范程穎

（同濟(jì)大學(xué)，上海 200000）

1 旋轉(zhuǎn)磁場定義

旋轉(zhuǎn)磁場的方向可以由旋轉(zhuǎn)面的法向即旋轉(zhuǎn)軸方向唯一確定，如圖1 所示，在空間坐標(biāo)系中磁場的中心處于原點，旋轉(zhuǎn)磁場方向矢量與z 軸的夾角為γ，→在xoy 平面的投影與x 軸的夾角為α.

圖1 旋轉(zhuǎn)平面的空間坐標(biāo)表示

其中，k 和φ是將三角函數(shù)中間項和差化積后的結(jié)果，可由下式給出：

2 亥姆霍茲線圈的磁場計算

亥姆霍茲線圈是一對彼此平行的相同線圈，兩個線圈間距等于線圈半徑，線圈繞線方式同向，且電流方向相同使得線圈產(chǎn)生的磁場方向一致[2]。如圖2 所示，一對亥姆霍茲線圈軸線重合且沿x 軸方向，以兩個線圈的中心為起始點的軸線線段中點處于坐標(biāo)原點。令線圈半徑為R，線圈中心到原點的距離為a，xoy 平面為工作平面，其上一點p：（x0，y0，0）處于線圈對中間。取左線圈上一段微元記作m，將右線圈上對稱位置的微元記作n，對p 點的距離向量分別為，微元與線圈連線與y 軸正方向成θ角。

根據(jù)畢奧薩伐爾定律，p 點處的磁場由兩個線圈產(chǎn)生的磁場疊加得到：

亥姆霍茲磁場軸向和徑向分量分布如圖3 所示。根據(jù)圖3，m 點和n 點的坐標(biāo)表示為m（-a，Rcosθ，Rsinθ），n（a，Rcosθ，Rsinθ）.

為了簡化計算，對包含p 點坐標(biāo)x0，y0的項進(jìn)行換元[3]：

p 點處的磁場為：

其中：

圖2 一維亥姆霍茲線圈磁場計算

圖3 亥姆霍茲磁場軸向和徑向分量分布

3 三維亥姆霍茲線圈旋轉(zhuǎn)磁場參數(shù)建模

3.1 亥姆霍茲線圈磁場的結(jié)構(gòu)參數(shù)

在實際設(shè)計亥姆霍茲線圈時，由于線圈有一定的厚度，必須考慮線圈的實際尺寸，假設(shè)線圈內(nèi)徑為R1，外徑為R2，左右線圈內(nèi)端面到z 軸中軸線的距離分別為c，外端面到中軸線的距離為l.假設(shè)導(dǎo)線的橫截面積為σ，導(dǎo)線均勻緊密地繞在線圈上，匝數(shù)為N，則單位截面內(nèi)電流密度J 等于總電流與截面積的比值[4]：

將面元ds 內(nèi)的電流Jds 作為一個電流環(huán)，再對位置進(jìn)行積分，令：

由上式可知，亥姆霍茲線圈磁場磁場強度與電流成正比，因此獨立出結(jié)構(gòu)參數(shù)ψ，為：

三維亥姆霍茲線圈由三對兩兩正交的亥姆霍茲線圈組成，如圖4 所示，深灰色、黑色、淡灰色線圈分別對應(yīng)到三維坐標(biāo)軸X，Y，Z，工作區(qū)域為最小線圈的均勻區(qū)。

圖4 X，Y，Z 軸線圈磁場

設(shè)計三維亥姆霍茲線圈的結(jié)構(gòu)，要考慮以下兩個方面：①內(nèi)外線圈之間不能交疊，即內(nèi)線圈組外邊界到磁場中心的距離不小于外線圈組內(nèi)邊界到磁場中心點的距離；②三對線圈產(chǎn)生的磁場在中心區(qū)域大小與電流的比例相等，保證相同電流下產(chǎn)生的磁場強度相等。因此，線圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計應(yīng)滿足如下關(guān)系[5]：

3.2 亥姆霍茲線圈的電流參數(shù)

亥姆霍茲線圈截面由N 匝導(dǎo)線構(gòu)成，盡管導(dǎo)線排列緊密，但導(dǎo)線之間仍存在一定空隙。令單根導(dǎo)線面積為σ0，將N 匝導(dǎo)線總面積與線圈橫截面積的比值定義為占空系數(shù)λ[6]：

其中，kη和kβ分別表示排繞系數(shù)和疊繞系數(shù)[7]，他們的數(shù)值取決于導(dǎo)線直徑，表示導(dǎo)線在線圈上排列、疊繞后的長度與導(dǎo)線直徑成比例關(guān)系。線圈的徑向厚度為內(nèi)外徑之差H=R2－R1，端面寬度W=l－c.已知含絕緣外皮直徑φ0，則單位厚度上的匝數(shù)n1、單位寬度上的匝數(shù)n2為：

3.3 亥姆霍茲線圈的效率系數(shù)

磁場強度與電流成正比，線圈的發(fā)熱正比于電流密度的平方，而且交變電流在線圈中會帶來自感和與其他線圈的互感，增加了線圈的功率損耗。同時，線圈發(fā)熱會使導(dǎo)線絕緣漆加速蒸發(fā)變薄，增加被擊穿的風(fēng)險，縮短線圈壽命。因此對線圈的功率損耗的分析有利于優(yōu)化亥姆霍茲線圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)和電流設(shè)計，提高線圈功率因數(shù)。引入亥姆霍茲線圈的效率系數(shù)G（α，β，ζ）：

從上式可知，效率系數(shù)G 是只和線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量，與線圈的實際尺寸無關(guān)。系數(shù)G 也稱作法布里系數(shù)[8]，法布里第一次將線圈的功率損耗和空心圓柱線圈中心磁場聯(lián)系起來，可以表征亥姆霍茲線圈產(chǎn)生磁場效率的高低。

4 三維亥姆霍茲旋轉(zhuǎn)磁場COMSOL 有限元仿真

COMSOL Multiphysics 5.3 是一款強大的多物理場仿真模擬有限元分析軟件，對三維亥姆霍茲線圈的幾何模型進(jìn)行建模，COMSOL 提供了友好的幾何建模工具。在上述計算基礎(chǔ)上，基于COMSOL 有限元仿真對三維亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場進(jìn)行了分析。首先分析了三軸線圈對的通以恒定電流的靜態(tài)磁場，然后分析了對線圈通時變電流時，亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場的準(zhǔn)確度。

4.1 靜態(tài)磁場仿真

現(xiàn)目標(biāo)磁場的工作空間為24 mm×24 mm 的正方形區(qū)域，磁感應(yīng)強度最大值為20 mT，磁場均勻度不高于0.3%，經(jīng)計算，三維亥姆霍茲線圈的參數(shù)設(shè)計如表1 所示。

4.2 旋轉(zhuǎn)磁場

上述模型確定后，對x，y 軸通相位相差90°的正弦交流電，頻率為1 Hz，則在xoy 平面內(nèi)形成旋轉(zhuǎn)磁場，1 s 內(nèi)原點磁場的變化如圖5 所示，磁場旋轉(zhuǎn)時可保持很好的形狀。

表1 三維亥姆霍茲線圈參數(shù)表

圖5 xoy 平面旋轉(zhuǎn)磁場，T=1 s

5 總結(jié)

本文介紹了旋轉(zhuǎn)磁場的計算和基于亥姆霍茲線圈的實現(xiàn)方法。首先給出了旋轉(zhuǎn)磁場的數(shù)學(xué)描述，分析了亥姆霍茲線圈的磁場，給出了一維亥姆霍茲線圈磁場的計算方法，并分析了亥姆霍茲線圈磁場的空間分布特性，然后基于一維線圈的計算，拓展到三維，詳細(xì)分析了三維亥姆霍茲線圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)和電流參數(shù)建模，最后基于三維亥姆霍茲線圈的參數(shù)計算使用COMSOL 有限元分析軟件對三維亥姆霍茲線圈的磁場進(jìn)行了仿真分析。