黎棟材 聞 巖

(1.北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 100032；2.北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院 100035)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的教學(xué). 我國(guó)在數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)方面號(hào)稱“解題王國(guó)”，但受到應(yīng)試教育、具體教學(xué)操作約束、傳統(tǒng)觀念等影響，使一些亟待研究的話題還沒(méi)有引起人們足夠重視[1]. 要實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)，教師和學(xué)生需要共同努力.

本文將從數(shù)學(xué)教學(xué)的核心入手，分析問(wèn)題意識(shí)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)之間的關(guān)系，結(jié)合筆者在教學(xué)中的幾個(gè)案例，來(lái)說(shuō)明如何在課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 數(shù)學(xué)教學(xué)的核心

中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)能力，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主陣地. 作為長(zhǎng)期在一線任教的數(shù)學(xué)教師，我們認(rèn)為，為了能在課堂教學(xué)中將培養(yǎng)思維、提高能力、提升素養(yǎng)等落到實(shí)處，教師首先要理解數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心是什么，只有這樣，才能在課堂教學(xué)中做到目標(biāo)明確，有的放矢.

1.1 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟.1980年美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)在《關(guān)于行動(dòng)的議程》中也曾指出，必須把問(wèn)題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心. 我國(guó)最新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要把提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱“四能”)作為教學(xué)目標(biāo). 足見(jiàn)“問(wèn)題”的重要性.

縱觀國(guó)內(nèi)外的基礎(chǔ)教育，各個(gè)國(guó)家、地區(qū)及國(guó)際組織都在努力把學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)作為基礎(chǔ)教育階段學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的重要內(nèi)容和學(xué)生終身學(xué)習(xí)的必備技能.不論是教學(xué)目標(biāo)，還是教學(xué)過(guò)程，也不論是教學(xué)方法，還是教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)問(wèn)題都成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究的重要課題，也成為了國(guó)際數(shù)學(xué)教育的核心和數(shù)學(xué)教育改革的一種新趨勢(shì)，而基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)模式也受到越來(lái)越廣泛的關(guān)注和重視.

1.2 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)

“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家A·A 斯托利亞爾首先倡導(dǎo)的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)是以“數(shù)學(xué)活動(dòng)”為主的思維活動(dòng)的教學(xué). 我國(guó)新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出：應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，從學(xué)生熟知、感興趣的生活事例出發(fā)，以生活為依托，將生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與，使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力.

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中理解概念、定理、公式的形成、發(fā)展的過(guò)程；學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)、理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值及文化價(jià)值；學(xué)生在活動(dòng)中逐步提高自身分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及邏輯推理等各個(gè)方面的能力. 從這個(gè)意義上不難看出，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升離不開(kāi)豐富多彩、能激發(fā)學(xué)生興趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，形式多樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的必備條件.

2 對(duì)問(wèn)題意識(shí)的認(rèn)識(shí)

2.1 問(wèn)題意識(shí)

姚本先教授認(rèn)為，問(wèn)題意識(shí)是思維的問(wèn)題性心理品質(zhì)，是指人們?cè)谡J(rèn)識(shí)活動(dòng)中，經(jīng)常意識(shí)到一些難以解決的、疑惑的實(shí)際問(wèn)題或理論問(wèn)題，并產(chǎn)生一種懷疑、困惑的心理狀態(tài)，這種心理又驅(qū)使個(gè)體積極思維，不斷提出問(wèn)題和解決問(wèn)題[2].

從中我們不難看出，問(wèn)題意識(shí)特別強(qiáng)調(diào)認(rèn)識(shí)主體在認(rèn)識(shí)活動(dòng)過(guò)程中所起的作用.一方面，認(rèn)識(shí)主體要有強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)，主動(dòng)地參與到認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，只有這樣才能在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上產(chǎn)生困惑、懷疑等心理狀態(tài)，從而感知到新的問(wèn)題，重新構(gòu)建認(rèn)知體系；另一方面，當(dāng)認(rèn)識(shí)主體具有較強(qiáng)的問(wèn)題意識(shí)之后，便會(huì)不由自主地、主動(dòng)地對(duì)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的過(guò)程進(jìn)行總結(jié)、反思，在無(wú)形中感知認(rèn)知沖突、探索相關(guān)的未知問(wèn)題，最終優(yōu)化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的效果.

在中學(xué)課堂，學(xué)生是認(rèn)知主體，在教學(xué)過(guò)程中，如何培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，如何在問(wèn)題意識(shí)的驅(qū)使下讓學(xué)生主動(dòng)并積極參與到認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，如何培養(yǎng)學(xué)生在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中自覺(jué)反思，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這些是我們必須思考的問(wèn)題.

2.2 當(dāng)前學(xué)生缺乏問(wèn)題意識(shí)的原因

造成學(xué)生缺乏問(wèn)題意識(shí)的原因既有來(lái)自教師的，也有來(lái)自學(xué)生自身的.來(lái)自中國(guó)青少年研究中心、北京師范大學(xué)教育系、北京出版社等機(jī)構(gòu)的專家組成的“我國(guó)中小學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展”課題組對(duì)10個(gè)省市10—18歲中小學(xué)生的課堂上主動(dòng)提問(wèn)情況進(jìn)行了大規(guī)模問(wèn)卷調(diào)查，其中“課堂上經(jīng)常向老師提問(wèn)”這一問(wèn)題，小學(xué)生占比13.8%，初中生占比5.7%，高中生占比2.9%.不難發(fā)現(xiàn)，從小學(xué)到高中,學(xué)生在課堂上主動(dòng)回答問(wèn)題的積極性越來(lái)越低.

造成學(xué)生缺乏問(wèn)題意識(shí)的主要原因是小學(xué)高年級(jí)以及中學(xué)階段的教育以傳統(tǒng)的知識(shí)型教學(xué)為主，傳統(tǒng)的知識(shí)型教學(xué)以傳授知識(shí)為教育目的，過(guò)分注重傳授知識(shí)的結(jié)果而非過(guò)程與方法，這種教學(xué)模式下的師生關(guān)系多表現(xiàn)為教師權(quán)威、學(xué)生服從.另外，通過(guò)與一些教師(特別是青年教師)的交流知道，他們的課堂還是以講為主，不愿或者不敢讓學(xué)生提問(wèn).究其原因，一是怕影響教學(xué)進(jìn)度，完不成教學(xué)任務(wù)；二是怕提出的問(wèn)題出乎意料、難以回答，有損尊嚴(yán)和形象. 事實(shí)上，教學(xué)不是知識(shí)的單向傳遞，而是師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，共同發(fā)展的過(guò)程. 所以，教師需要放下自己的身段，擺正自己在課堂教學(xué)中的位置，將促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展放在首位，同時(shí)發(fā)展自身的專業(yè)能力.

2.3 培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，教師首先要改變教學(xué)觀念，讓自己具有強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí).課程改革，同時(shí)也是教師教學(xué)觀念的改革.教師在備課、課堂教學(xué)及教學(xué)反思等方面都要有質(zhì)疑精神，敢于突破傳統(tǒng)的教育模式，提出自己獨(dú)到的見(jiàn)解及教學(xué)思路，探索新的教學(xué)方式及方法.只有轉(zhuǎn)變了教師的舊觀念，教師自己具有了強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)，才能培養(yǎng)學(xué)生具有問(wèn)題意識(shí)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教師在教學(xué)中，要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)及已有的知識(shí)背景出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有趣、有意義的活動(dòng)，為學(xué)生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)及交流的機(jī)會(huì).通過(guò)形式多樣的問(wèn)題情景，制造學(xué)生的認(rèn)知沖突、激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望、誘發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生逐步用數(shù)學(xué)的眼光觀察周圍的世界，使學(xué)生感到有問(wèn)題要問(wèn)，有問(wèn)題值得問(wèn)，有問(wèn)題值得繼續(xù)研究，這樣逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

有研究者認(rèn)為，根據(jù)教材設(shè)置一些難度適中，具有可研究的開(kāi)放題是實(shí)施教學(xué)內(nèi)容開(kāi)放的有效手段[3].開(kāi)放題，可以是條件開(kāi)放，也可以是結(jié)論開(kāi)放，甚至還可以是條件和結(jié)論都開(kāi)放.在解決開(kāi)放題的過(guò)程中，學(xué)生不必拘泥于某種固化的、規(guī)范化的思維模式，從而利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

愛(ài)因斯坦認(rèn)為：提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更加重要.從數(shù)學(xué)的角度，解決一個(gè)問(wèn)題可以借助感覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)及一些技巧，而提出一個(gè)新穎的、有創(chuàng)造性、具有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，提問(wèn)者必須站在系統(tǒng)的高度，從整體出發(fā)，這對(duì)提問(wèn)者的各個(gè)方面的能力、素養(yǎng)都提出了更高的要求.目前，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要弊端還是表現(xiàn)在重知識(shí)、輕能力，重分?jǐn)?shù)、輕素養(yǎng)上. 因此“強(qiáng)化問(wèn)題意識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的教學(xué)是克服以上弊端的好方法之一[4].

3 基于數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的兩點(diǎn)建議

3.1 在教學(xué)過(guò)程中有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的“問(wèn)題意識(shí)”

讓學(xué)生具有問(wèn)題意識(shí)，不是一朝一夕就可以做到的，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程. 教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候就應(yīng)該統(tǒng)籌考慮，有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃、有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí).開(kāi)始階段，可以是教師提問(wèn)題，學(xué)生解答；慢慢地，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生自己提問(wèn)題自己解答；最后做到學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自己提出問(wèn)題，自己解決.

案例1在高一上學(xué)期學(xué)完基本初等函數(shù)1之后，給學(xué)生留了思考題：

學(xué)生借助函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖1)，得到方程f2(x)+bf(x)+c=0有七個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的充要條件是b<0,c=0. 如果就此打住，定會(huì)失去培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的良機(jī).我們順勢(shì)提出下面的三個(gè)問(wèn)題：

圖1

問(wèn)題1：討論方程f2(x)+bf(x)+c=0根的情況，并指出其成立的充要條件.

問(wèn)題2：若方程f2(x)+bf(x)+c=0有八個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則它們的和是多少？

問(wèn)題3：若y=f(x)是一個(gè)二次函數(shù)，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)以“方程f2(x)+bf(x)+c=0根”為背景的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)教育就應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力放在首位，不但要使學(xué)生掌握適量的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要讓學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程中提高學(xué)會(huì)提出問(wèn)題與解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，為繼續(xù)學(xué)習(xí)并成為終身學(xué)習(xí)者打下良好的基礎(chǔ). 案例1中提出的三個(gè)問(wèn)題，不但可以讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)此題，抓住其核心，找到解決問(wèn)題的突破口，還能一題多用. 問(wèn)題1深入討論了該方程根的情況，學(xué)生不但要關(guān)注二次方程t2+bt+c=0根的情況，還要關(guān)注f(x)=t的根與t的正負(fù)之間的關(guān)系；問(wèn)題2需要學(xué)生具有敏銳的觀察力，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f(x)的圖象具有對(duì)稱性；問(wèn)題3更具有開(kāi)放性，更具有挑戰(zhàn)性.這些問(wèn)題的提出，不但有利于培養(yǎng)學(xué)生自身的問(wèn)題意識(shí)，還可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例2在學(xué)習(xí)完“圓的方程”后，有三個(gè)學(xué)生一起找到老師，說(shuō)要匯報(bào)一下他們的數(shù)學(xué)興趣小組近階段的研究成果.

他們從單位圓x2+y2=1入手，首先研究x4+y4=1的性質(zhì)，進(jìn)而研究曲線An：

x2n+y2n=1，(n∈N*,n≥2)

并得到更加一般的結(jié)論：

(1)曲線是封閉的，其面積大于π，且|x|≤1,|y|≤1；

(2)曲線具有對(duì)稱性.x軸、y軸、直線y=x、直線y=-x是其對(duì)稱軸，原點(diǎn)是其對(duì)稱中心；

(3)曲線An在直線x=±1,y=±1所圍成的正方形內(nèi)；

學(xué)生從圓的方程的形式入手，自己提出問(wèn)題自己解決. 學(xué)生認(rèn)為這個(gè)研究還可以繼續(xù)深入下去，如研究曲線(x-a)2n+(y-b)2n=1(n∈N*,n≥2)、x2n+y2m=1(m,n∈N*,m≠n)等的性質(zhì).

在教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不在，可以在知識(shí)的起始階段，也可以在知識(shí)獲取的過(guò)程中. 所以，數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，其提出也并非由教師“包辦”，當(dāng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、研究意識(shí)達(dá)到一定的程度后，就可以自己提出，用數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)也是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的一種很好方法.

3.2 以“問(wèn)題鏈”的形式組織教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)

采用問(wèn)題鏈的教學(xué)方式是導(dǎo)學(xué)理念下的一種有效的教學(xué)方式，受到很多中學(xué)教師的重視. 問(wèn)題鏈的有機(jī)串聯(lián)，有效地克服了課堂教學(xué)中某些問(wèn)題的細(xì)碎、離散、隨意等不足，不僅能更簡(jiǎn)潔有效的驅(qū)動(dòng)教學(xué)，還能讓學(xué)生在解決系列問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)和提煉知識(shí)并獲得解決問(wèn)題的技巧策略[5].

案例3兩輪高三復(fù)習(xí)“自我同課異構(gòu)”課

在上一輪高三教學(xué)圓錐曲線時(shí)，教師以一道高考試題(2013年廣東理科卷第20題)為依托，采用問(wèn)題鏈的教學(xué)形式，逐步、有層次地探究出“拋物線的極點(diǎn)、極線及其它們的依存關(guān)系”[6].而這一屆高三復(fù)習(xí)時(shí)，問(wèn)題鏈則由學(xué)生自己提出并串起來(lái).

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ) 當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程；

(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

以下是得到直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0后的教學(xué)片段.

圖2

學(xué)生A：由于P(x0,y0)在直線x-y-2=0上，所以x0-y0-2=0，于是直線x0x-2y-2y0=0中的x0,y0消掉某一個(gè)后，可以發(fā)現(xiàn)直線過(guò)定點(diǎn)(2,2)(為方便敘述，將其記為Q)，如圖2.

在學(xué)生A講完之后，給了學(xué)生大約15分鐘自己思考的時(shí)間.隨后，一個(gè)接一個(gè)的問(wèn)題被提了出來(lái)：

問(wèn)題1：如果點(diǎn)P為直線l:x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，直線AB是否仍然過(guò)(2,2)？

問(wèn)題2：該結(jié)論的逆命題是否成立？為什么？

問(wèn)題3：是否具有更加一般的結(jié)論？

問(wèn)題4：直線l和定點(diǎn)Q之間究竟存在怎么樣的關(guān)系？

這些問(wèn)題的提出，幾乎已經(jīng)逼近了“拋物線的極點(diǎn)、極線及其它們的依存關(guān)系”.教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生將這些問(wèn)題一一擊破！這堂課的設(shè)計(jì)雖然與三年前完全不同，教師的參與度也大大降低，但是從教學(xué)效果來(lái)看，卻優(yōu)于上次.究其原因在于學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)增強(qiáng)了且具有了很強(qiáng)的解決問(wèn)題能力，這些也正是提高學(xué)生課堂參與度的保證.

教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，是使學(xué)生的知識(shí)不斷增加、深化的過(guò)程，也是使學(xué)生能力不斷提高的過(guò)程；結(jié)論、方法的獲得固然重要， 但過(guò)程更

重要. 引導(dǎo)學(xué)生在過(guò)程中不斷拓寬加深、完善提高，培養(yǎng)探索、創(chuàng)新能力，才是我們教學(xué)的真正目的[7]. 隨著筆者對(duì)教育本真的理解，在教學(xué)的過(guò)程中時(shí)常把最精彩、最出彩的部分留給學(xué)生，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，在潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

我們認(rèn)為，基于“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的課堂教學(xué)有三個(gè)層次，一是提高學(xué)生的解題能力，二是提高學(xué)生的思維能力，三是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 基于“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的課堂教學(xué)以提高解題能力為基礎(chǔ)，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為最終目標(biāo)，這同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)的有效途徑. 以“問(wèn)題”為中心的教學(xué)，可使學(xué)生在問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成終生學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高獨(dú)立思考的能力，尤其有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.而基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重視學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的體驗(yàn)過(guò)程，關(guān)注他們?cè)趯W(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的情感態(tài)度價(jià)值觀，尊重學(xué)生的個(gè)性，這些教育理念也與新時(shí)代對(duì)人才的要求不謀而合.