李艷 王涵

關(guān)鍵詞： 自行車機(jī)器人; 平衡控制; 復(fù)合控制; 不穩(wěn)定零動態(tài); 控制器; 魯棒性

中圖分類號： TN344?34; TP273 ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2019）02?0177?06

Balance control of bicycle robot based on compound control

LI Yan， WANG Han

（Shaanxi University of Science and Technology， Xian 710021， China）

Abstract： A compound control method is put forward to realize balance control of the bicycle robot. The bicycle is regarded as a multi?body system， and the system dynamics model is established according to the Lagrange equation. In allusion to the unstable zero?dynamics characteristic of the bicycle robot， the unstable subsystem of the system is used as the inner ring， and the quadratic performance index optimal controller is used for stabilization by means of compound control. In allusion to the disturbance and model uncertainty， the robust controller is designed for the external loop taking the output as feedback， which makes the whole system have strong robustness. The simulation results show that the proposed method can achieve balance control of the bicycle， make the system have the capability of suppressing interference， and ensure the robust stability of the system.

Keywords： bicycle robot; balance control; compound control; unstable zero?dynamics; controller; robustness

0 ?引 ?言

自行車機(jī)器人作為一種無人駕駛的雙輪智能交通工具，具有運(yùn)動靈活、能源利用率高、綠色環(huán)保等特點(diǎn)，使得其在安保巡邏、躲避交通擁堵等領(lǐng)域具有獨(dú)特的優(yōu)勢和應(yīng)用前景。由于其復(fù)雜的動力學(xué)特性，自行車機(jī)器人是檢驗(yàn)控制策略的理想實(shí)驗(yàn)平臺，因而其平衡控制問題引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1]。

倒立擺[2]和無人機(jī)[3]也都是較為復(fù)雜的平衡控制平臺。倒立擺可以通過在擺桿傾倒面內(nèi)施加恢復(fù)力矩實(shí)現(xiàn)平衡控制;無人機(jī)可以在傾斜面內(nèi)產(chǎn)生空氣動力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)平衡控制。相比于上述系統(tǒng)，自行車作為多剛體系統(tǒng)，重心較高，車體狹長，靠前輪擺動和地面的反作用力[4]來實(shí)現(xiàn)平衡。此外，自行車機(jī)器人的欠驅(qū)動[5]和耦合特性會引起非最小相位特性[6]，即不穩(wěn)定零動態(tài)，反映了系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)的發(fā)散，該特性對系統(tǒng)的魯棒性十分不利，這使得其平衡控制更加困難。

針對自行車的以上問題，在控制算法方面，自行車作為自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，更容易受到外界環(huán)境的干擾，加之其模型的不確定性，提高系統(tǒng)魯棒性是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。綜合國內(nèi)外文獻(xiàn)，現(xiàn)有的提高自行車平衡控制系統(tǒng)魯棒性的控制算法有執(zhí)行器容錯控制[7]、傾角擾動觀測器[8]、基于粒子群優(yōu)化的[H∞]回路算法[9]以及基于自適應(yīng)評價的神經(jīng)模糊算法[10]等。上述這些控制算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜并且難以實(shí)現(xiàn)，其中控制算法[7，9]借助了慣性輪，更增加了系統(tǒng)的復(fù)雜程度，并且現(xiàn)有的控制算法對于自行車機(jī)器人不穩(wěn)定零動態(tài)的研究也非常少，沒有考慮內(nèi)動態(tài)的發(fā)散會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[5]采用部分反饋線性化，將車架橫滾角作為內(nèi)部動態(tài)，保證了零動態(tài)的穩(wěn)定，但此方法需要系統(tǒng)具有精確的數(shù)學(xué)模型。因此，本文通過控制自行車車把的轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的平衡，將自行車機(jī)器人看作不穩(wěn)定零動態(tài)系統(tǒng)，所設(shè)計(jì)的控制器既要實(shí)現(xiàn)外部動態(tài)的漸近穩(wěn)定，又需保證不穩(wěn)定內(nèi)部動態(tài)的收斂[6]，宜采用復(fù)合控制[11]來提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。該復(fù)合控制系統(tǒng)中內(nèi)環(huán)采用二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制器鎮(zhèn)定不穩(wěn)定子系統(tǒng)，基于自行車機(jī)器人的未建模動態(tài)、參數(shù)變化和外部干擾等原因，外環(huán)采用魯棒控制鎮(zhèn)定整個系統(tǒng)，提高系統(tǒng)的抗干擾能力，使整個系統(tǒng)具有魯棒性，設(shè)計(jì)的物理概念清晰，便于實(shí)現(xiàn)。

1 ?自行車機(jī)器人動力學(xué)模型

1.1 ?模型建立

自行車機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

自行車前輪與后輪著地點(diǎn)的連線[Qa][Qb]為自行車坐標(biāo)系的[x]軸，它偏離慣性坐標(biāo)系[x0]的角度，即車把轉(zhuǎn)角[α]，[β]為自行車坐標(biāo)系[z]軸偏離慣性坐標(biāo)系[z0]的角度，即車體橫滾角。自行車以速度[V0]勻速前進(jìn)，運(yùn)動過程中用前輪擺角產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力矩來維持受到擾動后車體的平衡，自行車機(jī)器人的非線性動力學(xué)模型為[12]：

式中：[mq]，[mh]，[mj]，[md]分別為自行車前輪、后輪、車架、電池質(zhì)量;[rq]，[rh]分別為前輪、后輪半徑;[s]為前輪質(zhì)心到車把轉(zhuǎn)動軸的距離;[h1]，[h2]分別為車架重心高度和電池重心高度;[l1]為前輪著地點(diǎn)到自行車重心在[x]軸上的距離;[l2]為兩接觸點(diǎn)連線的距離。

定義狀態(tài)變量[x1=α，x2=α，x3=β，x4=β]，系統(tǒng)在可控制平衡條件下，車體橫滾角不會太大，即[sin β≈β]，[cos β≈1]，[ββ≈0]，經(jīng)過近似化處理，經(jīng)矩陣變換后，線性狀態(tài)空間模型為：

[x=Ax+Bu=010000a1b21-a1b10000100b21-a1b10x+ ? ? ?0a31-a1b1 ? ? ?0a3b11-a1b1u]

[y=Cx+Du] ? ?（2）

式中：

[a1=-mqrqs+mjh1sp12mqr2q+mqs2+mjs2p2，][a3=112mqr2q+mqs2+mjs2p2，b1=-2（mqrqs+mjh1sp）3mqr2q+3mhr2h+4mjr21，][b2=2（mqrqs+mhhh+m0h1+mdh2）g3mqr2q+3mhr2h+4mjr21]

系統(tǒng)各剛體的參數(shù)如下：自行車前輪質(zhì)量[mq]為0.75 kg，半徑[rq]為0.14 m，前輪質(zhì)心到車把轉(zhuǎn)動軸的距離[s]為0.02 m;后輪質(zhì)量[mh]為1.05 kg，半徑[rh]為0.17 m;車架質(zhì)量[mj]為12.1 kg，車架重心高度[h1]為0.36 m;電池質(zhì)量[md]為1.4 kg，電池重心高度[h2]為0.66 m。

將上述參數(shù)代入式（2），模型數(shù)值化后的結(jié)果為：[A=010000-94.206 4000010016.972 20，B= ? ? ? 0119.623 2 ? ? ? 0 ? ?-1.9] （3）

1.2 ?性能分析

對系統(tǒng)進(jìn)行欠驅(qū)動特性分析。將式（1）寫成如下表達(dá)形式：

[D（q）q+C（q，q）q+G（q）=τ] （4）

式中：[Ddij2 ×2]為系統(tǒng)的慣性矩陣;[Ccij2×2]為與哥氏力相關(guān)的項(xiàng)，且[dij]，[cij（i，j=1，2）]為[α]，[β] 的函數(shù);[G（q）]為重力項(xiàng);[q=（α ?β）T]和[τ=（u ?0）T]分別為關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，且[u]對應(yīng)車把轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，由于車速是常數(shù)，不考慮后輪轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。

由式（3）知，自行車機(jī)器人為具有兩個獨(dú)立自由度的欠驅(qū)動系統(tǒng)，且車架橫滾角沒有驅(qū)動。

自行車機(jī)器人作為欠驅(qū)動自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，其功能的實(shí)現(xiàn)比一般機(jī)器人系統(tǒng)困難，而系統(tǒng)的非最小相位特性是由欠驅(qū)動和耦合特性引起[6]，接下來分析系統(tǒng)零動態(tài)的穩(wěn)定性。

將式（2）變?yōu)槿缦聞討B(tài)：

[Σ1：x1=x2，x2=-94.206 4x3+119.623 2u，y=x1Σ2：x3=x4，x4=16.972 2x3-1.9u] （5）

通過控制輸入，使指定的系統(tǒng)輸出恒為零，這時系統(tǒng)的內(nèi)部動態(tài)即為零動態(tài)

[x3x4=01 15.475 90x3x4] （6）

零動態(tài)中的不穩(wěn)定極點(diǎn)為3.933 9，則系統(tǒng)的零動態(tài)不穩(wěn)定。

對于自行車機(jī)器人這一不穩(wěn)定零動態(tài)系統(tǒng)，宜采用復(fù)合控制。式（5）的第一個方程描述了輸入/輸出之間的外部動態(tài)動關(guān)系，由于式（5）的第二個方程是不穩(wěn)定子系統(tǒng)，不穩(wěn)定極點(diǎn)為4.12。略大于不穩(wěn)定零動態(tài)的不穩(wěn)定極點(diǎn)。而子系統(tǒng)第二個方程完全可控，所以可以被鎮(zhèn)定。

由于自行車機(jī)器人的自然不穩(wěn)定特性，使得自行車的工作環(huán)境，如路面顛簸、空氣條件刮風(fēng)下雨等會對自行車系統(tǒng)產(chǎn)生干擾;自行車機(jī)器人的模型不確定性不僅體現(xiàn)在系統(tǒng)參數(shù)的變化，而且還包括系統(tǒng)的未建模動態(tài)特性：一是模型線性化引起的不確定性;二是自行車各個組成剛體部分的參數(shù)誤差造成的不確定性;三是自行車前叉帶動前輪旋轉(zhuǎn)與車體傾斜之間的耦合造成的不確定性。

利用一個非結(jié)構(gòu)化的集合來描述，常用的是乘性不確定性的描述方法，來描述模型不確定性，采用一般的魯棒控制設(shè)計(jì)外環(huán)控制器。

2 ?控制器的設(shè)計(jì)

2.1 ?不穩(wěn)定子系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)

對于不穩(wěn)定子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制器。

系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：

[J=120∞（xTQx+uTRu）dt] （7）

式中：[R]為正定實(shí)對稱常數(shù)矩陣;[Q]為半正定對稱常數(shù)矩陣。取二次型指標(biāo)最優(yōu)控制器的參數(shù)為[R=1，Q=0001]。子系統(tǒng)完全可控，計(jì)算可解得最優(yōu)反饋矩陣[K=[-17.865 5-4.450 4]]，以及唯一的最優(yōu)控制[un=-R-1BTPx]，即內(nèi)環(huán)的控制輸入為[un=-kx3]，達(dá)到最優(yōu)性能指標(biāo)。其中[P]是Riccati代數(shù)方程的唯一解，[x3]表示自行車橫滾角，不受控制輸入直接驅(qū)動，是非自治的、耦合著外部動態(tài)。

2.2 ?魯棒控制器的設(shè)計(jì)

采用一般的魯棒控制即S/KS/T混合靈敏度問題的[H∞]設(shè)計(jì)外環(huán)控制器。

復(fù)合控制率為[u=un+uw]，從外環(huán)控制輸入到系統(tǒng)輸出[y=x1]的傳遞函數(shù)為：

[P（s）=119.62（s-3.934）（s+3.934）s2（s+3.278）（s+5.178）] （8）

與等式（6）有相同的不穩(wěn)定零動態(tài)，但已經(jīng)沒有不穩(wěn)定模態(tài)。

S/KS/T問題是指求解以下的[H∞]優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，即解[minkstabW1SW2KSW3T∝≤γ]的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。[S]為靈敏度函數(shù)，[T]為補(bǔ)靈敏度函數(shù)。

[W1（s）]反應(yīng)了靈敏度函數(shù)的特性，在設(shè)計(jì)中要求靈敏度函數(shù)盡可能得小，這樣才能保證減小跟蹤誤差，有效地抑制干擾的影響，取：

[W1（s）=0.008 163 （s+85）s ] （9）

引入加權(quán)函數(shù)[W2（s）]，可以限制控制量的大小，防止系統(tǒng)在實(shí)際過程中產(chǎn)生嚴(yán)重的飽和現(xiàn)象以及控制量過大而造成執(zhí)行器的損壞。取：

[W2（s）= 0.000 45] （10）

[W3（s）]表示自行車模型乘性不確定性的上界，反映了補(bǔ)靈敏度函數(shù)的特性，[W3（s）]可取對角的非真有理函數(shù)，但必須保證[W3G]是真實(shí)有理數(shù)，受[W3（s）]的分子高于分母的次數(shù)這一條件的限制，?。?/p>

[W3（s）=0.002 s] （11）

由此解得[H∞]控制器為：

[K（s）= -1 676.7s （s+3.278） （s+5.178） ? （s+532.4） ?（s+3.934） （s2 + 30.11s + 839.2）] ? （12）

最后對所設(shè)計(jì)的[H∞]控制器進(jìn)行性能檢驗(yàn)。

圖2為系統(tǒng)靈敏度函數(shù)[S]和權(quán)函數(shù)[W1]與頻率[ω]關(guān)系的奇異值曲線。[W1S]代表對系統(tǒng)性能的要求，應(yīng)滿足[W1S∝<1]這一必要條件，從圖中可以看出[σ[S（jω）]<σ[W-11（jω）]]，所設(shè)計(jì)的控制器滿足系統(tǒng)性能的要求。

圖3為系統(tǒng)補(bǔ)靈敏度函數(shù)[T]和權(quán)函數(shù)[W3]與頻率[ω]關(guān)系的奇異值曲線。[W3T]代表對系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的要求，應(yīng)滿足[ω3T∝<1]這一必要條件，從圖中可以看出[σ[T（jω）]<σ[W-13（jω）]]，所設(shè)計(jì)的控制器滿足系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的要求。

對于控制器設(shè)計(jì)的合理性，圖4為控制器的頻率特性，在[ω=4×10-6 rad/s]的頻率點(diǎn)附近突然下凹的低增益，該低增益可以有效地抑制干擾的影響?？刂破鱗K（s）]的零點(diǎn)與被控對象[P（s）] 的極點(diǎn)相同，在組成系統(tǒng)時兩者發(fā)生對消，從而實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的極點(diǎn)的重新配置，保障了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

通過對加權(quán)函數(shù)及控制器的理論分析可見，混合靈敏度優(yōu)化問題既考慮了系統(tǒng)性能的要求，又保證了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的要求，所以本文設(shè)計(jì)的控制器滿足要求。

3 ?控制仿真

復(fù)合控制的系統(tǒng)特征根為-531.65，-4.284，-13.29 +0.130 3i，-13.29-0.130 3i，全部具有負(fù)實(shí)部，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。為驗(yàn)證設(shè)計(jì)的復(fù)合控制的控制效果，對系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，圖5和圖6分別為車把轉(zhuǎn)角和車體橫滾角在單位脈沖擾動下的響應(yīng)曲線圖。由圖可以看出系統(tǒng)在干擾的作用下，車體橫滾角和車把轉(zhuǎn)角都發(fā)生了震蕩，但在復(fù)合控制的作用下，分別經(jīng)過0.6 s和1.2 s的時間，車體橫滾角和車把轉(zhuǎn)角基本收斂到0。

下面分析參數(shù)攝動對系統(tǒng)仿真結(jié)果的影響。令系統(tǒng)標(biāo)稱狀態(tài)方程式（3）中的系數(shù)發(fā)生攝動，參數(shù)攝動分為以下三種情況：式（3）的矩陣A中的16.972 2攝動到10;矩陣B中的119.623 2攝動到102;矩陣A中的16.972 2攝動到10，矩陣B中的119.623 2攝動到102。

圖7和圖8給出了這三種參數(shù)攝動情況下系統(tǒng)在本文設(shè)計(jì)的控制器下的擾動動態(tài)特性曲線。

從仿真結(jié)果可以看出，攝動前后結(jié)果變化不大，這表明設(shè)計(jì)的控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。

為了說明所設(shè)計(jì)控制器的魯棒性，在鎮(zhèn)定不穩(wěn)定子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用PD控制器在上述三種參數(shù)攝動情況下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)曲線進(jìn)行對比，如圖9和圖10所示。通過調(diào)整控制器的參數(shù)[KP]，[KD]，得到超調(diào)最小的PD控制器。

[KPD（s）=200（s-0.5）s+311 ] （13）

雖然PD控制器響應(yīng)速度快，但是車把轉(zhuǎn)角的超調(diào)非常大。在矩陣A參數(shù)攝動的情況下，車把轉(zhuǎn)角已經(jīng)達(dá)到了80°，極不利于自行車的平衡控制，不滿足系統(tǒng)的性能要求。矩陣B參數(shù)攝動時，車把轉(zhuǎn)角已經(jīng)發(fā)散。矩陣A，B參數(shù)攝動時，車體橫滾角已經(jīng)發(fā)散。而本文設(shè)計(jì)的控制器使得系統(tǒng)具有很好的動態(tài)變化過程，在有干擾的情況下超調(diào)更小，可以抑制參數(shù)不確定對系統(tǒng)帶來的影響，能夠適應(yīng)環(huán)境的變化，保證自行車機(jī)器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 ?結(jié) ?語

自行車機(jī)器人作為不穩(wěn)定零動態(tài)系統(tǒng)，既有非最小相位零點(diǎn)，也有不穩(wěn)定極點(diǎn)，宜采用復(fù)合控制。本文首先對不穩(wěn)定子系統(tǒng)設(shè)計(jì)二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制器，鎮(zhèn)定內(nèi)環(huán)不穩(wěn)定子系統(tǒng)，系統(tǒng)的零動態(tài)具有不變性，外環(huán)設(shè)計(jì)一般的魯棒控制器，使整個系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制可以有效地實(shí)現(xiàn)自行車機(jī)器人的平衡控制，抑制參數(shù)不確定和干擾對系統(tǒng)帶來的影響，比傳統(tǒng)的PD控制器有更好的魯棒性。

注：本文通訊作者為王涵。

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