的增加，不利于潤滑和承載，進(jìn)而造成摩擦磨損的增加。因此，織構(gòu)位于升壓區(qū)的軸承動(dòng)壓效應(yīng)優(yōu)于其他狀態(tài)下的軸承，且軸承的潤滑與承載性能也最佳。

3.2 不同長徑比下織構(gòu)軸承油壓力分布

根據(jù)式(33)，不同長徑比下圓形凹坑織構(gòu)軸承油膜壓力分布如圖8所示?？梢钥闯觯翰煌L徑比(L/D)下的圓形凹坑織構(gòu)軸承最大油膜厚度位于θ=120°～150°處，最小油膜厚度位于θ=0和π處；且該織構(gòu)軸承在0≤θ≤π區(qū)域內(nèi)量綱一油膜壓力分布近似一種連續(xù)的拋物線分布；隨著長徑比(L/D)的增加，最大油膜厚度下的最大量綱一油膜壓力也不斷增加。而由圖5可知，在織構(gòu)軸承軸向上，量綱一油膜壓力分布表現(xiàn)為拋物線分布，原因在于織構(gòu)軸承兩端產(chǎn)生了泄漏，故此油膜壓力是0。比較圖8中不同長徑比(L/D)下的油膜壓力曲線可知，文中提出的方法的計(jì)算結(jié)果同文獻(xiàn)[11-16]的結(jié)果基本一致，證明文中提出方法的正確性和有效性。

圖8 不同長徑比(L/D)下量綱一油膜壓力分布

3.3 偏心率(ε)對(duì)油膜力Fx和Fy的影響

根據(jù)式(35)、(36)可得到圓形凹坑織構(gòu)軸承油膜Fx和Fy與偏心率(ε)的關(guān)系，如圖9所示。圖9中，織構(gòu)軸承非線性油膜力Fx和Fy隨偏心率(ε)的變化趨勢相似，均是隨偏心率的增加而非線性增加；且在相同偏心率下織構(gòu)軸承徑向油膜力Fy高于軸向油膜力Fx。

比較圖9中不同偏心率下的油膜壓力Fx和Fy曲線可知，文中提出方法的計(jì)算結(jié)果同文獻(xiàn)[17]的結(jié)果基本一致，證明文中提出方法的正確性和有效性。

圖9 油膜力Fx和Fy與偏心率(ε)的關(guān)系

4 結(jié)論

(1)基于Sommerfeld油膜邊界，通過分離變量的方法對(duì)表面織構(gòu)軸承Reynolds方程進(jìn)行解析，并對(duì)織構(gòu)軸承的油膜力解析式進(jìn)行推導(dǎo)。

(2)利用油膜壓力解析式，對(duì)凹坑結(jié)構(gòu)表面織構(gòu)軸承在升壓區(qū)、降壓區(qū)和全織構(gòu)下的油膜力進(jìn)行分析，結(jié)果表明，升壓區(qū)的表面織構(gòu)承載和潤滑性能提升顯著；而降壓區(qū)和全織構(gòu)時(shí)的表面織構(gòu)承載和潤滑性能不佳。

(3) 凹坑結(jié)構(gòu)表面織構(gòu)軸承在不同長徑比下的油膜壓力分布近似呈連續(xù)的拋物線分布；而油膜力Fx和Fy變化趨勢相似，均是隨偏心率的增加而非線性增加。對(duì)比文獻(xiàn)中不同長徑比和偏心率下油膜力，驗(yàn)證了作者提出方法的正確性和有效性。