譚慧玲，呂 艷

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院 江蘇 南京 210094)

0 引言

在概率空間(Ω,F,P)上，研究帶擾動的隨機(jī)微分方程

(1)

其中：θ∈Θ(Θ?R)為待估參數(shù)；0<ε≤1為擾動參數(shù)；Wt和Bt是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；初始值(x0,y0)∈R×R.隨機(jī)微分方程的參數(shù)狀態(tài)往往是未知的，因此對隨機(jī)系統(tǒng)中的參數(shù)估計也就成了實際應(yīng)用中必須要解決的問題.目前，對于隨機(jī)微分方程的參數(shù)研究，大部分都是對離散參數(shù)的估計[1]，以及對參數(shù)的極大似然估計[2-3]，而對于隨機(jī)微分方程參數(shù)的貝葉斯估計的研究則不多.文獻(xiàn)[4]證明了由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的一類簡單的線性隨機(jī)微分方程的貝葉斯估計量的漸近正態(tài)性.文獻(xiàn)[5]考慮了一類特定的一階隨機(jī)微分方程的貝葉斯估計問題，給出了當(dāng)損失函數(shù)滿足一定條件時，其參數(shù)的貝葉斯估計量的公式.相對于上述幾種模型，本文考慮一類帶擾動參數(shù)的隨機(jī)微分方程的貝葉斯估計，并討論了小擾動參數(shù)ε對估計量的影響.

1 θ的貝葉斯估計量

(2)

(3)

令θ0為參數(shù)θ在Θ中的一個真值，則由式(3)、Pθ相對于Pθ0的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為

(4)

由方程(1)可知

(5)

將方程(5)代入到式(4)中，整理可得

(6)

?u∈Θ.

(7)

2 貝葉斯估計的漸近正態(tài)性

現(xiàn)在來討論估計量的性質(zhì)，P和E表示概率和期望.考慮隨機(jī)過程ZT(u)=(dPθ0+u/λ(T))/(dPθ0)，其中

(8)

(9)

由引理1可知，當(dāng)T→∞時，有

(10)

3 貝葉斯估計的漸近一致性

(11)

假設(shè)下列3個條件成立.

引理2假設(shè)條件a)～c)成立，則存在δ0>0，使得當(dāng)ε→0時，有

證明由文獻(xiàn)[13]可直接得到.

證明由引理2可得

(12)

令K(τ)≡1，則

(13)

由式(12)、(13)和文獻(xiàn)[5]可得，當(dāng)ε→0時，上述不等式右側(cè)趨于零，得證.