于天彪，卞希帥，張 濤，安久賀，趙 繼

(1.東北大學(xué) a.機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院；b.遼寧省高端裝備智能設(shè)計(jì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110819;2.沈陽新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司，沈陽 110819)

0 引言

工業(yè)的發(fā)展離不開高端精密加工設(shè)備，隨著制造業(yè)的高速發(fā)展，對(duì)加工機(jī)床的要求也越來越高。在目前高檔數(shù)控機(jī)床高精度的基礎(chǔ)上，通過硬件提高機(jī)床的加工精度會(huì)大量增加制造成本，機(jī)床的精度和制造成本呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。在對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)的各誤差源進(jìn)行分析測(cè)量之后，依據(jù)建立的有效的綜合空間誤差數(shù)學(xué)模型，在加工運(yùn)動(dòng)的過程之中對(duì)各誤差源進(jìn)行補(bǔ)償修正，從而達(dá)到所要求的精度，補(bǔ)償數(shù)控機(jī)床刀具和工件間的實(shí)際位移可以經(jīng)濟(jì)，有效地提高數(shù)控加工精度[1-4]。

在多軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)部件多軸聯(lián)動(dòng)的情況下，各運(yùn)動(dòng)部件的幾何誤差在實(shí)際狀態(tài)下耦合會(huì)產(chǎn)生刀具在空間中相對(duì)于理想狀態(tài)下的位置和姿態(tài)上的誤差，機(jī)床加工刀具的位置誤差和姿態(tài)誤差可以通過機(jī)床誤差模型計(jì)算得出。國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過對(duì)機(jī)床幾何誤差進(jìn)行廣泛地研究，建立了變分模型，D-H模型，多體系統(tǒng)模型等多種誤差理論模型。其中多體系統(tǒng)理論[6-10]在研究多體系統(tǒng)問題時(shí)具有很強(qiáng)的通用性，也有利于計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，對(duì)多個(gè)剛體聯(lián)結(jié)成的運(yùn)動(dòng)體進(jìn)行抽象和概括，能夠有效分析其間復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。文獻(xiàn)[6]中通過多體系統(tǒng)理論建立了工作臺(tái)回轉(zhuǎn)型的五軸數(shù)控機(jī)床(工件被固定在兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸上)的幾何誤差模型，并利用切割實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行有效性的驗(yàn)證。文獻(xiàn)[8]針對(duì)以氣浮平臺(tái)為運(yùn)動(dòng)部件的四軸拋光系統(tǒng)，利用多體系統(tǒng)理論，建立了同時(shí)考慮位置誤差和方向誤差的綜合誤差模型并通過實(shí)驗(yàn)揭示了氣浮平臺(tái)產(chǎn)生幾何誤差的原因，為拋光平臺(tái)的幾何誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。

為了解決實(shí)驗(yàn)室搭建的5軸超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)(工件和工具頭分別被固定在不同方向的旋轉(zhuǎn)軸上)上拋光頭在空間中位置誤差和姿態(tài)誤差問題，本文基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行理想運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解建模，分析實(shí)際運(yùn)動(dòng)中的各運(yùn)動(dòng)誤差，并對(duì)其建立綜合誤差模型，分析主要誤差源，并提出一種誤差補(bǔ)償?shù)姆椒?，提高加工高精度光學(xué)復(fù)雜曲面[5]的精度和效率。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解模型

1.1 超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)分析

超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)三維模型建模如圖1所示，具有x軸，y軸及z軸三項(xiàng)平動(dòng)和A和C兩項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)三維模型

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)具有兩個(gè)開環(huán)的運(yùn)動(dòng)鏈：工件運(yùn)動(dòng)鏈和刀具運(yùn)動(dòng)鏈。刀具運(yùn)動(dòng)鏈由機(jī)床床身，Z軸，A軸和刀具依次組成，刀具固定安裝在A軸上；工件運(yùn)動(dòng)鏈由機(jī)床床身開始，x軸，y軸，C軸和工件依次組成，工件安裝在C軸工作臺(tái)上；整體運(yùn)動(dòng)鏈由工件，C軸，y軸，x軸，機(jī)床床身，z軸，A軸和刀具依次組成，如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈分析

1.2 基于多體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型的建立

根據(jù)多體系統(tǒng)理論，將拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)抽象成一個(gè)多體系統(tǒng)，相鄰典型體間的運(yùn)動(dòng)可以通過齊次變換矩陣來表示，在超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上對(duì)各個(gè)體進(jìn)行標(biāo)注，并建立相應(yīng)的右手笛卡爾坐標(biāo)系，將大地作為B0體，機(jī)床床身作為B1體，然后將這些體沿刀具運(yùn)動(dòng)鏈和工件運(yùn)動(dòng)鏈依次標(biāo)注，實(shí)驗(yàn)拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)示意圖和拓?fù)鋱D如圖3所示。

圖3 超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的拓?fù)鋱D

在超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的各個(gè)體上建立右手笛卡爾坐標(biāo)系，在機(jī)床床身上建立參考坐標(biāo)系O1x1y1z1，在z向平移軸上建立O2x2y2z2，在A向轉(zhuǎn)動(dòng)軸上建立O3x3y3z3，依次在各個(gè)體上建立坐標(biāo)系。

1.2.1 理想狀態(tài)下各相鄰典型體間相對(duì)靜止時(shí)的齊次變換矩陣

根據(jù)坐標(biāo)系的建立位置，典型體3和4，7和8之間的坐標(biāo)系具有相對(duì)靜止的位姿變換(各相鄰典型體的位姿變換均為平動(dòng))，典型體1和2，2和3，1和5，5和6，6和7之間的坐標(biāo)系重合。各相鄰典型體相對(duì)靜止時(shí)的齊次變換矩陣。

(1)

(2)

T12p=T23p=T15p=T56p=T67p=I4×4

(3)

式中，d1,d2,d3為實(shí)際機(jī)床結(jié)構(gòu)中典型體4的坐標(biāo)系相對(duì)于其低序體3坐標(biāo)系的偏置，d4,d5,d6實(shí)際機(jī)床結(jié)構(gòu)中典型體8的坐標(biāo)系相對(duì)于其低序體7坐標(biāo)系的偏置。

1.2.2 理想狀態(tài)下各相鄰典型體間運(yùn)動(dòng)的齊次變換矩

陣

(1)z向溜板相對(duì)于床身的沿z軸平動(dòng)z的齊次變換矩陣為:

(4)

(2)A向轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于床身的沿x軸轉(zhuǎn)動(dòng)A的齊次變換矩陣為:

(5)

(3)x向溜板沿x軸平動(dòng)z的齊次變換矩陣為:

(6)

(4)y向溜板沿y軸平動(dòng)y的齊次變換矩陣為:

(7)

(5)C向轉(zhuǎn)臺(tái)沿z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的齊次變換矩陣為:

(8)

(6) 主軸和z向溜板之間，工件C向轉(zhuǎn)臺(tái)之間的齊次變換矩陣為:

T34s=T78s=I4×4

(9)

1.2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型

工件坐標(biāo)系到刀具坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)床坐標(biāo)系的理想齊次變換為:

IT14=IT12·IT23·IT34

(10)

IT18=IT15·IT56·IT67·IT78

(11)

刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的理想齊次變換矩陣為:

(12)

(13)

在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中:

超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的正解模型為:

(14)

1.3 基于多體系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型的建立

根據(jù)已經(jīng)建立的正解運(yùn)動(dòng)模型，5軸數(shù)控實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的刀具姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可以表示為:

(15)

由式(16)可以解出轉(zhuǎn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解A,C

(16)

5軸數(shù)控實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的刀具位置的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可以表示為:

(17)

再根據(jù)式(16)和式(17)，能夠解出平動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解x,y,z:

(18)

2 超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)綜合誤差計(jì)算

在實(shí)際的加工過程中，各運(yùn)動(dòng)部件都會(huì)產(chǎn)生和傳遞誤差，設(shè)定的刀具的軌跡和姿態(tài)會(huì)產(chǎn)生一定的偏差，因此，在考慮典型體在實(shí)際情況下的位姿時(shí)，需要分析理想狀態(tài)下相鄰典型體間的相對(duì)靜止時(shí)存在的垂直度誤差源以及實(shí)際情況下相對(duì)運(yùn)動(dòng)中會(huì)影響實(shí)際刀具位姿的各運(yùn)動(dòng)誤差源。

2.1 超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)存在的誤差源分析

如圖1所示，當(dāng)工件在工作臺(tái)上繞C向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生三項(xiàng)移動(dòng)誤差和三項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差[11]，分別為：

當(dāng)工件在工作臺(tái)上沿y軸平動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生三項(xiàng)移動(dòng)誤差和三項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，分別為：

同理，當(dāng)工件在工作臺(tái)上沿x軸平動(dòng)時(shí)，會(huì)存在三項(xiàng)移動(dòng)誤差和三項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差；當(dāng)?shù)毒哐谹向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，存在三項(xiàng)移動(dòng)誤差和三項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差；當(dāng)?shù)毒哐貁軸平動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生三項(xiàng)移動(dòng)誤差和三項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。

另外，相對(duì)靜止時(shí)機(jī)床整體還存在3項(xiàng)垂直度誤差，分別為Z軸相對(duì)于X軸和Y軸的垂直度誤差ηyz、ηxz，Y軸相對(duì)于X軸的垂直度誤差ηxy。為使建模簡(jiǎn)單，不考慮機(jī)床幾何誤差中的刀具和工件的安裝誤差以及機(jī)床的熱變形誤差。

對(duì)各運(yùn)動(dòng)部件的誤差進(jìn)行分析，存在的幾何誤差如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的幾何誤差項(xiàng)

2.2 實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中，典型體Bk的姿態(tài)在由其低序體Bj通過上圖所示的運(yùn)動(dòng)變換得到：首先通過給低序體Bj一個(gè)理想相對(duì)靜止的矢量Tjkp，得到一個(gè)理想初始位姿，在加上一個(gè)相對(duì)靜止誤差矢量ΔTjkp，得到實(shí)際初始位姿，其次，依次融入一個(gè)理想運(yùn)動(dòng)矢量Tjks和一個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)誤差矢量ΔTjks，最終得到典型體Bk的實(shí)際位姿，如圖4所示。因此，相鄰典型體Bk和Bj之間位置的實(shí)際運(yùn)動(dòng)齊次變換矩陣可以表達(dá)為：

Tjk=Tjkp·ΔTjkp·Tjks·ΔTjks

(19)

圖4 相鄰幾何體實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

2.3 實(shí)際狀態(tài)下各相鄰典型體間的誤差齊次變換矩陣

2.3.1 相對(duì)靜止誤差齊次坐標(biāo)變換

(1)z向溜板相對(duì)于床身的靜止誤差齊次坐標(biāo)變換:

(20)

(2)x向溜板相對(duì)于床身的靜止誤差齊次坐標(biāo)變換:

(21)

(3)y向溜板相對(duì)于x向溜板的靜止誤差齊次坐標(biāo)變換:

(22)

(4) 其他各典型體間并無相對(duì)誤差，其靜止誤差齊次坐標(biāo)變換為I4×4。

2.3.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的誤差齊次變換矩陣

(1)z向溜板相對(duì)于床身的沿z軸平動(dòng)z的誤差齊次變換矩陣為:

(23)

(2)A向轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于床身的沿y軸轉(zhuǎn)動(dòng)A的誤差齊次變換矩陣為:

(24)

(3)x向溜板沿x軸平動(dòng)x的誤差齊次變換矩陣為:

(25)

(4)y向溜板沿y軸平動(dòng)y的誤差齊次變換矩陣為:

(26)

(5)C向轉(zhuǎn)臺(tái)沿Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)C的誤差齊次變換矩陣為:

(27)

(6)主軸和z向溜板之間，工件和轉(zhuǎn)臺(tái)之間并無相對(duì)誤差:

ΔT34s=ΔT78s=I4×4

(28)

2.4 基于工件坐標(biāo)系的機(jī)床綜合誤差建模

在機(jī)床工作加工過程中，刀具坐標(biāo)系O4x4y4z4相對(duì)于機(jī)床坐標(biāo)系O1x1y1z1中的齊次變換矩陣為:

T14=T12T23T34

(29)

機(jī)床坐標(biāo)系O1x1y1z1相對(duì)于刀具坐標(biāo)系O8x8y8z8的齊次變換矩陣為：

(30)

因此刀具坐標(biāo)系O4x4y4z4相對(duì)于工件坐標(biāo)系O8x8y8z8中的齊次變換矩陣為：

T84=T87T76T65T51T12T23T34

(31)

在實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況下，刀具刀尖相對(duì)于工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)為:

(32)

則工件坐標(biāo)系下的綜合誤差模型即為實(shí)際加工過程中刀具的軌跡和姿態(tài)與理想狀態(tài)下刀具軌跡和姿態(tài)的偏差，即:

(33)

其中，epx為位置綜合誤差x向分量，epy為位置綜合誤差y向分量，epz為位置綜合誤差z向分量，evx為姿態(tài)綜合誤差x向分量，evy為姿態(tài)綜合誤差y向分量，evz為姿態(tài)綜合誤差z向分量。

3 綜合誤差的補(bǔ)償

在獲得各軸位置和姿態(tài)的綜合誤差值之后，采用開環(huán)前饋補(bǔ)償控制方法，對(duì)五軸拋光機(jī)床進(jìn)行綜合誤差補(bǔ)償。在5軸數(shù)控機(jī)床中，對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)碾y點(diǎn)在于兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸。平動(dòng)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)軸同時(shí)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的過程中，不僅會(huì)產(chǎn)生角度的變換，也會(huì)帶來位置的改變[12]，即補(bǔ)償轉(zhuǎn)動(dòng)軸的誤差會(huì)在平動(dòng)軸上產(chǎn)生新的誤差，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和平移運(yùn)動(dòng)之間存在著耦合，因此不能僅僅簡(jiǎn)單地對(duì)各軸單獨(dú)補(bǔ)償，要綜合考慮轉(zhuǎn)動(dòng)軸所帶來的刀具在位置上的變化。

在刀具的運(yùn)動(dòng)過程中，平動(dòng)軸的位移不影響刀具的方向，但刀具的姿態(tài)變化會(huì)引起刀尖位置的改變，由此，提出一種解耦的補(bǔ)償方法，即先補(bǔ)償?shù)毒咦藨B(tài)上的誤差，再對(duì)位置誤差進(jìn)行補(bǔ)償，刀具姿和位置補(bǔ)償過程示意圖如圖5所示，位姿1是實(shí)際刀具所在的位置和姿態(tài)，位姿3是理想的位置和姿態(tài)，當(dāng)?shù)毒咛幱谖蛔?時(shí)，首先通過轉(zhuǎn)動(dòng)軸對(duì)刀具轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，進(jìn)行姿態(tài)上的調(diào)整，刀具運(yùn)動(dòng)到和理想刀具姿態(tài)相同的位姿2，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)軸和平動(dòng)軸存在著運(yùn)動(dòng)上的耦合，需要補(bǔ)償在旋轉(zhuǎn)一角度后位姿2和理想位姿的新的位置誤差，而不僅補(bǔ)償原有位姿1和理想位姿的位置誤差，從而使刀具運(yùn)動(dòng)到位姿3，即理想的位置和姿態(tài)。

圖5 刀具姿和位置補(bǔ)償過程示意圖

具體的補(bǔ)償方法流程圖如圖6所示，首先進(jìn)行姿態(tài)上的誤差補(bǔ)償，由輸入的刀具命令x、y、z、A、C正解計(jì)算出刀具在工件坐標(biāo)系下的姿態(tài)Oi，Oj，Ok和刀具運(yùn)動(dòng)的綜合姿態(tài)誤差evx、evy、evz，補(bǔ)償后得到刀具的實(shí)際姿態(tài)sOi、sOj、sOk，經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算出實(shí)際刀具轉(zhuǎn)動(dòng)量As、Cs。其次，對(duì)刀具進(jìn)行位置上的誤差補(bǔ)償，結(jié)合計(jì)算出的實(shí)際刀具轉(zhuǎn)動(dòng)量As、Cs和輸入的理想刀具命令x、y、z計(jì)算出刀具在工件坐標(biāo)系下的理想刀具位置Px、Py、Pz和綜合位置誤差epx、epy、epz，補(bǔ)償后得到刀具的實(shí)際位置sPx、sPy、sPz，經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算出實(shí)際刀具的平動(dòng)量xs、ys、zs。最后，根據(jù)由綜合誤差計(jì)算公式計(jì)算補(bǔ)償后的綜合運(yùn)動(dòng)誤差，判斷是否在所規(guī)定的誤差允許范圍內(nèi)，符合條件輸出補(bǔ)償后的刀具命令。

圖6 補(bǔ)償方法流程圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

因本文所述超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)尚未搭建完成，采用文獻(xiàn)[9]中所測(cè)量的各軸誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析和補(bǔ)償效果驗(yàn)證。

根據(jù)上述誤差測(cè)量結(jié)果和已建立的綜合誤差模型，對(duì)拋光機(jī)床的x，y軸聯(lián)動(dòng)及各誤差元耦合的情況下進(jìn)行綜合誤差的變化規(guī)律研究，包括綜合誤差在x軸，y軸，z軸上的移動(dòng)誤差和轉(zhuǎn)角誤差。通過Matlab軟件生成實(shí)驗(yàn)平臺(tái)x軸和y軸聯(lián)動(dòng)和各誤差元耦合情況下綜合誤差在x軸，y軸，z軸軸向上的移動(dòng)誤差和轉(zhuǎn)角誤差分量的變化規(guī)律，如圖7所示。

ex和Δεx在y軸平動(dòng)過程中的變化較小，在x軸平動(dòng)過程中變化幅度較大，且成增大趨勢(shì)；ey和Δεy在x軸平動(dòng)過程中的變化較小，在y軸平動(dòng)過程中變化幅度較大，且成增大趨勢(shì)；ez在x和y軸平動(dòng)過程中的變化起伏。經(jīng)過上述補(bǔ)償流程之后，綜合誤差如圖8所示。

(a)綜合誤差x向 移動(dòng)分量 (b)誤差分量y向 移動(dòng)綜合 (c)誤差分量z向 移動(dòng)綜合

(d)綜合誤差x向 轉(zhuǎn)動(dòng)分量 (e)誤差分量y向 轉(zhuǎn)動(dòng)綜合 (f)誤差分量z向 轉(zhuǎn)動(dòng)綜合 圖7 綜合誤差分析

(a)綜合誤差x向 移動(dòng)分量 (b)誤差分量y向 移動(dòng)綜合 (c)誤差分量z向 移動(dòng)綜合

(d)綜合誤差x向 轉(zhuǎn)動(dòng)分量 (e)誤差分量y向 轉(zhuǎn)動(dòng)綜合 (f)誤差分量z向 轉(zhuǎn)動(dòng)綜合 圖8 補(bǔ)償后的綜合誤差分

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，經(jīng)過補(bǔ)償之后，綜合誤差ex的誤差范圍由-1.73～18.25μm降低到-6.67～-6.73μm，綜合誤差ey的誤差范圍由-2.17～29.47μm降低到0.365～0.418μm，綜合誤差ez的誤差范圍由-6.65～3.71μm降低到0.399～0.408μm，線性誤差的誤差補(bǔ)償效果明顯，轉(zhuǎn)動(dòng)誤差的差值均為納米級(jí)誤差，相對(duì)于線性直線度誤差可忽略。

5 結(jié)束語

采用多體系統(tǒng)理論建立了五軸拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和綜合誤差模型；

提出了一種先補(bǔ)償?shù)毒咦藨B(tài)上的誤差，再對(duì)位置誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)慕怦钛a(bǔ)償方法；

對(duì)超聲拋光實(shí)驗(yàn)平臺(tái)x軸和y軸聯(lián)動(dòng)情況下的綜合誤差進(jìn)行建模分析和補(bǔ)償效果進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，線性誤差降低了60%以上，補(bǔ)償效果顯著。