周 權(quán)

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院 安徽 合肥 230037)

波動(dòng)光學(xué)是大學(xué)光學(xué)課程的主體內(nèi)容，其理論基礎(chǔ)建立于經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的麥克斯韋方程；其教學(xué)內(nèi)容涵蓋了波動(dòng)光學(xué)的基本概念、光波在介質(zhì)中的傳播、光波的干涉和衍射等基本理論和實(shí)際應(yīng)用，內(nèi)容體系完整，理論性強(qiáng)[1]；其教學(xué)過程一般包括理論講授和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.考慮到波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中理論概念較為抽象、物理場(chǎng)景不夠直觀且驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)多數(shù)只能觀察光波的宏觀表現(xiàn)等問題，利用FDTD方法針對(duì)典型的波動(dòng)光學(xué)物理情景進(jìn)行仿真，以期通過精確動(dòng)態(tài)的仿真結(jié)果幫助學(xué)生更直觀地了解相關(guān)的物理概念，建立清晰的物理圖像.文中以光波在介質(zhì)中的傳播、光波的典型干涉和光波的典型衍射3類現(xiàn)象為例,介紹了FDTD方法在波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索.

1 FDTD方法及計(jì)算工具

1.1 FDTD方法

時(shí)域有限差分法 (FDTD,Finite-Difference Time-Domain)由K.S.Yee于1966年提出，也被稱為Yee網(wǎng)格空間離散方法.FDTD算法的核心思想是將麥克斯韋方程在時(shí)間和空間上進(jìn)行離散化，用差分方程替代一階偏微分方程，求解差分方程組并得到各網(wǎng)格單元的場(chǎng)值.利用FDTD方法進(jìn)行光場(chǎng)仿真時(shí)要考慮研究對(duì)象的幾何參數(shù)、材料參數(shù)、計(jì)算精度、計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算穩(wěn)定性等多項(xiàng)因素；其優(yōu)點(diǎn)是可以計(jì)算得出光場(chǎng)分布，精度較高，并可通過傅里葉變換在一次計(jì)算中得到系統(tǒng)的寬帶響應(yīng)[2].

1.2 MEEP

MEEP(MIT Electromagnetic Equation Prop-agation)是由MIT開發(fā)的開源FDTD電磁場(chǎng)模擬軟件，支持一維、二維和三維的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)仿真；可設(shè)置多種類型的材料參數(shù)、光源參數(shù)和邊界條件；支持基于MPI的并行計(jì)算；可使用C++,Python和Scheme腳本等多個(gè)接口進(jìn)行仿真條件設(shè)置[3].本文中的場(chǎng)景仿真均采用該軟件進(jìn)行計(jì)算.

2 應(yīng)用場(chǎng)景案例

2.1 光波在介質(zhì)中的傳輸

光波在介質(zhì)中傳輸?shù)膱?chǎng)景結(jié)構(gòu)設(shè)置如圖1所示.仿真區(qū)域?yàn)槎S結(jié)構(gòu)，大小為10 μm×10 μm，網(wǎng)格精度設(shè)置為20 nm；Y方向頂部和底部均設(shè)置厚度為1 μm的完全匹配層，用來吸收到達(dá)該區(qū)域的光波，避免回波對(duì)仿真區(qū)域的影響；X方向依據(jù)入射光波矢設(shè)置周期性邊界條件，以模擬X方向無約束的情況；下半部分深色區(qū)域設(shè)置為介質(zhì)材料，材料折射率n=1.5，上半部分為真空，折射率n=1.0；根據(jù)入射方向不同，線光源位置分別設(shè)置于頂部和底部并用紅色線段標(biāo)出位置，二維場(chǎng)景中的線光源可等效為三維情況中的平面光源；光源類型為連續(xù)光，波長(zhǎng)設(shè)為1 μm；通過設(shè)置光源各處的復(fù)振幅分布可以改變光源的等效入射方向θi.

(1)真空中的平行光波入射介質(zhì)表面

僅在頂部真空區(qū)域放置線光源，其入射方向如圖1中(a)所示，分別設(shè)置光源的等效入射角度θi為30°,45°和60°進(jìn)行仿真，得到穩(wěn)態(tài)時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況，如圖2所示.

圖1 光波在介質(zhì)中傳輸?shù)膱?chǎng)景結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 真空中的平行光波入射介質(zhì)表面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

分析仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

1)圖2中紅色區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度為正值，藍(lán)色區(qū)域?yàn)樨?fù)值；相鄰的紅藍(lán)區(qū)域構(gòu)成了一個(gè)完整的振動(dòng)周期；沿著光源等效入射/出射方向測(cè)量，兩個(gè)區(qū)域的長(zhǎng)度約等于波長(zhǎng)；光波在進(jìn)入介質(zhì)后，紅藍(lán)區(qū)域距離顯著縮小，對(duì)應(yīng)介質(zhì)中的光波長(zhǎng)的變化；若觀察動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)光波進(jìn)入介質(zhì)區(qū)域后擴(kuò)展速度明顯縮小，對(duì)應(yīng)介質(zhì)中光速的變化；

2)光波進(jìn)入介質(zhì)后，等幅面法線方向發(fā)生改變，對(duì)應(yīng)光的折射現(xiàn)象；可以估算其折射角θo，符合折射定律;

3)由于入射光波和反射光波的相干疊加，區(qū)域上半部分的光場(chǎng)等幅面出現(xiàn)彎曲；而區(qū)域下半部分只有折射光，等幅面均勻平整.

(2)介質(zhì)中的平行光波出射介質(zhì)表面

在上述場(chǎng)景中僅改變光源位置，將其放置在介質(zhì)材料內(nèi)部，用來仿真平行光波由光密介質(zhì)出射至光疏介質(zhì)的情況.設(shè)置光源的等效入射角度分別為30°,45°和60°進(jìn)行仿真，得到電場(chǎng)強(qiáng)度分布如圖3所示.

分析仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

1)等效入射角θi=30°時(shí)，光場(chǎng)分布情況符合折射定律；

2)等效入射角θi=45°時(shí)，由于入射角大于介質(zhì)的臨界角(θc≈42°)，出現(xiàn)全反射現(xiàn)象.透射光場(chǎng)表現(xiàn)為隱失波，沿介質(zhì)表面(X方向)傳播，在縱向(Y方向)振幅呈指數(shù)衰減；

3)等效入射角θi=60°時(shí)，隱失波的穿透深度較θi=45°時(shí)進(jìn)一步減?。?/p>

4)介質(zhì)內(nèi)光場(chǎng)分布由入射光和反射光相干疊加形成；全反射時(shí)光波被完全反射回原介質(zhì)，入射光波和反射光波振幅相同，相干現(xiàn)象更為明顯.

圖3 介質(zhì)中的平行光波出射介質(zhì)表面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

2.2 光波的典型干涉現(xiàn)象

(1)兩個(gè)點(diǎn)光源(狹縫)的干涉現(xiàn)象

兩個(gè)點(diǎn)光源(狹縫)干涉的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)設(shè)置如圖4所示.仿真區(qū)域?yàn)槎S結(jié)構(gòu)，大小為20 μm×20 μm，網(wǎng)格精度設(shè)置為20 nm；區(qū)域邊緣處均設(shè)置厚度為1 μm的完全匹配層；區(qū)域中央部分設(shè)置兩個(gè)連續(xù)光點(diǎn)光源；點(diǎn)光源位置由紅色圓形標(biāo)出，點(diǎn)光源間距為d；二維場(chǎng)景下的兩個(gè)點(diǎn)光源可等效為三維場(chǎng)景中的兩個(gè)線(狹縫)光源.

設(shè)置兩個(gè)點(diǎn)光源的波長(zhǎng)分別為0.5 μm和1 μm，間距d分別為2 μm,4 μm和6 μm，計(jì)算穩(wěn)態(tài)時(shí)區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)能量密度，仿真結(jié)果如圖5所示.

圖4 兩個(gè)點(diǎn)光源(狹縫)干涉的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)示意圖

圖5 兩個(gè)點(diǎn)光源(狹縫)干涉的電場(chǎng)能量密度分布

分析仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

1)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)能量密度呈穩(wěn)定分布，在Y方向不同位置取平行于X軸各點(diǎn)處的能量密度值即可表征空間中不同截面的干涉圖樣；

2)相同波長(zhǎng)條件下，隨著點(diǎn)光源距離d的增加，干涉圖樣的亮斑(條紋)個(gè)數(shù)增加，間距減?。?/p>

3)兩點(diǎn)光源間距相同時(shí)，干涉圖樣的亮斑(條紋)間距隨波長(zhǎng)減小而減??；

4)電場(chǎng)能量密度的亮條紋分布在遠(yuǎn)離點(diǎn)光源位置后斜率漸趨穩(wěn)定，表明隨著觀察距離逐漸滿足傍軸條件，干涉條紋分布逼近雙孔(雙縫)干涉條紋間距公式

其中Δx為條紋間距，λ為光波長(zhǎng)，D為縱向距離，d為兩點(diǎn)光源間距.

(2)兩束平行光的干涉現(xiàn)象

兩束平行光干涉的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)設(shè)置如圖6所示.仿真區(qū)域?yàn)槎S結(jié)構(gòu)，大小為10 μm×10 μm，網(wǎng)格精度設(shè)置為20 nm；Y方向頂部和底部均設(shè)置厚度為1 μm的完全匹配層；X方向依據(jù)入射光波矢設(shè)置周期性邊界條件，以模擬X方向無約束的情況；在區(qū)域頂部和底部紅色線段標(biāo)出的位置設(shè)置兩個(gè)線光源，并通過調(diào)整光源各處的復(fù)振幅分布來設(shè)置光源的等效出射方向；光源類型為連續(xù)光；受周期性邊界條件的限制，上下兩個(gè)光源的等效出射方向是沿X軸鏡像對(duì)稱的，即θ1=θ2；二維線光源可以等效為三維場(chǎng)景中的平面光源.

圖6 兩束平行光干涉的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)置光源波長(zhǎng)分別為0.5 μm和1 μm，等效出射方向分別為30°,60°和90°，得到穩(wěn)態(tài)時(shí)區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)能量密度，如圖7所示.

分析仿真結(jié)果可知：

1)穩(wěn)態(tài)時(shí)區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)能量密度穩(wěn)定分布，條紋樣式平行于Z軸(紙面法線方向)分布；

2)相同波長(zhǎng)條件下，隨著兩束平行光夾角的增加，條紋間距逐漸變小，θ1=θ2=90°時(shí)，條紋間距最小，符合兩束平行光干涉的條紋間距公式

其中Δx為條紋間距，λ為光波長(zhǎng)，θ1和θ2分別為兩束平行光的入射角.

3)兩束平行光夾角相同時(shí)，條紋間距隨波長(zhǎng)減小而減小，符合兩束平行光干涉的條紋間距公式，如2)中所述.

圖7 兩束平行光波干涉的電場(chǎng)能量密度分布

2.3 光波的典型衍射現(xiàn)象

以單縫衍射為例進(jìn)行介紹，其場(chǎng)景結(jié)構(gòu)設(shè)置如圖8所示.仿真區(qū)域?yàn)槎S結(jié)構(gòu)，大小為50 μm×50 μm，網(wǎng)格精度設(shè)置為20 nm；區(qū)域邊緣處均設(shè)置厚度為1 μm的完全匹配層；區(qū)域下側(cè)放置狹縫結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)高度1 μm，狹縫寬度為d；連續(xù)光線光源位于區(qū)域底部，由紅色線段標(biāo)出；光源發(fā)出平面光波正入射狹縫結(jié)構(gòu).

設(shè)置光源波長(zhǎng)分別為0.5 μm和1 μm，狹縫寬度d分別為1 μm,2 μm和5 μm，得到穩(wěn)態(tài)時(shí)區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)能量密度如圖9所示.

圖8 單縫衍射的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)示意圖

圖9 單縫衍射的電場(chǎng)能量密度分布

分析仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)場(chǎng)分布具有以下特點(diǎn)：

1)平行光通過狹縫后發(fā)生衍射，衍射光以一定發(fā)散角向前傳播；入射光波長(zhǎng)相同時(shí)，隨著狹縫寬度的增大，零級(jí)衍射光的發(fā)散程度逐漸減小，衍射效應(yīng)變?nèi)?；狹縫寬度相同時(shí)，零級(jí)衍射光的發(fā)散程度隨波長(zhǎng)增加而增加，說明對(duì)于一定尺寸的微小結(jié)構(gòu)，波長(zhǎng)越長(zhǎng)衍射效果越明顯.上述關(guān)于零級(jí)衍射光發(fā)散程度的比較在趨勢(shì)上符合單縫衍射主極強(qiáng)半角寬度反比公式

其中θ為主極強(qiáng)半角寬度，λ為光波長(zhǎng)，a為狹縫寬度；

2)隨著入射光波長(zhǎng)的增大和狹縫寬度的增加，次級(jí)衍射光的級(jí)數(shù)隨著波長(zhǎng)和狹縫寬度增加而增多，其趨勢(shì)符合狹縫衍射的次極大條件，但衍射光的能量分布主要集中在零級(jí)衍射中；

3)場(chǎng)景仿真結(jié)果是平行光入射單縫后衍射光的近場(chǎng)分布，而波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中常給出的夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的分析結(jié)果要求遠(yuǎn)場(chǎng)條件，因此兩者只宜作定性比較和參照.

3 結(jié)束語

以光波在介質(zhì)中的傳播、光波的典型干涉和光波的典型衍射3類物理場(chǎng)景為例，介紹了FDTD方法在波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

FDTD方法能夠?qū)Σ▌?dòng)光學(xué)教學(xué)中大量的物理情景給出直觀、精確和動(dòng)態(tài)的仿真結(jié)果，可以幫助學(xué)生更深入地理解相關(guān)理論知識(shí)，構(gòu)建清晰的物理圖像；FDTD方法也廣泛應(yīng)用于介觀光學(xué)、天線設(shè)計(jì)和生物探測(cè)等科研領(lǐng)域的數(shù)值仿真，教學(xué)過程中引入前沿科學(xué)的研究工具有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的科研素養(yǎng).