江蘇省如皋中學(xué)高二(1)班 (郵編：226500)

江蘇省如皋中學(xué) 指導(dǎo)老師 范棟志 (郵編：226500)

筆者對(duì)2018年南通市高三第二次調(diào)研試題第13題有關(guān)向量數(shù)量積的問題進(jìn)行了深度探究.從最初的思考起步，扣住關(guān)鍵，不斷優(yōu)化，自我設(shè)問，大膽嘗試，逐層深入.在探究的過程中不斷完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，更深層次地認(rèn)識(shí)到基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本能力在解題中的重要作用.在探究的過程中有煩惱，更有樂趣，并樂在其中.

圖1

自我梳理向量數(shù)量積有多種運(yùn)算方法，破解渠道，值得細(xì)細(xì)思考.下面是向量數(shù)量積的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖.

優(yōu)化二上述方法先合成與分解，再利用數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理，化簡(jiǎn)要使得兩向量有一個(gè)共同的點(diǎn)，這樣夾角的余弦才能借助余弦定理求得.據(jù)此可在第一次合成與分解時(shí)實(shí)現(xiàn)，避免二次麻煩.

圖3

優(yōu)化七從上述的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，O為平面上的任意一點(diǎn)，那么可以嘗試在四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)之中選擇將更簡(jiǎn)單.選擇點(diǎn)A進(jìn)行嘗試.

注一次次的深入思考過程中，解法更靈活，既簡(jiǎn)化了運(yùn)算，更滲透了本質(zhì)，真是美的享受.

優(yōu)化九坐標(biāo)法

設(shè)∠ABC=θ，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，

則A(cosθ，sinθ) ，C(4，0).設(shè)D(x,y)，

則由AD=3，CD=2，得

將兩式相減，即得(4-cosθ)x-ysinθ=10，

圖4

注經(jīng)分析可知本題的圖形是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，而解題目標(biāo)是求定值，故可采用特殊化策略，如取θ=90°.

優(yōu)化十

圖5

因?yàn)锳B+BC=CD+DA=5,不妨構(gòu)造焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(如圖)，

設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2)，則AB=1,BC=4,CD=2,DA=3，利用焦半徑公式，得

自我再梳理通過上述優(yōu)化的過程，有很多感受，探究?jī)?yōu)化中學(xué)到很多新的技能，對(duì)今后的學(xué)習(xí)有很大的幫助，下面來完善一下數(shù)量積最初的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖吧.

基本方法的理解與靈活運(yùn)用還需在解題過程中得到深刻，解題能力的提升必須依靠解題，筆者百度了下面幾道類似的題目，牛刀小試，希望能夠日漸鋒利.

圖6

(1)

(2)

(3)

只要將(1)-(2)可得(3)

方法三對(duì)角線定理

通過牛刀小試題的處理，進(jìn)一步加深了數(shù)量積相關(guān)知識(shí)的理解，熟練應(yīng)用數(shù)量積知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖處理數(shù)量積相關(guān)問題，使知識(shí)方法進(jìn)一步系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，讓思維可視，讓發(fā)散更自然.我愿意在數(shù)學(xué)探究這條道路上一直走下去，享受其中的樂趣.