◎程應軍

在解小學數(shù)學教育中的一次多項式方程時，教師普遍采用“從方程的一邊移到另一邊的，‘移動項’”的思想：在加法方程中若要使相加相等，要將相等的量相加到方程的兩邊，而對于乘法，將兩邊乘以相同的值以保持相等——利用天平輔助解決方程問題顯得非常有用。所以，將解方程作為一種解決平衡問題的教學策略并與計算機技術相結合，用認知計算工具來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的數(shù)學練習中的平衡是非常必要的。

一、認知計算工具的工作原理

認知計算工具遵循建構主義理論的原則，通過物理的、邏輯的、數(shù)學的、和社會的經(jīng)驗來幫助建構知識。認知計算工具作為一種教學資源的工具受傳統(tǒng)天平的啟發(fā)，是一種虛擬的天平。認知計算工具中兩個板塊之間的平衡將代表這個方程，當學生在虛擬天平上放置一個“重量”或從虛擬天平中移除一個“重量”時，其結果將是對虛擬對象的物理操作。當學生看到天平不平衡時，他們重新建立平衡的補償動作具有比具體意義更多的理論意義。這更多的是一個假設的行動或對可能性的陳述，而不是一個具體和真實的行動，這是典型的構建數(shù)學邏輯的數(shù)學思維過程。

社會經(jīng)驗是由具有平衡或不平衡觀念的文化中介作用的計算工具、作為知識促進者的教師干預和通過學生之間的交流或對話構成的。社會互動是人的本性，學生之間的對話即使在單獨使用工具時也會發(fā)生。認知計算工具可以預先建立一個問題，然后清楚地提供解決問題所需的任務（通過小學生對電腦的三維天平模型的操縱），幫助小學生完成有目的的操作過程（通過對結果的部分可視化）。當學生參與所有四個水平（問題水平、任務水平、操作水平和行動水平）相關的活動時，更有利于他們完成學習任務。還考慮到虛擬天平的每一種狀態(tài)都是學生不同操作的結果。因此，虛擬天平的每一種情況都被理解為先前在天平的兩塊板上引入的“權重”或等式和不等號的相加和相減的結果。

方程的解是平衡狀態(tài)下的虛擬天平，其中一個板的重量對應于變量‘x’，另一個板的‘重量’對應于一個數(shù)值常數(shù)。平衡狀態(tài)指示最初給予學生的方程式變量的值。因此，在解方程的過程中，學生的行為將不再是物理的，將不再依賴于虛擬的平衡。這些行為，可以解釋為在虛擬平衡的幫助下建立的假設——演繹思維的結果。

二、認知計算工具的優(yōu)勢

1.通過提供與問題的直接接觸和允許與對象的交互，計算工具改變了學生的行為 學生們從觀察的立場轉變?yōu)閰⑴c的立場。直接參與這項活動，通過身體活動，幫助學生在學習中發(fā)揮積極和互動的作用。交互學習幫助學生從被動的知識接受主體轉變?yōu)橹鲃訉W習的主體，并對自身的發(fā)展負責。而傳統(tǒng)的教學活動因為需要在完成活動時保持一貫的準確，只有教師與教授活動有直接聯(lián)系，老師必須小心地操縱天平上的物體，學生觀察平衡和不平衡的天平，把天平變化的過程和結果記錄在他們的筆記本上。因為小學生沒有直接參與實驗，而且老師要求小學生注意并保持沉默，這些都不利于學生之間產生有益實現(xiàn)教學目的的相關對話。認知計算工具允許的互動和學生在一臺計算機上成對工作，使學生在教學活動期間走到一起，并在完成活動的團隊精神和雙重責任的鼓勵下，為他們之間的學習交流創(chuàng)造了一個環(huán)境。學生輪流求解方程：一個學生從平衡的右側解決不平衡問題，另一個學生從左側解決不平衡問題。學生之間的差異并不妨礙活動的完成，反而能讓學生以積極的方式接受分歧——學生們開始通過傾聽建議或向搭檔提出問題來進行交流。合作工作喚起了小學生對其他學生學習的關注。能力較強的學生在解方程時，甚至在操作計算工具時，對能力較差的學生起到直接指導的作用。面對錯誤，經(jīng)常會聽到一個學生問另一個學生：“你從天平左邊移去了‘x’，現(xiàn)在天平不平衡了”，“點擊這里”，“在視覺面板中的方程式顯示，我們從右側刪除了‘重量’”，“我們現(xiàn)在該怎么辦？”，“天平上的燈是綠色的，我們能繼續(xù)嗎？”，“你想讓我再解釋一遍嗎？”。對學習有意義和積極影響的活動包括與他人交談和教別人。在這種情況下，學生的學習是積極的。大多數(shù)人能學會70%的與他人交談的東西，80%的在現(xiàn)實生活中使用和做的東西，90%的教給別人的東西。在用認知工具解方程組的過程中，很少有人質問老師，因為“‘教’是最好的‘學’”。

2.將實驗與操作、可視化和推理結合起來，使用計算工具來解決現(xiàn)實世界中的問題，可以交換意見和整合不同的觀點 認知的成長只來自于主體對客體的具體或抽象的行動。這與學生在紙上解決問題時所發(fā)生的情況不同。雖然學生可以在成對中討論寫在紙上的內容，但他們不能通過實驗來操縱和可視化。計算工具的視覺面板中的反饋在方程求解的每一步都顯示了部分結果，使學生能夠檢測錯誤并對后續(xù)操作進行回復等。這導致了不同的學生采用不同的路徑來求解一個方程。關于后續(xù)行動的決定在不同的成對之間是不同的。有些對從操作“權重”開始求解，而另一些對則從變量“x”開始，一些操作對象位于天平的左側，另一些則位于天平的右側。對于隨后的決定，學生之間并不總是有一致的意見。因此，通過交互學習，學生可以完善一次多項式方程的求解過程。

3.計算工具的操作過程為喚醒小學生的學習動機、互助合作的責任心和教學活動的協(xié)調性，提供直接的實驗 兩個使用同一臺計算機的學生促進了他們之間的接近，并喚醒了他們的溝通、談判、合作、交流、討論和互惠等品質。這些方面都體現(xiàn)在皮亞杰和維果茨基的建構主義理論中。這就讓教師在數(shù)學教育中擔當起促進者的角色。計算工具既能使教育現(xiàn)代化，又能激發(fā)學生的求知欲。利用教學資源構建知識涉及到學習過程中固有的概念。因此，使用認知計算工具來求第一次方程也會對這些問題產生影響。雖然傳統(tǒng)的使用天平的方程教學確實降低了學生在學習過程中僅僅是旁觀者的可能。但計算機的認知計算工具，可以使學生更積極的參與到教學過程中。

總結：認知計算工具與傳統(tǒng)的天平相比，計算工具沒有需要校準以表示平衡概念的機制，而且，學生的直接參與有助于他們接近問題、操縱物體和觀察其行動的效果，卻不影響平衡的準確性。這些因素保證了學生的參與，從而使學生能夠完成實際的數(shù)學練習?；顒拥闹苯油瓿杉ぐl(fā)了學生積極有效的參與，這種參與是動態(tài)的，揭示了每個學生的局限性和可能性。學生不再是觀察家，而是從聽者轉變?yōu)閷嶋H教育活動的參與者。熟悉的工具外觀和現(xiàn)實水平的練習允許身體上的互動，使學生更接近問題。成對使用這一工具可以促進學生之間的交流。由于認知計算工具使互動成為可能，它鼓勵一些學生使用邏輯數(shù)學過程解決最后的方程，而不必操縱平衡上的虛擬對象。直接參與活動，工具允許的互動，方程的教學順序和現(xiàn)實的外觀有助于學生的動機和對活動的參與。視覺面板中的實時反饋及其對學生動作的表示鼓勵了對所執(zhí)行的動作和求解方程所需的后續(xù)動作的重新選擇、討論和協(xié)商。學生們不再通過反復試驗來解方程組了。因此，教學變得更加動態(tài)。使用這一工具使學生在一種鼓勵對話與合作的環(huán)境中聚集一堂，并使他們認識到在規(guī)定的時間內完成活動的責任。實驗、操作、可視化和推理的結合喚醒了人們對他人學習的關注。通過學生間知識的互易性，改進了一次方程求解的過程，為一次方程的求解提供了一種新的思路和方法。