張一林 簡捷 李平

摘要：本文將從屋頂?shù)呐潘芰?、雨水收集利用能力、房屋整體舒適度、現(xiàn)代意義（如生態(tài)、能源）等方面，對比坡屋頂、水平屋頂以及圓弧形屋頂?shù)慕ㄖ?，進行綜合客觀的評價，希望能對未來居民住宅的建筑起一定的指導作用。

關鍵詞：屋頂形狀；雨水利用與排出；日照；現(xiàn)代應用

引言

現(xiàn)在，最為普遍的居民住宅屋頂形狀有坡屋頂、水平屋頂以及圓弧形屋頂。在北京放眼望去皆是水平屋頂?shù)母邩墙ㄖ?，有些單調刻板。由于厄爾尼諾現(xiàn)象近幾年來頻繁出現(xiàn)，中國南北方大多數(shù)地區(qū)頻繁出現(xiàn)大規(guī)模降雨，容易造成城市內澇或者屋頂積水導致的生產(chǎn)活動不便；又因我國水資源稀缺，所以收集利用雨水是十分必要的。所以我們對屋頂?shù)耐庑螛嬙爝M行探究，將每個屋頂視為相對完美的幾何模型，以北京為主要研究范圍，主要研究其對雨水排出或收集的效果，同時綜合光照、舒適度等諸多因素客觀評價現(xiàn)代建筑中主要住宅類型。

1童話城堡——圓弧形屋頂

1.1數(shù)學建模

研究方法采用單一雨滴模型分析，建立雨滴撞擊屋頂?shù)奈锢砟Ｐ停罱K采用不定積分求出整個屋頂?shù)挠晁懦鏊俣扰c收集量，將所計算得到的數(shù)據(jù)進行比較，從而篩出最優(yōu)解。

①：標準半球形屋頂

以地面為參考系，水平面作為x軸，豎直方向為y軸。設樓梯對角線長度（即半球形直徑長度）為 ，另設下落水滴直徑 。因為其外表為標準半球形，又因為球體表面積公式，有屋頂表面積 ，對于任意下落水滴，均視為標準（此處指半徑為 ）的水滴大小。又因為其實下落高度遠大于建筑屋頂?shù)陌霃?，所以對于水滴接觸落地點時均視為同一高度下落，同一高度接觸地面。因為對所有下落水滴分析太過復雜，所以我們對單一水滴分析。從水滴受力來說 時，（等式右為空氣阻力公式）速度自此不變。過程中（未達到勻速前）任意速度 。因為整個過程是一個持續(xù)性過程，且物體的加速度不斷變化，采用積分：對于高度h，都有 ，所以可以根據(jù)已知云層高度測定接觸時刻速度 ，從而能得出速度對 的影響： ，與速度對 的影響：

上述兩式中的 為液滴密度， 為液滴表面張力， 是撞擊速度， 是水動力粘度。因為液體表面張力沒有計算出，所以引入表面張力。設液滴最大壓力 和 ，表面張力是壓差的函數(shù)，計算公式為：

根據(jù)上述計算結果，可算出每個小水珠的濺射面積。

因為這只是單個水滴的濺射，而房頂不可能是單個水珠覆蓋，所以整個房頂表面水珠分布的量上少下多，需要再次積分。從屋頂頂點到房檐的曲面距離均為以半徑R的圓的四分之一周長，所以 ，設任意處曲面距離為 ，從屋頂開始計算，房檐積水量。 ，繼而可計算出圓頂?shù)姆e水量。

我們對于屋頂是半圓形的建筑進行討論，其表面積相對較大，對天空所降得雨水的接觸面積相對較大，圓形屋頂屋檐總長為 ，是圓形屋檐，可排水的房檐較長，且可以多方位排水，在一定程度上可以做到雨水收集率和雨水疏導率處于較高水平，但是屋頂支承結構復雜，建設麻煩且耗資較大，從整體利益方面看并無十分過人之處。

2畫中的小平房——坡面屋頂

考慮有一棟南北向的坡頂樓房，房屋水平傾斜角為 ，兩側屋檐間距為 ，房屋寬為 ，屋檐與窗戶頂端的距離為 ，窗戶高為 。一雨滴的質量為 ，水滴彈起的質量為 ，重力加速度為 ?？諝庾枇M足 ，其中空氣阻力系數(shù) ，空氣密度 ，一側屋頂面迎風面積 ，雨滴橫截面近似為球形 。

事實證明，水滴的速度與質量變化的問題與水面的波動、水的張力（水的形狀一直在改變）、等等復雜因素有關，簡單近似為非完全彈性碰撞過程的結果勢必錯誤。

我們根據(jù)國外科普視頻及文章，將質量關系確定為

在研究速度關系時，我們把水面波動的影響歸于水滴彈起的概率（經(jīng)多次模擬與討論，確定為50%）。通過分析，我們將速度變化關系與接觸面性質 建立聯(lián)系，并認為速度變化函數(shù)與高度、水面面積等無關，即

在探究速度變化關系的實驗中，我們改變不同的高度，測量下落高度 與彈起最大高度 。由于 ，根據(jù)大量實驗，選取從10英尺刻度（即距離水面7英尺）下落后彈起0.8英尺的數(shù)據(jù)，可得

2.1.2有風狀態(tài)下水滴下落分布情況

⑴當有風時，設風向為南北向，不妨設風速為 ，沿Z軸正方向。

∴雨分布沿Z軸正方向移動

（2）設風向為東西向，不妨設風速為 ，水平向左。此時單位時間內第一次彈起的雨滴對右側迎風屋頂面的沖量大于左側背風屋頂面，沖量之差為 ，其中M為單位時間內落到左（右）側屋頂面的雨水質量。但同時，彈起的雨滴分布左移，彈起時間

可求出

從 內彈起的水滴會跨越到另一側屋頂面

如圖4為迎風側雨水分布區(qū)域，圖中三個區(qū)域內的雨水量分別恒定，迎風側的雨水分布沿x軸正方向依次增多。

取極限情況 ，代入數(shù)據(jù)可得 ，代入可得 ， ，可得 ， ，背風側到屋頂距離小于 的范圍內，雨水量最多。

2.2屋檐對最頂樓日照影響

有光照射時太陽高度角 滿足

代入數(shù)據(jù)得：

如圖5，A為太陽，O為地球球心，C為天頂，B為北天極，太陽高度角為 ，太陽赤緯角為 ，觀測地地理緯度為 ，時角為 ，作BP、BQ分別為 、 切線交OC、OA于P、Q，連接PQ。

由球面△ABC的余弦公式可得

∵ BP∥ ，BQ∥ ，∴∠PBQ= ，即

由于冬至日太陽照射時間最短，角度最低，取此極限情況下，代入數(shù)據(jù)，

，則照射時長為 ，故此房屋不符合國家關于日照長度的標準，需增大 。

3 都市的方盒子——平頂樓房

現(xiàn)在，平頂樓房在北京的應用中最為廣泛。進一步利用“光禿樓頂”來更好地改善生活，成為近幾年來此類問題的討論熱點。

3.1加強生態(tài)化

利用屋頂?shù)钠脚_種植綠植是生態(tài)可持續(xù)的另一種體現(xiàn)形式。北京人口眾多，人均建筑面積小，人均綠化面積也小，屋頂綠化是解決綠化與建筑占地的矛盾的有效途徑之一。樓頂綠化可以減弱城市的熱島效應。據(jù)相關數(shù)據(jù)顯示，在炎熱的夏天樓頂綠化可以讓室內溫度降低1.2攝氏度左右。但同時也應起人們的熱議：樓頂?shù)漠a(chǎn)權不清，綠化費用無人管，種植不當可能引來嚴重問題等等。屋頂綠化還需要從多方面進一步改善探討。

3.2利用太陽能

越來越多的太陽能板裝上了平頂樓房，可以有效節(jié)省能源，是一種低碳生活方式。以天津市中心城區(qū)為例，若其屋頂光伏采用35度的最佳傾角安裝，光伏組件的有效面積Apv為855.7萬平方米，裝機容量為12.4億瓦特，光伏組件系統(tǒng)的運行效率λ為0.77，光伏模塊轉換效率η為15%。發(fā)電量的計算公式為Epotential = Apv × Gt × η × λ，根據(jù)公式計算，年發(fā)電量為1986千瓦時/年。但它受樓層高度、天氣等因素影響顯著。為了防雷防電，太陽能板必需低于防雷裝置0.6米，并與裝置保持1米的距離。

3.3綠化與能源的抉擇

屋頂綠化對于提高居民室內生活質量更為有利，而屋頂光伏提高新能源的利用，是低碳生活的體現(xiàn)。下面主要對而這所需資金做出估算與比較。

到去年年末，北京市屋頂綠化面積達到200多萬平方米。綠化工程建設和養(yǎng)護費用昂貴，以每平方米1千元的成本計算，北京共需支出20億左右的資金。但綠化也為減少政府在減弱氣候變暖、熱島效應以及空氣污染治理等方面的資金和精力。據(jù)資料顯示，200萬平方米的綠化面積可以節(jié)約能耗1.5萬元/天，即大約550萬元/年。若將同等面積的屋頂全部安裝太陽能板，價格按照70元/平方米，則平均每年應支付資金約為1.4億。雖然綠化的資金要比能源多，但是并不能代表綠化屋頂?shù)南敕ú滑F(xiàn)實。據(jù)資料顯示，花園式屋頂綠化根據(jù)影響因素的主次之分（圖）與二者多因素綜合評價（圖）。可見，作為國際大都市的北京綠化屋頂是更優(yōu)的選擇。事實上，北京屋頂?shù)拇_以綠化偏多。通過綠色植物蒸騰水分吸收熱量、冷卻大氣，可吸收太陽輻射熱70%～85%；滯塵作用顯著，花園式和簡單式屋頂綠化平均滯塵量分別為12.3g/㎡/年和8.5g/m2/年，可有效改善城市空氣質量，控制PM2.5；面對城市雨洪壓力，花園式和簡單式屋頂綠化可截留雨水分別為64.6%和21.5%。圖表3主要影響因素分級排序，圖表4光伏屋頂（藍）與綠化屋頂（紅）對比。

結語

中國建筑歷史悠久、名揚中外。放眼國際大都市北京，代替四合院的高樓大廈“整齊劃一”，已經(jīng)不再是設計師專注的對象。但是，居民樓作為建筑主體（大約占建筑面積的70%），十分普通卻直接影響所有人的生活，而具有不可替代的重要地位；因此，“如何合理設計和進一步改善居民樓”應該是最值得研究的話題。本文從排水能力、雨水收集利用能力、房屋整體舒適度、現(xiàn)代意義（如生態(tài)、能源）等方面等方面對居民房屋樓頂設計進行細致、廣泛的討論。不僅關注傳統(tǒng)文化、與現(xiàn)代建筑接軌，還結合了可持續(xù)發(fā)展、創(chuàng)造更優(yōu)美的城市等思想理念，有較強的實用價值，希望能對未來居民樓的設計有指導作用。

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（作者單位：北京市京源學校）