馬建軍, 秦紫果, 劉豐軍， 高笑娟

(河南科技大學 土木工程學院, 河南 洛陽 471023)

彈性地基梁理論在土木工程中應用廣泛，適用于條形基礎、樁基礎等結構的靜動力學性能分析。為滿足工程需要，國內外學者在彈性地基梁的建模理論和計算方法方面進行了深入研究，并取得了豐富成果[1-5]。其中，Winkler地基模型以其概念簡潔、計算高效、結果準確等特點，在工程實踐中應用最廣泛[6-10]。

隨著理論研究和工程應用的發(fā)展，Winkler地基梁的線性及非線性動力響應研究日益受到重視[11-14]。然而在已有的研究中，普遍用地基反力來表示Winkler地基對其支承梁的作用。在進行靜力學分析時，這種簡化方式是合理的，所得結果精確可信。但在進行動力學分析時，由于土-結構動力相互作用的影響，一定深度內的地基將與結構共同運動，此時土體運動對其支承梁的動力學特性將產生影響[15-16]。因此，有必要開展考慮土體運動的Winkler地基梁的動力響應研究。

本文擬基于經典Winkler地基理論，考慮有限深度土體運動的影響，建立包含地基運動的彈性地基上有限長梁的線性動力學模型。利用分離變量法，求解梁的運動微分方程，通過數(shù)值計算揭示彈性地基梁的自由振動特性，分析土體質量、地基深度、阻尼系數(shù)等對彈性地基梁動力學特性的影響，獲得對工程應用有理論指導意義的結論。

1 計算模型

如圖1所示，本文的研究對象為彈性地基上有限長梁，其中H為地基深度，L，b，h分別為梁的長、寬、高。為便于分析，以未變形梁的端點為坐標原點O，中軸線為x軸建立平面直角坐標系Oxy。p(x,t)=Pcosωpt為簡諧動荷載，其中P和ωp分別為外激勵幅值和頻率。u(x,t)和v(x,t)分別為梁沿著x軸和y軸方向的位移，w(x,y,t)為有限深度彈性地基沿y軸方向的位移。

由于通?？珊雎詮椥缘鼗侯惤Y構的軸向位移，本研究僅考慮其豎向位移v(x,t)。利用Winkler地基模型和Euler-Bernoulli梁理論，可得梁的線性運動方程

(1)

式中：c為單位長度梁的黏滯阻尼系數(shù)；q(x,t)為地基反力；m=ρA為單位長度梁的質量，ρ和A分別為梁的密度和橫截面積；E和I分別為梁的彈性模量和慣性矩；?/?x和?/?t分別為對變量x和t的偏導。

圖1 彈性地基梁模型Fig.1 Beam on elastic foundation

設地基土體為線彈性各向同性體，則有限深度Winkler地基的運動方程為

(2)

式中：ρs為單位長度梁下單位深度土體質量；cs為單位長度梁下單位深度土體的黏滯阻尼系數(shù)；kf為Winkler地基剛度系數(shù)；wr(x,y,t)為梁與地基間的相對位移。進而，地基反力可表示為

(3)

為便于分析，引入下列無量綱參數(shù)

(4)

將式(4)代入式(1)，可得梁的無量綱運動方程

(5)

式中：“′”為對變量x*的一階導數(shù)；“·”為對變量t*的一階導數(shù)。

同樣，可得地基的無量綱運動方程

(6)

考慮梁與地基變形的連續(xù)性及工程實際，彈性地基位移w*(x*,y*,t*)應滿足

w*(x*,0,t*)=v*(x*,t*);
w*(x*,H*,t*)=0

(7)

(8)

式中：γ為衰減系數(shù)，本文取γ=0.01。邊界條件為

φ(0)=1;φ(H*)=0

(9)

將式(8)代入式(6)，并在y∈(0,H*)內積分可得

(10)

將式(10)代入式(5)，可得

(11)

其中，為便于表述，在式(11)及后續(xù)研究中均忽略無量綱參數(shù)的上標。

由式(11)可知，此時Winkler地基上有限長梁的運動方程中包含了地基質量、深度和阻尼系數(shù)等。顯然地基運動對梁的動力學特性將有影響，有必要對其進行深入研究。

2 計算方法

為研究梁的自由振動響應，需略去式(11)中的外激勵項。采用分離變量法，令v(x,t)=φ(x)Y(t)，則梁的自由振動是幅值按振動函數(shù)隨時間變化，按模態(tài)構型φ(x)進行的運動[18]?？傻?/p>

(12)

引入常數(shù)a4，可得

(13)

進而，可得常微分方程

φ′?(x)-α4φ(x)=0

(14a)

(14b)

求解式(14a)，可得彈性地基梁第階模態(tài)構型函數(shù)φi(x)的一般表達式

φi(x)=C1cosαix+C2sinαix+
C3coshαix+C4sinhαix

(15)

式中：C1～C4為待定系數(shù)。以彈性地基上固支-自由梁為例，其邊界條件為

φ(0)=0;φ′(0)=0;φ″(L)=0;φ?(L)=0

(16)

將式(15)代入式(16)，可得

[M]{Ci}=0, (i=1, 2, 3, 4)

(17)

式中：[M]為系數(shù)矩陣。

(18)

為求得非全為零的常系數(shù)Ci，令矩陣[M]的行列式為零，可得超越方程

1+coshαLcosαL=0

(19)

求解式(19)可得梁的第i階固有頻率ωi，相應的第i階模態(tài)構型φi(x)為

φi(x)=C(cosαix-ξisinαix-coshαix+ξisinhαix)

(20)

式中：C為待定系數(shù)，可由模態(tài)構型規(guī)范化條件求得；ξi=(coshαiL+cosαiL)/(sinhαiL+sinαiL)。

由于彈性地基梁系統(tǒng)屬于低阻尼體系，則振動函數(shù)Y(t)的一般表達式為

(21)

式中:G1和G2均為與動力響應初值相關的待定系數(shù)。經變換可得

(22)

進而，可得梁位移函數(shù)v(x,t)的一階近似表達式

v(x,t)=a1(cosα1x-ξ1sinα1x-coshα1x+
ξ1sinhα1x)cos(ωD1t+θ)e-ηt

(23)

3 數(shù)值計算

為進行數(shù)值計算，表1給出了計算所需的梁和地基的尺寸和物理參數(shù)。

表1 梁和地基的尺寸和物理參數(shù)

3.1 方法驗證

為驗證本文正確性，在忽略土體運動影響的情況下與已有文獻進行對比。以彈性地基上簡支梁為例，梁的物理參數(shù)取表1中各變量值，彈性地基剛度系數(shù)為[19]：kf=16.55 MPa。表2給出了按文獻[6，12，14，19]和本文方法求得的彈性地基上簡支梁的前4階固有頻率。表2表明，由本文方法求得的固有頻率與已有文獻結果一致，表明本文方法正確。

表2 彈性地基上簡支梁的固有頻率

3.2 β的影響分析

利用表1中的物理參數(shù)，可得β=17.1，為分析其影響效應，計算時分別取β=0,β=5.0,β=10.0,β=20.0,β=30.0。表3給出了參數(shù)β取不同值時彈性地基梁的前5階固有頻率。由表3中固有頻率隨參數(shù)β的變化情況可知，若不考慮地基質量(β=0.0)的影響，計算出的各階固有頻率均較大；與實際情況(β=17.1)相比，各階固有頻率值均增大3倍以上。由此可知，若忽略有限深度地基運動的影響，求得的彈性地基梁系統(tǒng)整體剛度偏大。隨參數(shù)β增大，系統(tǒng)的整體剛度逐漸降低，各階固有頻率相應減小。而且參數(shù)β增大到一定程度后，其對彈性地基梁系統(tǒng)固有頻率的影響顯著降低。此時地基質量在系統(tǒng)總質量中所占比例較大，彈性地基梁的動力學特性在一定程度上取決于地基的基本特征。

表3 參數(shù)β對彈性地基上梁固有頻率的影響

令式(23)中θ=0，圖2給出了Winkler地基上有限長梁中點處的位移時程曲線，其中參數(shù)β分別取為0，5.0，17.1。如圖2所示，三種情況下彈性地基梁動力響應的周期分別用T1，T2，T3標注出來。對比可知，若將土體運動引入彈性地基梁的動力學模型，系統(tǒng)的響應周期將增長。理論上講，這在一定程度上證實了土-結構動力相互作用效應能改善結構的抗震性能。由阻尼參數(shù)η定義可知，參數(shù)β的變化將引起η值改變。在t∈[150, 160]的某一臨近時間段內，圖2中用Δ1,Δ2,Δ3分別表示三種情況下梁中點處位移最大值與初始值間的差值。顯然，參數(shù)β的增大將減慢響應幅值衰減速度，延長了有阻尼自由振動持續(xù)時間。

圖2 參數(shù)β對位移時程曲線的影響Fig.2 Effect of parameter β on the midpoint displacement

3.3 λ的影響分析

由工程實際可知，結構靜動力響應引起的土體位移或變形均隨地基深度衰減。當?shù)鼗疃冗_到一定值后，其下部土體的變形將十分微弱，可忽略不計。因此在對地基深度的影響進行分析時，僅考慮λ≤3.00的情況。

利用表1中的物理參數(shù)，計算可得λ=1.64，本研究僅由地基深度變化實現(xiàn)參數(shù)λ的改變。表4給出了λ=0.50,λ=1.00,λ=3.00時系統(tǒng)的前5階固有頻率。由表4可知，隨參數(shù)λ增大，彈性地基梁的各階頻率均減小。由頻率ω隨參數(shù)λ的變化情況可知，在參數(shù)λ值較小時，其對系統(tǒng)動力學特性影響顯著；當參數(shù)λ值較大時，其影響效應相對較弱。因此在計算分析時，結合實際情況僅考慮有限深度土體運動的影響即可。

表4 參數(shù)λ對彈性地基上梁固有頻率的影響

圖3給出了彈性地基梁中點處的位移時程曲線，其中參數(shù)λ分別取為0.50，1.00，1.64。如圖3所示，隨參數(shù)λ增大，彈性地基梁系統(tǒng)的響應周期增長。由于地基深度增加，參與到系統(tǒng)動力響應中的土體質量相應增加，圖3中位移曲線的變化也符合參數(shù)β對系統(tǒng)動力響應影響的分析結論。對比響應幅值的衰減情況可知，若λ≥1.00，其對阻尼參數(shù)η的影響微弱，Δ2與Δ3之間的差異很小。

圖3 參數(shù)λ對位移時程曲線的影響Fig.3 Effect of parameter λ on the midpoint displacement

3.4 η的影響分析

圖4給出了彈性地基梁中點處位移時程曲線隨參數(shù)η變化的情況，其中η=2.099×10-4為表1中參數(shù)計算所得。若η=0，則為無阻尼自由振動，彈性地基梁將發(fā)生響應幅值不變的穩(wěn)態(tài)周期運動。對于低阻尼體系而言，參數(shù)η對周期T的影響非常微弱，可忽略不計。隨參數(shù)η值增大，彈性地基梁動力響應幅值的衰減速度增快，即在相同時間點出現(xiàn)Δ3>Δ2的情況。可以預見，當參數(shù)η增大到臨界值時，系統(tǒng)自由振動的時程曲線將呈單調衰減。

圖4 參數(shù)η對位移時程曲線的影響Fig.4 Effect of parameter η on the midpoint displacement

4 結 論

本文基于Winkler地基模型，考慮有限深度土體運動的影響，建立了彈性地基上有限長梁的線性動力學模型，利用分離變量法計算了梁的固有頻率和有阻尼自由振動響應，研究了地基質量、深度、阻尼等對梁動力學特性的影響。通過參數(shù)分析，得到如下結論：

(1) 隨著與有限長梁動力響應相關的地基質量增大，Winkler地基上梁的固有頻率減小，有阻尼自由振動響應幅值衰減速度減慢。

(2) 隨著地基深度在有效范圍內增大，Winkler地基上梁的固有頻率迅速減小，但地基深度對系統(tǒng)阻尼效應發(fā)揮的影響較弱。

(3) 在合理的參數(shù)范圍內，阻尼系數(shù)對Winkler地基上梁動力響應周期的影響可忽略不計，但對響應幅值衰減速度的影響非常顯著。

另外，需要注意的是：本文模型僅適用于線彈性、理想化Winkler地基上有限長梁的動力響應分析，而未考慮地基主要參數(shù)隨深度變化等情況。為促進研究及應用的發(fā)展，有必要繼續(xù)進行考慮復雜地基條件下彈性地基梁的建模研究，以期精確分析有限深度地基上梁的動力學特性。