侯木舟， 陳英皞

(中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 湖南 長沙 410083)

0 引 言

圖像分割技術(shù)在機器人定位、 導(dǎo)航、 圖像壓縮以及目標(biāo)檢測等領(lǐng)域具有非常重要的意義[1-3]. 基于活動輪廓模型的改進的圖像分割算法在算法中引入邊界信息， 使算法形式多樣， 結(jié)構(gòu)靈活. 在活動輪廓模型的基礎(chǔ)上發(fā)展得到基于水平集方法的圖像分割方法， 將低維曲線嵌入高一維空間中， 并將曲線嵌入的位置作為零水平集的位置， 用連續(xù)曲線表示目標(biāo)物體的邊緣， 根據(jù)閉合曲線演化理論得到曲線的演化方程， 通過求解方程的能量范函最小值驅(qū)動曲線演化.在圖像分割時， 最終零水平集截面的位置就是圖像分割的邊緣.

傳統(tǒng)的邊緣檢測方法先檢測圖像中的邊緣點， 接著將邊緣點連接成閉合曲線， 構(gòu)成圖像的分隔區(qū)域， 常用邊緣檢測算子來檢查圖像中灰度、 顏色或紋理中不連續(xù)的部分， 常用的邊緣檢測算子有非微分算子如Canny算子， 一階微分算子如Sobel算子， Robot算子、 Prewitt算子及二階微分算子Laplacian算子、 Log算子等[4-6]. 但是幾種邊緣檢測算子運算速度慢， 精度較低且輪廓過于粗糙.1987年Kass等人提出了活動輪廓方法[7-8]， 利用圖像自身幾何特征和圖像數(shù)據(jù)的共同驅(qū)動以最小化能量函數(shù)的形式向邊界運動. 但這個模型是基于能量泛函的優(yōu)化問題， 容易陷入局部極小值[9]， 對于初始輪廓的選擇過于依賴. C-V模型是基于圖像中的區(qū)域分割的水平集模型[10]， Chan-Vese模型利用能量泛函最小值驅(qū)動曲線演化求解圖像分割的結(jié)果. 但C-V模型需要不斷初始化， 使計算量大大提高， 演化速率較慢[11-12].

在圖像分割中， 當(dāng)圖像像素較小或者物體邊界較為模糊時， 傳統(tǒng)的水平集方法難以快速且準(zhǔn)確地分割出圖像中目標(biāo)物體的輪廓， 本文通過重新定義δε(x)和Hε(x)函數(shù)， 改進了距離正則化水平集方法， 提高了圖像分割的精度與速度.

1 改進的距離正則化水平集方法

設(shè)由y=f(x)表示平面上的曲線， 或隱函數(shù)形式y(tǒng)-f(x)=0， 表示x與y的對應(yīng)關(guān)系

φ(x,y)=y-f(x)=0.

(1)

給定的一個初始封閉曲線C， 這條曲線可以沿著其法線方向向內(nèi)或向外演化， 加入時間變量t后形成隨時間變化的曲線簇C(t)， 我們將曲線簇C(t)看作高維空間上的一個曲面φ的零水平集合{φ=0,t},其中水平集是水平面上函數(shù)φ(x,y,t)值相同的點的集合， 零水平集就是所有函數(shù)φ(x,y,t)=0的點的集合，φ(x,y,t)是隨時間變化的水平集函數(shù).

對給定的水平集函數(shù)φ(C,t)， 則φ(C(t),t)=0是t時刻曲線C(t)的零水平集， 對φ(C(t),t)=0關(guān)于時間t求偏導(dǎo)數(shù)有

(2)

由微分幾何中平面曲線的性質(zhì)可知， 初始輪廓曲線的單位法向量N滿足

(3)

曲線的演化方程為

(4)

式中：F是法向速度函數(shù).

將式(3)， 式(4)代入式(2)中化簡得到水平集基本演化方程

(5)

水平集方法的本質(zhì)是求解關(guān)于時間變量t的一階非線性偏微分方程式(5)， 這個演化方程屬于哈密頓-雅可比方程， 可按照對時間分量Δt與空間變量分離求解的方法進行數(shù)值計算.

在水平集演化前， 先將水平集方程初始化為符號距離函數(shù).在t=0時刻的水平集函數(shù)

φ(x,y,t=0)=sgn(x,y,C(t=0))×

dist(x,y,C(t=0)),

(6)

式中： sgn(x,y,C)是符號函數(shù)， 當(dāng)點(x,y)在曲線C外部時， sgn(x,y,C)=1; 當(dāng)點(x,y)在曲線C內(nèi)部時， sgn(x,y,C)=-1. dist(x,y,C)是點(x,y)到曲線C的最近距離. 在建立符號距離函數(shù)的過程中分為兩個步驟： 首先確定計算時點(x,y)在演化曲線的外部還是內(nèi)部； 接著計算點到曲線C的最短距離.在曲線演化中保持|φ|=1， 以保證在數(shù)值求解中的離散網(wǎng)格大小為1， 使模型在數(shù)值計算中保持較高精度.

在曲線基于水平集方法演化過程中， 由于水平集方程的演化不是規(guī)則化的， 隨著演化的進行會產(chǎn)生數(shù)值誤差， 進而破壞了水平集演化的穩(wěn)定性.為使得曲線在演化過程中的穩(wěn)定性， 需定時將零水平集初始化為符號距離函數(shù).常用的標(biāo)準(zhǔn)算法是求解以下哈密頓-雅可比演化方程直到一個穩(wěn)定狀態(tài)

(7)

零水平集的定時重新初始化步驟雖然保證了曲線在演化過程中的準(zhǔn)確性， 但大大增加了計算量， 降低了模型的運算效率. Li等人提出了距離正則化水平集模型(DRLSE)[12]. 在這個模型中在基于邊緣的水平集能量函數(shù)中增加了一項距離規(guī)則項作為懲罰項， 使得水平集函數(shù)能夠自我約束地作為符號距離函數(shù)， 并構(gòu)造了距離正則化項， 與輪廓的外部能量一起驅(qū)動初始輪廓曲線向?qū)嶋H物體輪廓邊緣演化[13]. 距離正則化能量泛函可以定義為

E(φ)=μRp(φ)+Eext(φ),

(8)

(9)

(10)

由于文獻[8]將δ∈與Hε(x)定義為分段函數(shù)， 降低了模型的運算速度， 本文將δ∈與Hε(x)定義為連續(xù)函數(shù)的形式

(11)

(12)

模型通過最小化能量函數(shù)E(φ)=μRp(φ)+Eext(φ)求解圖像分割的邊界， 為保持模型求解的穩(wěn)定性， 需要合理地選取Rp(φ)的能量密度函度函數(shù)p(s)， 使水平集函數(shù)φ保持符號距離函數(shù)的性質(zhì)， 即|φ|=1.

記s=|那么

(13)

(14)

式中： div是散度.

接著通過尋找如下梯度下降流方程的穩(wěn)定解使能量函數(shù)E(φ)最小化.

(15)

其中， 負號表示水平集函數(shù)φ(x,y,t)的方向與距離正則化能量泛函E(φ)的偏導(dǎo)數(shù)方向相反， 是能量函數(shù)E(φ)的最陡梯度下降流.

對式(8)計算偏導(dǎo)數(shù)并結(jié)合式(13)～(15)有

(16)

式(16)即為距離正則化演化方程.

結(jié)合圖像輪廓的外部能量泛函的定義， 距離正則化演化方程式(16)可寫為

(17)

2 模擬實驗

選取如下1 024×680的灰度圖像作為測試圖像， 如圖 1 所示.

圖 1 測試圖像Fig.1 Test image

首先使用傳統(tǒng)的邊緣檢測算法利用非微分算子Canny算子和一階微分算子Sobel算子來檢測圖像的邊緣輪廓， 邊緣檢測算子與邊緣檢測圖像如表 1 和圖 2 所示.

表 1 邊緣檢測算子及其邊緣檢測圖像Tab.1 Edge detection operator and its edge detection image

圖 2 使用兩種不同的邊緣檢測算子檢測的零件輪廓Fig.2 Part contours detected by two different edge detection operators

通過實驗發(fā)現(xiàn)， 使用幾種邊緣檢測算子尋找圖像中目標(biāo)物體邊緣運算速度慢， 精度較低且輪廓過于粗糙， 不能很好地將目標(biāo)物體的邊緣從圖像中分離出來.

首先使用傳統(tǒng)方法定義的δ∈與Hε(x)函數(shù)尋找目標(biāo)物體的邊緣輪廓. 選取圖像中心為圓心， 圖像寬度的2/3為半徑的圓作為初始輪廓曲線進行演化.

圖 3 使用傳統(tǒng)方法定義的δ∈與Hε(x)函數(shù)時不同演化次數(shù)得到的輪廓曲線Fig.3 Contour curve obtained with different evolution times using the δ∈ and Hε(x) functions defined by the traditional method

圖 4 使用傳統(tǒng)方法定義的δ∈與Hε(x)函數(shù)時演化200次得到的輪廓曲線Fig.4 Contour curve obtained by evolving 200 times using the δ∈ and Hε(x) functions defined by the traditional method

由圖 3 發(fā)現(xiàn)， 使用傳統(tǒng)方法定義的δ∈與Hε(x)函數(shù)定義的水平集方程運算速度較慢， 在80次演化后無法得到目標(biāo)圖像的輪廓. 如圖 4 所示， 讓曲線繼續(xù)演化， 經(jīng)過200次演化， 該水平集模型依舊無法完全分割出目標(biāo)圖像的邊緣， 耗時超過26s， 速度過慢無法滿足實際應(yīng)用中的使用需求.

為加快輪廓曲線的演化速度， 我們將目標(biāo)圖像壓縮至原來的1/16， 及將圖像的長和寬均縮小為原始圖像的1/4， 得到256×170的灰度圖像， 將壓縮后的圖像作為測試圖像重新尋找目標(biāo)物體的邊緣輪廓曲線.

圖 5 使用壓縮后圖像不同演化次數(shù)得到的輪廓曲線Fig.5 Contour curve obtained using different evolution times of compressed images

如圖 5 所示， 即使使用了壓縮后的圖像， 在80次演化后依然無法得到目標(biāo)物體的輪廓曲線， 但對比使用壓縮前的圖像， 輪廓曲線的演化速度大大提高. 如圖 6 所示， 讓水平集模型繼續(xù)演化， 在200次演化后， 曲線內(nèi)的面積變化小于2%， 可以認為曲線已經(jīng)演化至目標(biāo)物體輪廓上. 但由于使用的是壓縮過的圖像， 圖像精度大大降低， 當(dāng)對目標(biāo)物體的輪廓精度要求較高時， 傳統(tǒng)的距離正則化水平集方法不能快速而準(zhǔn)確地尋找到目標(biāo)物體的邊緣輪廓. 本文對傳統(tǒng)水平集方法中的δ∈與Hε(x)函數(shù)進行改進， 使其能更快速且準(zhǔn)確地得到目標(biāo)物體的邊緣輪廓.

繼續(xù)使用圖 1 中的1 024×680的灰度圖像作為測試圖像.

圖 6 使用壓縮后圖像演化200次得到的輪廓曲線Fig.6 Contour curve obtained by using image compression 200 times after compression

圖 7 使用本文改進的δ∈與Hε(x)函數(shù)后不同演化次數(shù)得到的輪廓曲線Fig.7 Contour curve obtained with different evolution times after using the improved δ∈ and Hε(x) functions in this paper

如圖 7 所示， 使用本文改進的δ∈與Hε(x)函數(shù)后， 曲線的演化速度大大提高， 且得到的輪廓相較于使用邊緣檢測算子得到的輪廓更加精確， 輪廓邊緣更光滑. 初始輪廓曲線演化了80次后曲線內(nèi)的面積變化小于2%， 得到了目標(biāo)物體的輪廓曲線如圖 8所示.

圖 8 使用本文改進的δ∈與Hε(x)函數(shù)后得到的目標(biāo)物體的輪廓曲線Fig.8 The contour of the target object obtained using the improved δ∈ and Hε(x) functions in this paper

即使我們對目標(biāo)物體的輪廓精度要求較低時， 本文的方法相較于文獻運算速度更快， 在使用壓縮后的圖像尋找目標(biāo)物體邊緣時， 本文的方法僅使用7次演化就得到了目標(biāo)物體的邊緣， 如圖 9 所示. 不同方法的曲線深化時間對比如表 2 所示.

圖 9 使用本文改進的δ∈與Hε(x)函數(shù)和壓縮后圖像得到的目標(biāo)物體的輪廓曲線Fig.9 Contour curve of the target object obtained using the improved δ∈ and Hε(x) functions and the compressed image

表 2 不同方法的曲線演化時間對比

3 結(jié) 論

對圖像中目標(biāo)物體輪廓的提取， 可以提高工業(yè)機器人的智能化水平， 可以讓其自主地對目標(biāo)物體進行定位與識別. 本文通過重新定義距離正則化水平集方法的函數(shù)， 提高了輪廓曲線演化的速率. 實驗表明， 通過對傳統(tǒng)的距離正則化水平集方法進行改進， 將尋找目標(biāo)物體的輪廓時間縮短至原來的1/3， 大大提高了模型的運算速度， 擴大了模型的適用領(lǐng)域.