羅均文 吳德偉 李響 朱浩男 魏天麗

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077)

(2018 年10 月26 日收到; 2018 年12 月4 日收到修改稿)

極化微波作為當(dāng)前被廣泛應(yīng)用的信息載體,具有許多獨(dú)特的優(yōu)勢(shì). 隨著超導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展,量子微波技術(shù)逐漸興起,將量子糾纏應(yīng)用于極化微波將具有廣闊的應(yīng)用前景. 本文闡述了連續(xù)變量極化糾纏的原理,提出了極化糾纏微波方案并進(jìn)行了仿真分析,利用歸一化的不可分度I作為判據(jù),分析了在整個(gè)約瑟夫森混合器100 MHz 工作帶寬內(nèi)斯托克斯參量的不可分度I (,) ,I (,) ,并進(jìn)一步分析了I分別與壓縮度r、振幅比值Q的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)I (,) ,I (,) 分別對(duì)振幅比值Q、壓縮度r的變化敏感,且在本文研究的條件下I (,)始終大于1,I (,)始終小于1,斯托克斯參量,構(gòu)成不可分態(tài),方案產(chǎn)生的兩個(gè)微波信號(hào)和 存在二組分極化糾纏,最佳糾纏出現(xiàn)在70 MHz 附近,此時(shí)I (,) 取得最小值0.25.

1 引 言

近三十年來(lái),量子信息技術(shù)發(fā)展迅猛,糾纏資源作為量子力學(xué)的核心,其性質(zhì)得到了廣泛的研究與應(yīng)用[1,2]. 根據(jù)觀測(cè)量的不同產(chǎn)生了不同的糾纏類型,如正交分量糾纏、極化糾纏等[3,4]. 極化是電磁波的一個(gè)重要性質(zhì),廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、導(dǎo)航、通信等領(lǐng)域,且表征極化狀態(tài)的斯托克斯參量探測(cè)時(shí)不需要本地振蕩信號(hào),相較正交分量糾纏的探測(cè)更為容易,因此極化糾纏的實(shí)現(xiàn)對(duì)于糾纏的應(yīng)用具有重要的意義.

早期的極化糾纏是由光子對(duì)實(shí)現(xiàn)的,屬于離散變量的極化糾纏[5]. Bowen 等[6]提出了連續(xù)變量光極化壓縮及糾纏,將斯托克斯參量量子化,提出了相應(yīng)的測(cè)量方案和糾纏判據(jù),且進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.Korolkova 等[7]使用超短脈沖源和克爾非線性效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了1550 nm 波段的連續(xù)變量極化糾纏.Guo 等[8]研究了連續(xù)變量軌道角動(dòng)量的壓縮和糾纏,同樣分析了軌道角動(dòng)量的斯托克斯參量,使用的分析方法借鑒自連續(xù)變量極化壓縮與糾纏. 吳量等[9]在795 nm 波段進(jìn)行了兩組分極化糾纏光場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)制備,并認(rèn)為該極化糾纏光場(chǎng)可應(yīng)用于未來(lái)的量子存儲(chǔ),實(shí)現(xiàn)量子通道和量子節(jié)點(diǎn)之間、兩個(gè)量子節(jié)點(diǎn)之間的糾纏以及量子態(tài)的傳輸,之后該小組又基于極化分束網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了三組分的極化糾纏光場(chǎng)[10]. 周瑤瑤等[11]研究了鍍膜參數(shù)差異對(duì)連續(xù)變量糾纏度的影響.

由于可見光波段的光子具有較高的能量,且對(duì)應(yīng)探測(cè)器工作條件友好,因此目前有關(guān)的極化糾纏均通過(guò)可見光實(shí)現(xiàn). 相較于可見光,微波波段會(huì)受到光子能量較低、器件工作條件苛刻等不利因素的影響[12],但同時(shí)具有更長(zhǎng)的相干時(shí)間、與現(xiàn)有超導(dǎo)器件的良好兼容性以及信號(hào)可放大、可中繼的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)[13],因此近年來(lái)成為了量子糾纏研究的一個(gè)熱點(diǎn)[14?16].

本文從理論上分析了兩組分極化糾纏的產(chǎn)生、探測(cè)原理,提出了一種微波連續(xù)變量極化糾纏的可能實(shí)現(xiàn)方案并進(jìn)行了仿真,得到了極化糾纏的微波信號(hào)斯托克斯參量,與之間的不可分度,分析了壓縮度r、極化分量振幅比值Q分別同不可分度I的關(guān)系,并探討了正交分量糾纏與極化糾纏的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

2 基本原理

任意電磁波的極化狀態(tài)可以由四個(gè)斯托克斯參量完全描述,分別記為S0,S1,S2和S3,而量子化的斯托克斯參量使用算符表示為,,和[17]. 在經(jīng)典電磁波中,電磁波可以分解為水平極化分量EH和垂直極化分量EV[18],也就是

其中,EH和EV分別是水平極化分量和垂直極化分量的振幅,?H和?V表示對(duì)應(yīng)的相位,則相位差?可表示為

將電磁場(chǎng)量子化后,電磁波的水平極化分量用表示,垂直極化分量用表示,則可將斯托克斯算符展開為

同時(shí),四個(gè)參量滿足對(duì)易關(guān)系:

當(dāng)EV?EH時(shí),結(jié)合不確定性原理以及正交分量量子起伏,并認(rèn)為,的量子起伏不相關(guān),忽略干涉項(xiàng),可以得到斯托克斯參量的均值和量子起伏為

(6)式中,δ為水平(垂直)極化分量的正交振幅量子起伏,δ為水平(垂直)極化分量的正交相位量子起伏.

極化糾纏可以通過(guò)轉(zhuǎn)換正交分量糾纏而得到,即將兩路正交分量糾纏的信號(hào)與兩路強(qiáng)相干態(tài)信號(hào)分別在不同的極化分束器件上耦合,所產(chǎn)生的兩路輸出表現(xiàn)為極化糾纏,其原理如圖1 所示. 正交分量糾纏信號(hào),作為水平極化分量,與強(qiáng)相干態(tài)信號(hào),分別在極化分束器件上合成,得到兩路極化糾纏信號(hào),,其糾纏特性的具體觀測(cè)量為,的斯托克斯參量. 在極化糾纏探測(cè)部分,直接使用兩套相同的平衡零拍探測(cè)裝置,通過(guò)對(duì)探測(cè)器輸出電流作加減法得到兩路信號(hào)的,參量. 由(3)式可知,兩路信號(hào),參量的測(cè)量必須進(jìn)行極化偏轉(zhuǎn),同時(shí)引入額外相位,完成基變換,使得兩參量能夠?qū)?yīng)物理可觀測(cè)量,如電流,然后再使用平衡零拍探測(cè)裝置進(jìn)行測(cè)量.因此,測(cè)量時(shí)需要在極化分束器(PBS)前加入一個(gè)與水平方向成45°角的半波片,再經(jīng)平衡零拍探測(cè)裝置探測(cè),而測(cè)量則需要在測(cè)量的基礎(chǔ)上,在半波片后加上一個(gè)與水平方向成22.5°角的1/4 波片. 這樣便可將所有斯托克斯參量測(cè)出,進(jìn)而分析各斯托克斯參量的性質(zhì).

正交分量糾纏中使用段氏判據(jù)[19]驗(yàn)證兩路信號(hào)糾纏與否,為了驗(yàn)證二組分極化糾纏,需要對(duì)段氏判據(jù)進(jìn)行拓展,使之能夠驗(yàn)證斯托克斯參量間的二組分糾纏. 以下標(biāo)a,b區(qū)別觀測(cè)量所在信號(hào),則正交分量糾纏的段氏判據(jù)可表示為

為簡(jiǎn)單起見,本文均用形如 ?2() 的式子表示 m in[?2(+),?2()] . 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)不確定性關(guān)系,對(duì)于任意一對(duì)可觀測(cè)量M和N,可以將段氏判據(jù)拓展為(參閱附錄A)

圖1 兩組分極化糾纏光場(chǎng)生成及探測(cè)原理圖(OPA,光參量放大器; BS,分束器; PBS,極化分束器; D,探測(cè)器)Fig. 1. Scheme of preparation and measurement towards bipartite polarization entangled optical fields. OPA,optical parametric amplifier; BS,beam splitter; PBS,polarization beam splitter; D,detector.

為方便對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行討論,可將判據(jù)歸一化,從而得到二組分糾纏的不可分度(inseparability):

當(dāng)I(,)<1 時(shí),說(shuō)明對(duì)應(yīng)M和N這對(duì)觀測(cè)量,量子態(tài)不可分,信號(hào)1 和信號(hào)2 糾纏. 因此,斯托克斯參量中除外,,和間的不可分度可表示為

顯然,從(10)—(12)式可以看出,在某些取值情況下,可能無(wú)法同時(shí)獲得三個(gè)不可分度,因此不可分度只是一個(gè)充分不必要條件,這是由于標(biāo)準(zhǔn)不確定性關(guān)系中去除了關(guān)聯(lián)項(xiàng)引起的.

3 方案設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

借鑒可見光波段實(shí)現(xiàn)極化糾纏的方案,提出了一種微波波段極化糾纏方案,其原理如圖2 所示.

如圖2 所示,在極化糾纏生成部分,使用一個(gè)約瑟夫森混合器(Josephson mixer,JM)[20]對(duì)兩輸入信號(hào),進(jìn)行雙模壓縮,使得

圖2 二組分極化糾纏微波方案示意圖(D,探測(cè)器; 方案整體工作溫度為0.5 mK)Fig. 2. Schematic of bipartite polarization entangled microwave. D,detector. Overall operation temperature of the proposal is 0.5 mK.

此時(shí)輸出信號(hào)是正交分量糾纏的,再將兩輸出作為水平極化分量,,分別在兩個(gè)極化柵上與垂直極化的強(qiáng)相干態(tài)微波信號(hào),耦合,形成極化糾纏信號(hào),. 若令兩極化分量的振幅比為Q,即Q則其中兩個(gè)極化分量的振幅和相位滿足關(guān)系:

方案部分參數(shù)設(shè)定如表1 所列.

在表1 所列的條件下,,的正交分量間的時(shí)域關(guān)聯(lián)如圖3 所示. 可以看出,此時(shí)兩信號(hào)的正交振幅正關(guān)聯(lián)、正交相位反關(guān)聯(lián),且關(guān)聯(lián)性強(qiáng).

表1 方案部分參數(shù)Table 1. Part of the parameters in the scheme.

若不考慮量子起伏,合成信號(hào)Ea,Eb可經(jīng)典地表示為其電場(chǎng)狀態(tài)如圖4 所示,顯示為橢圓極化狀態(tài).

為驗(yàn)證極化糾纏,必須考慮量子起伏,需要使用(10)—(12)式進(jìn)行判斷. 對(duì)于與的測(cè)量直接使用平衡零差探測(cè)裝置即可,而對(duì)于與則需要在極化柵(polarization grid)前加入法拉第旋轉(zhuǎn)器(Faraday rotator)進(jìn)行基變換,使得

這樣,,信號(hào)各自的所有斯托克斯參量便可全部測(cè)出. 將兩套平衡零拍探測(cè)裝置的輸出電流再進(jìn)行加減,就可以得到±(其中i=0,1,2,3 ).進(jìn)一步地,利用頻譜分析儀獲取 ?2() (其中i=1,2,3 ),得到相應(yīng)的不可分度,從而判斷二組分糾纏的存在與否. 由于(14)式所選擇的條件,相位差使得(11)式無(wú)法判斷,故只能判斷與之間、與之間是否存在二組分糾纏.

根據(jù)表1 及(14)式,可得,間各斯托克斯參量的起伏如圖5 所示.

圖3 ,的正交分量間的時(shí)域關(guān)聯(lián) (a)振幅分量XH; (b)相位分量YHFig. 3. Quadrature components correlations ofandin time domain: (a) Amplitude componentXH; (b) phase componentYH.

圖4 合成信號(hào)傳輸過(guò)程電場(chǎng)狀態(tài)(a)和矢端軌跡(b)Fig. 4. Electric field state (a) and vector end trajectory (b) of combined signal in transmission.

圖5 ,對(duì)應(yīng)斯托克斯參量的起伏關(guān)系Fig. 5. Fluctuations correlation of corresponding Stokes vectors betweenand.

從圖5 可以看出,各分量在低頻處均有較高噪聲,這是由弛豫振蕩噪聲[21]引起的,而兩信號(hào)中的和參量起伏基本一致,均在50 MHz 以上,趨于散粒噪聲極限,和參量的起伏則在整個(gè)工作帶寬范圍內(nèi)均高于散粒噪聲極限. 事實(shí)上,在表1及(14)式所設(shè)條件下,(6)式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

進(jìn)一步將(10)和(12)式展開分析:

由圖6 可知,隨著r的增大,有略微減小,在整個(gè)工作帶寬范圍內(nèi)均保持大于1,說(shuō)明r的變化對(duì)影響不大,這是由于r只影響水平極化分量中的正交分量,而中占主導(dǎo)地位的分量是來(lái)自強(qiáng)相干態(tài)的垂直分量,因此來(lái)自水平極化分量的正交相位起伏對(duì)的影響有限. 對(duì)于其隨著r的增大而減小,且變化幅度較大,在整個(gè)工作帶寬范圍內(nèi)均小于1,說(shuō)明受r影響較大. 同時(shí)可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于不同的曲線均在70 MHz 附近,趨于極小值0.25,說(shuō)明該處的糾纏程度最佳.

另一方面,當(dāng)r= 2 時(shí),給出I與Q的關(guān)系,如圖7 所示. 從圖7 可以看出,Q越大的值越大,的值越小,且隨Q變化幅度 較 大,隨Q變 化 幅 度 很 小,這 可 由(20)式給出解釋,即當(dāng)Q值較大時(shí)將趨向一定值,從而幾乎不再受Q的影響. 在整個(gè)JM 工作帶寬內(nèi),始終大于1,而則始終小于1,且也在70 MHz 附近取得最小值0.25,該點(diǎn)處糾纏程度最佳.

參數(shù)Q體現(xiàn)的是垂直極化分量的強(qiáng)相干態(tài)信號(hào)對(duì)于最終輸出的漲落的影響,參數(shù)r體現(xiàn)的是水平極化信號(hào)對(duì)于最終輸出的漲落的影響,不可分度的大小取決于各信號(hào)漲落的大小對(duì)Q值變化敏感,而對(duì)r值變化敏感,這說(shuō)明強(qiáng)相干態(tài)信號(hào)的漲落在糾纏轉(zhuǎn)換中主要投影到了斯托克斯參量中的和上,而正交分量糾纏信號(hào)的漲落則主要投影到了斯托克斯參量中的和上,并相應(yīng)地主導(dǎo)了的值.

圖6 不可分度I與壓縮度r的關(guān)系Fig. 6. Relations of inseparabilityIand squeezing degree

圖7 不可分度I與振幅比值Q的關(guān)系Fig. 7. Relations of inseparabilityIand amplitude ratioQ:

4 結(jié) 論

對(duì)連續(xù)變量極化糾纏原理進(jìn)行了闡述,提出了微波二組分極化糾纏的方案,著重對(duì)正交分量糾纏到極化糾纏的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了分析,在設(shè)定的方案條件下,獲得了水平極化分量的正交振幅、相位的時(shí)域關(guān)聯(lián),同時(shí)得出了在整個(gè)JM 工作帶寬內(nèi)的不可分度詳細(xì)分析了不可分度I分別與壓縮度r、振幅比值Q的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)對(duì)Q值變化敏感,而對(duì)r值變化敏感,始終大于1、始終小于1,斯托克斯參量和構(gòu)成不可分態(tài),方案產(chǎn)生的兩個(gè)微波信號(hào)和存在二組分極化糾纏.

附錄A 段氏不可分判據(jù)的拓展

推導(dǎo)量子態(tài)可分條件,對(duì)其違反即為不可分,從而可得不可分判據(jù). 最初的段氏判據(jù)是從信號(hào)的正交分量入手的.

推導(dǎo),ν?方差,以下使用 δO和 ?2O分別代表任意物理觀測(cè)量O的標(biāo)準(zhǔn)差和均方差:

根據(jù)平方和式可知

列出不確定性關(guān)系有

則根據(jù)不確定性關(guān)系可得

正交分量和滿足對(duì)易關(guān)系:

故(A2)式可化為

該情況下量子態(tài)可分,當(dāng)(A7)式被違反時(shí)則不可分,故段氏不可分判據(jù)即為

具體針對(duì)正交分量而言時(shí),C的值為2,則可以得到

此即為正文中(7)式的推導(dǎo)過(guò)程,附錄A 只對(duì)正交振幅和、正交相位差兩觀測(cè)量進(jìn)行了舉例推導(dǎo),但該判據(jù)對(duì)于正交振幅差、正交相位和觀測(cè)量同樣成立.

根據(jù)(A7)和(A8)式可對(duì)段氏判據(jù)進(jìn)行拓展,對(duì)于任意一對(duì)厄米量M和N,對(duì)于兩信號(hào)和則有不可分判據(jù)如正文中(8)式所示:

以上即為段氏不可分判據(jù)的拓展.