張 杰 ，高 珊 ，王先超

（阜陽師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

離散時(shí)間排隊(duì)自Meisling[1]提出以來，得以深入的研究[2-3]。Yadin、Kella[4-5]較早在休假排隊(duì)系統(tǒng)中引入N控制策略，帶N策略的Geom/Geom/1休假排隊(duì)近年來取得了一定的進(jìn)展[6-11]。其中文獻(xiàn)[11]將N策略引入Geom/Geom/1多重休假排隊(duì)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[12]研究了帶N策略M/M/1排隊(duì)的性能指標(biāo)與顧客行為，文獻(xiàn)[13-14]考慮休假期內(nèi)到達(dá)N個(gè)顧客立即服務(wù)的排隊(duì)隊(duì)長分布。許多排隊(duì)系統(tǒng)性能優(yōu)化需要一個(gè)隨機(jī)的延遲休假時(shí)間，基于該背景，Leung[15]在排隊(duì)中引入休假延遲策略并得以進(jìn)一步研究[16-18]。文獻(xiàn)[18]考慮了延遲休假下離散時(shí)間排隊(duì)的均衡策略。本文針對Geom/Geom/1離散時(shí)間排隊(duì)，提出一類模型，即具有N策略并帶休假延遲和啟動(dòng)時(shí)間的多重休假排隊(duì)，運(yùn)用擬生滅過程分析方法，綜合考慮系統(tǒng)主要性能指標(biāo)。

1 模型描述

系統(tǒng)有四種狀態(tài)：(k,1)(k≥N)表示n+時(shí)刻系統(tǒng)有不小于N個(gè)顧客，記為k個(gè)，且服務(wù)臺在啟動(dòng)期；(k,2)(k＞1)表示服務(wù)臺處于工作狀態(tài)且有k個(gè)顧客；(0,1)表示n+時(shí)刻系統(tǒng)處于休假延遲狀態(tài)，(k,0)(k≥0)表服務(wù)臺處于休假但系統(tǒng)有k個(gè)顧客。

其中

的最小非負(fù)解R起重要作用。

引理1當(dāng)p＜μ時(shí)，R=R2B+RA+C存在最小非負(fù)解

2 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長分布

定理1若p＜μ，則{(L,J)}的穩(wěn)態(tài)概率分布由（2）式給出

由正則化條件可解出K，從而得證。

由定理1，可知平穩(wěn)狀態(tài)下服務(wù)臺處于相應(yīng)狀態(tài)的概率分布：

3 條件等待隊(duì)長和條件等待時(shí)間的隨機(jī)分解

定理2當(dāng)p＜μ時(shí)，系統(tǒng)條件等待隊(duì)長L(N)可分解為獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量之和：

其中

證明系統(tǒng)處于正規(guī)忙期且顧客數(shù)不少于N的概率為

L(N)的母函數(shù)可寫為

容易證明σ=(δ0+δ1+δ2)-1，因此，Ld(z)確是一個(gè)PGF。

定理3當(dāng)p＜μ時(shí)，條件等待時(shí)間可分解為獨(dú)立的三個(gè)隨機(jī)變量之和：

其中W0是標(biāo)準(zhǔn)Geom/Geom/1排隊(duì)中的逗留時(shí)間，WN和Wd分別有

推論2W(N)的期望

4 小結(jié)

本文分析了帶N策略并具有休假延遲期和啟動(dòng)期的Geom/Geom/1多重休假排隊(duì)模型，得到模型轉(zhuǎn)移概率陣的經(jīng)典三對角形式，系統(tǒng)顧客數(shù)分布的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，并證明了系統(tǒng)主要性能指標(biāo)的條件隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)。這種與排隊(duì)過程密切相關(guān)的控制休假機(jī)制，為計(jì)算機(jī)和通訊領(lǐng)域諸多問題的隨機(jī)建模與優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)，進(jìn)一步可考慮在此基礎(chǔ)上將模型推廣使其更具一般性與實(shí)用性。