劉雨喆，章 超

(貴州大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，貴州 貴陽 550025)

代數(shù)表示型問題是代數(shù)表示理論中的基本問題之一。所謂表示型問題，即研究有限維k-代數(shù)的不可分解模的分類問題。域k上的有限維代數(shù)自然地分為兩類：表示有限的代數(shù)和表示無限的代數(shù)。這里，表示有(無)限代數(shù)是指模范疇中具有有(無)限多個不可分解對象。對于表示無限的代數(shù)，Donovan-Freislich猜想它們可以分為更細致的兩類, 即馴(tame)表示型代數(shù)和野(wild)表示型代數(shù)[1]。 粗略地說，一個代數(shù)是馴表示型代數(shù)當且僅當它的不可分解表示可以由一個連續(xù)變量來量化，而野表示型代數(shù)具有由任意多變量量化的不可分解表示。后來Drozd利用矩陣方法證明了上述雙分定理[2]。更細致地說，表示野代數(shù)的定義依賴于代數(shù)Γ=k〈x,y〉的表示范疇。通常來說，完全描述野代數(shù)的表示范疇是不可能的。代數(shù)Γ本身也是表示野代數(shù)。

由Gabriel圖化理論，代數(shù)Γ同構(gòu)于箭圖Q=(Q0,Q1)對應的箭圖代數(shù)kQ，其中點集Q0={1}，箭向集Q1={α∶1→1；β∶1→1}。由文獻[3]中表示理論可知，代數(shù)kQ的n維表示即為Y=(kn,A,B)，其中A,B為n階方陣。給定代數(shù)kQ的另外n維表示Y′=(kn，A′，B′)，M?M′當且僅當存在可逆矩陣P，使得P-1AP=A′，P-1BP=B′。因而計算該代數(shù)表示的同構(gòu)類問題，等價于解線性矩陣問題：給定矩陣對(A,B)，是否存在可逆矩陣P，使P-1AP，P-1BP同時為在某一確定意義下的標準形。對任意給定的矩陣對，Belitskii約化算法卻是確定其相似標準形的一個有效算法[4-6]。Jordan標準形理論表明一定存在可逆矩陣P，使得P-1AP為Jordan形矩陣。Belitskii算法的基本思想是在保持J不變的情況下，繼續(xù)約化M=P-1BP時，矩陣集合只能是Λ={S∈GLn(k)|SJ=JS}，其中GLn(k)表示數(shù)域上的全體可逆n階矩陣組成的一般線性群。Belitskii標準形的參數(shù)數(shù)，粗略地說，是代數(shù)群G={S∈Λ| det(S)≠0}作用在由這些矩陣M構(gòu)成的代數(shù)簇上的一個量化參數(shù)，它的定義依賴于單個矩陣M在共軛作用下的G-軌道的維數(shù)與余維數(shù)[7]。本文中我們總假定k為代數(shù)閉域。本文主要計算代數(shù)Γ=k(x,y)所有二維表示的同構(gòu)類，并利用Belitskii算法得到的標準形，計算了Belitskii標準形的參數(shù)數(shù)。

1 Belitskii約化算法

為了文章的完整性，本節(jié)將介紹約化矩陣對(A,B)的Belitskii算法，詳見文獻[4-6]。

令W為Jordan標準形或者Weyr標準形，Λ={X∈GLn(k)|XW=WX}。Λ由分塊上三角陣X=(Xij)d×d組成,(Xij)d×d為與W相同分塊的矩陣。

定義1.1設M，N是兩個n階方陣。如果存在矩陣P∈Λ,使得P-1MP=N,則稱M是Λ-相似于N的,記作M～ΛN；我們稱M的子塊Mij是Λ-穩(wěn)定的，如果對任意的X∈Λ，Mij在Λ-相似變換MaX-1MX下保持不變；對于分塊矩陣M=(Mij)d×d，我們規(guī)定：Mi1j1i2,或者i1=i2但j1

如果M所有的子塊都是Λ-穩(wěn)定的，那么M在相似變換MaX-1MX(X∈Λ)下保持不變，此時M本身就看作一種標準形。否則，設Mlr是M=(Mij)d×d的第一個在上面序下的非Λ-穩(wěn)定子塊。令X-1MX=M1，則MX=XM1的第l行第r列子塊為

又由于所有滿足Mij

(1)

以下對可能存在的三種情形進行約化：

2 二維表示的同構(gòu)類與參數(shù)數(shù)

本節(jié)我們將應用上一節(jié)介紹的Belitskii約化算法計算二維表示的同構(gòu)類，該結(jié)果將給出二階矩陣對的相似分類。我們利用Belitskii標準形給出了參數(shù)數(shù)。

2.1 表示同構(gòu)類

當矩陣對(A,B)中A,B均為二階矩陣時，以矩陣B的Jordan矩陣標準形進行分類。

其中a11,a12,a22為參數(shù)。

則a22,a11,a12都Λ-穩(wěn)定，所以

其中a11,a12,a22為參數(shù)。

其中a11,a22為參數(shù)。

其中a11,a12為參數(shù)。

則a11,a12都Λ-穩(wěn)定，所以

其中a11,a12,a21為參數(shù)。

2.2 參數(shù)數(shù)

令(Ψ,Λ)為前面小節(jié)中的線性矩陣問題，其中Ψ為滿足特定條件矩陣M構(gòu)成的代數(shù)簇，代數(shù)群G={S∈Λ|det(S)≠0}共軛作用在這些矩陣M上，M的G-軌道ΟM即為M的Λ-相似類，M的穩(wěn)定子群為

StabG(M)={S∈G|S-1MS=M}，

對于維數(shù)，我們有dimG=dimΟM+dimStabG(M)。

令ind(Ψ)為Ψ中的不可分解矩陣，這里，不可分解矩陣表示非對角矩陣，且inds(Ψ)={M∈ind(Ψ)| dimΟM=s}。

定義2.1[8]ind(Ψ)在群G的作用下的參數(shù)數(shù)定義為

下面的定理來自于文獻[7]定理3.2，推論3.4。

定理2.2ind(Ψ)的參數(shù)數(shù)μ(ind(Ψ))即為(Ψ,Λ)中矩陣Belitskii標準形中所含參數(shù)的極大值，而且(Ψ,Λ)為馴表示型當且僅當μ(ind(Ψ))≤1。

將上述定理應用到二階矩陣對的約化問題，結(jié)合上節(jié)計算的Belitskii標準型，我們可以得到下面命題。

命題2.3設(A,B)為二階矩陣對，其中B=J為Jordan標準形，Ψ為所有二階矩陣A構(gòu)成的代數(shù)簇，Λ={X∈GLn(k)|XW=WX}，則μ(ind(Ψ))=3，因而此線性矩陣問題(Ψ,Λ)為野表示型。