廣東省東莞市麻涌中學(xué) (郵編：523000)

1 引言

目前，教學(xué)一線的高三復(fù)習(xí)課仍然以老套路“教師選取奇、巧、新、特等題目+教師包辦例題解答，不暴露解題思維+學(xué)生機(jī)械模仿重復(fù)訓(xùn)練+教師總結(jié)解題技巧”的教學(xué)模式為主，這樣不但禁錮了學(xué)生的思維，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)鮮有作用，而且加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，影響學(xué)習(xí)積極性和自信心[1].2019年佛山高三一模理科數(shù)學(xué)解析幾何題是對(duì)2018年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)第19題改編而來(lái)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的絕佳載體.該試題的講評(píng)以問(wèn)題為核心，探究為主線，學(xué)生自主探究與合作探究相結(jié)合，充分調(diào)動(dòng)各方面的積極因素參與課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).

2 試題評(píng)講

2.1 試題背景分析—落實(shí)數(shù)據(jù)分析

(1)若x1=0，求△OAB的面積；

(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積，直線關(guān)于x軸對(duì)稱等，考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.試題的重點(diǎn)是題設(shè)幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)幕瘹w方式優(yōu)化運(yùn)算.第(1)問(wèn)滿分5分，班級(jí)平均為4.2分，第(2)問(wèn)滿分7分，班級(jí)平均為1.6分.因此本題著重講評(píng)第(2)問(wèn).

問(wèn)題1同學(xué)們要善于觀察，認(rèn)真審題，你從這道題中獲取了哪些信息？解題的突破口在哪里？

學(xué)生獨(dú)立思考處理信息，小組同伴相互交流，教師巡堂、觀察，適時(shí)點(diǎn)撥.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)解答題，尤其是壓軸題有大量的數(shù)據(jù)，信息量很多，并且數(shù)據(jù)間聯(lián)系盤根錯(cuò)節(jié)，教師必須引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合，合理猜想，嚴(yán)謹(jǐn)推理，對(duì)獲取的信息進(jìn)行有效辨析、重組，才能形成解題思路的雛形.學(xué)生能否高效正確地解答試題，取決于學(xué)生分析試題時(shí)是否將數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)落實(shí)到位.本題的核心結(jié)論是“TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形”，明顯可見題目的問(wèn)法“隱藏”了多種信息，譬如∠OTA與∠OTB互補(bǔ)，TA與TB的傾斜角互補(bǔ)，kTA+kTB=0等，若能高效對(duì)題目設(shè)問(wèn)的辨識(shí)，轉(zhuǎn)化，重組為kTA+kTB=0，自然而然就有許多可供選擇的解題路徑.而如何優(yōu)化解題將是數(shù)學(xué)運(yùn)算的主題了.

2.2 試題解法選取—優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

下面通過(guò)投影第一小組學(xué)生1的解答來(lái)點(diǎn)評(píng).

(2)由題知，直線l的斜率k存在，且k≠0，設(shè)直線l方程為y=kx-4k.聯(lián)立

故在x軸上存在定點(diǎn)T(1,0)，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

師：哇，第一小組的解答太完美了，簡(jiǎn)直就是標(biāo)準(zhǔn)答案，太棒啦，讓我們一起為第一小組喝彩！

此時(shí)班級(jí)響起了雷鳴般的掌聲……

師：其他小組還有更好的方法嗎？

即刻第二小組的學(xué)生2站在來(lái)分享小組的成果.

生1：我們小組的解答第(2)問(wèn)的方法本質(zhì)與第一小組的是一樣的，只是我們根據(jù)以往過(guò)x軸上定點(diǎn)(t,0)的直線設(shè)法為x=my+t來(lái)優(yōu)化運(yùn)算.

學(xué)生2投影第二小組的解答過(guò)程.

要使直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，則kTA+kTB=0，

故在x軸上存在定點(diǎn)T(1,0)，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

師：你們都很棒，都做得很漂亮，老師佩服你們，為你們感到驕傲！這兩個(gè)小組所用的方法都是破解此類解析幾何題的通性通法：一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件翻譯到圖形中，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可迅速表示出直線方程；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即會(huì)把求的“在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形”，根據(jù)圖形特征，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，以及斜率公式即可求出定點(diǎn).但在代數(shù)運(yùn)算中，第二小組設(shè)的直線方程使得計(jì)算簡(jiǎn)化了好多！

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)運(yùn)算是對(duì)試題中的數(shù)據(jù)分析，形成正確的解題思路后，選擇最優(yōu)化的運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果.在代數(shù)運(yùn)算中需要選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式，即需考慮直線的方程式對(duì)于優(yōu)化運(yùn)算的價(jià)值.本題中方程形式1：y=k(x-4)(k≠0)，方程形式2：x=my+4，將直線l的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理解答，比較上述兩種方程形式，第二種韋達(dá)定理表達(dá)要簡(jiǎn)潔許多，同時(shí)目標(biāo)式也很簡(jiǎn)潔，因而運(yùn)算過(guò)程也簡(jiǎn)潔許多.從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.3 試題的來(lái)源—巧借數(shù)學(xué)抽象

試題2(2018年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)第19題)設(shè)橢圓

的右焦點(diǎn)F，過(guò)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明: ∠OMA=∠OMB.

問(wèn)題2請(qǐng)同學(xué)們思考試題2，并比較試題1與試題2有什么聯(lián)系與區(qū)別？解題思想方法類似嗎？聯(lián)系高考題，比較兩題的異同，能讓我們更好地把握命題規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖試題1、試題2雖呈現(xiàn)的方式不同，但考查的核心知識(shí)點(diǎn)是一致的，仍然考查直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的位置關(guān)系，都是“方程”與“直線傾斜角互補(bǔ)”問(wèn)題，試題1是把試題2穿上了一層是否存在型的外衣，另外兩題直線過(guò)的定點(diǎn)不同.在強(qiáng)調(diào)高考改革的今天，通過(guò)改編、創(chuàng)新等手段賦予高考典型試題新的生命，這成為高考命題的一種新走向，因此在高考備考中，要注意對(duì)高考真題考查核心知識(shí)和思想方法進(jìn)行深度挖掘，把握其本質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有高考真題”，那么就能做到以不變應(yīng)萬(wàn)變.讓學(xué)生解答試題2并深度比較兩題的異同，激發(fā)學(xué)生的探究樂(lè)趣，為進(jìn)一步深挖試題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)做好鋪墊.

教師巡堂，適時(shí)對(duì)各小組點(diǎn)撥引導(dǎo)，幾分鐘后，第三小組學(xué)生3舉手分享小組合作探究成果.

師：哇，第三小組同學(xué)太棒了，你的想法太富有想象力了，極具創(chuàng)造性，讓我們?cè)俅螢樗麄兒炔?！同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中就是要敢于猜想，善于猜想，這樣才能有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造！但猜想僅僅是建立在直觀想象與歸納的基礎(chǔ)上的，只有嚴(yán)密地推邏輯推理才能獲得最本質(zhì)、最核心的結(jié)論.

此時(shí)，學(xué)生心中已燃起了探究的火花，于是教師拋出了問(wèn)題3.

各小組根據(jù)解答試題1、2的通性通法開始緊張地小組合作探究，過(guò)了5分鐘，第四小組通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理得出了結(jié)論1，并向全班同學(xué)投影證明過(guò)程并解釋.

所以kAQ+kBQ=0，即∠OQA=∠OQB.

筆者大力表?yè)P(yáng)了第四小組的學(xué)生后，乘勢(shì)而上，給出了問(wèn)題4.

問(wèn)題4結(jié)論1逆過(guò)來(lái)成立嗎？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考、探究.

學(xué)生小組合作探究，教師巡視，也參與各小組的討論，很快師生便共同得出了結(jié)論2并給出了證明.

所以直線l恒過(guò)(t,0).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在問(wèn)題2中比較試題1、2異同，教師鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)橢圓的基本量與定點(diǎn)之間的關(guān)系合理猜想，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象、數(shù)據(jù)處理的核心素養(yǎng)，然后給出了問(wèn)題3、4，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般點(diǎn)的探究，抽象出更一般的結(jié)論，目的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理等核心素養(yǎng).

課堂進(jìn)行到此時(shí)，試題1、2得到了一定程度的挖掘，但學(xué)生的探究激情已被點(diǎn)燃，意猶未盡，如果此時(shí)停止對(duì)試題本質(zhì)的進(jìn)一步挖掘，實(shí)屬可惜，于是教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究，給出了問(wèn)題5.

學(xué)生通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)了結(jié)論3、4.

由橢圓類比到雙曲線、拋物線，教師繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生深度探究.

問(wèn)題6根據(jù)我們已有的經(jīng)驗(yàn)，橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)一般是統(tǒng)一優(yōu)美的，剛才我們探究得出了橢圓的4個(gè)優(yōu)美的一般性結(jié)論，在雙曲線與拋物線中是否也存在呢？請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)展開探究.

學(xué)生小組合作探究，教師適時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論.

結(jié)論9拋物線C:y2=2px(其中p>0)，若點(diǎn)P(t,0)，點(diǎn)Q(-t,0)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與拋物線相交于A、B，則 ∠OQA=∠OQB.

結(jié)論10拋物線C:y2=2px(其中p>0)，點(diǎn)Q(-t,0)，直線l與拋物線相交于A、B，且滿足∠OQA與∠OQB相等,l不垂直于x軸，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)(t,0).

結(jié)論11拋物線C:y2=2px(其中p>0)，若點(diǎn)P(t,0)，點(diǎn)Q(-t,0)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線相交于A、B，則∠OPA與∠OPB互補(bǔ).

結(jié)論12拋物線C:y2=2px(其中p>0)，點(diǎn)P(t,0)，直線l與拋物線相交于A、B，且滿足∠OPA與∠OPB互補(bǔ),l不垂直于x軸，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)(-t,0).

設(shè)計(jì)意圖經(jīng)過(guò)師生共同探究得到橢圓的一般結(jié)論后，教師乘勢(shì)鼓勵(lì)學(xué)生類比探究雙曲線、拋物線的一般結(jié)論.自然的想法，合理、恰當(dāng)?shù)闹R(shí)遷移，學(xué)生們的探究精神在課堂上得到淋漓盡致的體現(xiàn)，培養(yǎng)了學(xué)生類比推理的能力，發(fā)展了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

此時(shí)課堂探究即將進(jìn)入尾聲，同學(xué)們沉浸在探究成功及發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的喜悅中……教師鼓勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)探究，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

請(qǐng)大家選做課后習(xí)題中的其中一道：

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求曲線C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.

2.(2013年陜西高考理科數(shù)學(xué)第20題)設(shè)拋物線C:y2=8x，若點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與C有兩個(gè)不同交點(diǎn)P、Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明l過(guò)定點(diǎn)(1,0)，反之也成立.

(1)求C的方程；

(2)x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得k變化時(shí)，總有∠AQO=∠BQO，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖因材施教，彈性作業(yè)，鞏固所學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 評(píng)后感受

南京大學(xué)段康產(chǎn)教授說(shuō)：“研究高考真題，典型模擬題，才能把握命題規(guī)律，它們就是最好的復(fù)習(xí)資料.”認(rèn)真研究歷年高考真題，典型模擬題，充分挖掘，不難找出命題軌跡，從而把握難度[2].教師在講解高考真題或典型模擬題時(shí)不要一味地替學(xué)生讀題，讀完之后馬上提問(wèn)“該題是什么題型，用什么方法？”，這其實(shí)是造成學(xué)生不良解題習(xí)慣的根本原因.教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“本題所涉及的基本知識(shí)”，“每個(gè)條件得到什么結(jié)論？”，“求解的目標(biāo)需要哪些條件？”，“本題與我們頭腦里的哪些解題經(jīng)驗(yàn)相關(guān)”，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.課堂上應(yīng)給予學(xué)生充分的動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的時(shí)間和空間，學(xué)生合作探究，教師巡視、觀察，適時(shí)給予點(diǎn)撥，讓學(xué)生上臺(tái)交流解題思路，相互評(píng)價(jià)，然后教師點(diǎn)評(píng)，適時(shí)給予點(diǎn)晴之筆，追問(wèn)“解決該類題目的通性通法是什么？”，“能否推廣試題的一般結(jié)論”，引導(dǎo)學(xué)生深度挖掘試題隱藏的知識(shí)本質(zhì)，不斷地讓學(xué)生把“觸類旁通”，“舉一反三”放在心上，實(shí)踐于課堂，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.也正如陜西師大羅增儒教授所說(shuō)：要讓學(xué)生通過(guò)有限的典型考題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.數(shù)學(xué)解題重在一個(gè)悟字，從一個(gè)題拓展為一類題，舉一反三才能觸類旁通，通者方能渡過(guò)題海，登上勝利的彼岸[3].