甘肅臨澤一中 (郵編：734200)

問(wèn)題1 (人教版.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)2.必修A版，第132頁(yè)習(xí)題4.2A組第11題)

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于點(diǎn)N(1,2)的圓的方程.

常規(guī)解法設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

由題意，可得

(1)

故所求圓的方程為

關(guān)于a、b、c的方程組(1)容易列出，但解該方程組運(yùn)算量非常大，既要平方去根號(hào)，又要代入消元，這對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力的考查要求非常高，絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算量太大而半途而廢，怎么辦？有無(wú)簡(jiǎn)便方法？

聯(lián)想1 若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，則過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

題目中已知的圓只有一個(gè)，怎樣再找一個(gè)呢？

聯(lián)想2 若圓的一條直徑的兩端點(diǎn)分別是A(x1,y1)，B(x2,y2).

則此圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

題目中只有一個(gè)切點(diǎn)，并不是兩個(gè)交點(diǎn)，怎么辦？

聯(lián)想3 利用極端化思想

若把直線與圓相切視為直線與圓相交的特殊情形，把切點(diǎn)視為重合的兩交點(diǎn)，則可設(shè)過(guò)切點(diǎn)N(1,2)的圓方程為(x-1)(x-1)+(y-2)(y-2)=0，即點(diǎn)圓(x-1)2+(y-2)2=0.

于是可得下面的簡(jiǎn)便解法：

結(jié)論1 若圓C與圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0切于點(diǎn)P(x0,y0)，則圓C的方程可設(shè)為(x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0.(易證，略)

常規(guī)解法設(shè)圓C的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.又圓C1的圓心C1(1,0)，半徑為1，

(2)

同樣，關(guān)于a、b、r的方程組(2)容易列出，但解該方程組運(yùn)算量非常大，既要平方，又要去絕對(duì)值符號(hào)，怎樣才能簡(jiǎn)少運(yùn)算量，迅捷解決問(wèn)題呢？

聯(lián)想4 若直線l：Ax+By+C=0 ，圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，則過(guò)直線l與圓C1交點(diǎn)的圓方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0.

題中已知的圓只有一個(gè)，利用切點(diǎn)再找一個(gè).

聯(lián)想5 利用極端化思想

化簡(jiǎn)得λ+6=2|λ|，

從而得λ=6或λ=-2.

當(dāng)λ=-2時(shí)，圓C的方程為x2+y2-8x+12=0.

結(jié)論2 若圓C與直線l：Ax+By+C=0切于點(diǎn)P(x0,y0)，

則圓C的方程可設(shè)為(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.(很容易證明，本文略)

由此可見，在求圓方程時(shí)，對(duì)于有關(guān)切點(diǎn)的問(wèn)題，若能利用極端化思想，大膽聯(lián)想，積極探索，定可事半功倍，巧妙解決問(wèn)題.

鞏固練習(xí)

2.已知圓C與圓C1:x2+y2-2y=0相外切，并且與直線l：x+y-7=0相切于點(diǎn)N(4,3).求圓C的方程(答案：x2+y2-4x-2y+4=0).