董唯光，辛國慶，高鋒陽，呂曉強

基于數(shù)值振蕩消除下自耦變壓器建模與諧波機理分析

董唯光1，辛國慶1，高鋒陽1，呂曉強2

(1. 蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070；2. 國家電網(wǎng)甘肅檢修公司，甘肅 酒泉 735000)

對自耦變壓器進行模型的理論分析并搭建仿真模型，但由于繞組間磁的耦合作用，仿真時出現(xiàn)數(shù)值振蕩并造成圖像失真，為此推導并提出一種新型阻尼梯形法來抑制數(shù)值振蕩。先對阻尼因子進行預測估值，再加入輔助阻尼因子進行校正，最后對勵磁電流i進行振蕩補償。仿真結(jié)果表明：搭建的模型可以清晰地反映自耦變壓器在運行時出現(xiàn)的諧波波形，為自耦變壓器出現(xiàn)諧波時進行故障預警提供了參考依據(jù)。

高速鐵路；自耦變壓器；數(shù)值振蕩；阻尼梯形算法；模型仿真；諧波分析

隨著我國高速列車的發(fā)展，對供電系統(tǒng)的電能質(zhì)量要求也越來越高，自耦變壓器(auto transformer AT)作為牽引供電系統(tǒng)中核心設備，由于存在“勵磁涌流”以及“漏抗”等，產(chǎn)生了大量的髙次諧波。目前，對高速鐵路牽引供電系統(tǒng)的研究主要集中在數(shù)學模型分析[1]和計算機仿真分析[2]。Hanmin等[3]對自耦變壓器進行模型的搭建，但忽略自耦變壓器中高壓繞組間電的聯(lián)系,僅考慮磁的耦合作用，用普通變壓器模型代替自耦變壓器進行暫態(tài)仿真，不能很好地體現(xiàn)出自耦變壓器中的諧波問題。何正友等[4?6]建立通用的機車?牽引網(wǎng)聯(lián)合仿真模型，考慮自耦變壓器(autotransformer，AT)漏抗及牽引網(wǎng)多導體線間的互電感、互電容耦合的情況，從牽引網(wǎng)諧波放大倍數(shù)的角度考察諧振以及諧波放大特性。徐晨博等[7]對變壓器進行在線監(jiān)測系統(tǒng)的開發(fā)與應用，搭建了仿真模型并投入使用；Kritsada等[8]提出一種基于電流的Newton-Raphson潮流方法，用于自耦變壓器(AT)鐵路供電系統(tǒng)，并通過增廣變壓器導納陣解決其奇異性問題；Worku等[9]提出一種替代的，更優(yōu)越的2×25 kV牽引供電系統(tǒng)并進行了建模和分析，包括牽引負荷，變電站電力變壓器，自耦變壓器(AT)，接觸網(wǎng)線路阻抗等；但都沒有對自耦變壓器進行單獨的建模和諧波傳輸特性進行研究。本文基于Matlab/Simulink搭建通用的自耦變壓器仿真模型，將自耦變壓器中的電路與磁路結(jié)合起來考慮，采用一種修正后新的阻尼梯形法消除數(shù)值振蕩，對自耦變壓器中由于“勵磁涌流”及“漏抗”等原因產(chǎn)生的諧波電壓進行仿真分析，觀測諧波波形，得到大量的諧波數(shù)據(jù)，為進一步諧波的抑制提供數(shù)據(jù)。

1 高速鐵路供電系統(tǒng)

供電系統(tǒng)運行的基本原理為：牽引變電站為整個牽引供電系統(tǒng)提供電源，電流從牽引變電站流出，通過接觸網(wǎng)給高速列車提供電能，然后通過負饋線流回牽引變電站[11]；我國鐵路的供電方式主要有：BT(吸流變壓器)供電方式、AT(自耦變壓器)供電方式和TR(直接供電)方式[5]。由于高速鐵路功率大，牽引網(wǎng)電流較大，因此，采用功率輸送能力最強的AT供電方式，其典型的AT供電系統(tǒng)如圖1所示。

AT供電系統(tǒng)主要由牽引變電站，自耦變壓器AT，牽引線T，負饋線F，鋼軌R與大地以及高速列車組成，供電系統(tǒng)電壓為±27.5 kV交流制[1]。

圖1 AT供電系統(tǒng)圖

2 自耦變壓器模型理論分析

2.1 自耦變壓器接線方式

自耦變壓器常見的接線方式主要有：1) 單相V/V接線；2) 三相V/V接線；3) Scott接線；4) V/X接線。張淇銘等[5, 12]分別對V/X接線進行研究，從工程應用的角度和經(jīng)濟性說明了選擇V/X接線的必要性與合理性。綜合考慮，本文采用V/X接線自耦變壓器。

2.2 自耦變壓器內(nèi)部結(jié)構(gòu)

高速列車中使用的自耦變壓器三相之間相對來說獨立，內(nèi)部結(jié)構(gòu)一致，其參數(shù)也僅有微小差別，因此，對三相三繞組自耦變壓器進行數(shù)學參數(shù)研究時，可將三相簡化為單相三繞組自耦變壓器來進行參數(shù)計算[10]。

根據(jù)自耦變壓器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可以等效出單相三繞組自耦變壓器的電路圖，如圖2所示。

圖2 單相三繞組自耦變壓器等效電路圖

在圖3中，1和1表示外加電壓電流；2和2是中壓側(cè)繞組電壓電流；3和3是低壓側(cè)繞組電壓電流；是公共繞組中的電流；1，2和3分別為串聯(lián)繞組，中壓側(cè)繞組以及低壓側(cè)繞組的電動勢；1，2和3為串聯(lián)繞組，中壓側(cè)繞組以及低壓側(cè)繞組的漏阻抗；假設c為激勵電流，c為高壓側(cè)電動勢，各物理量在圖中均規(guī)定了正方向。

2.3 電路模型的推導

由圖2電路圖中所規(guī)定的正方向，根據(jù)電路基礎(chǔ)中的基爾霍夫定律，可列出電壓回路方程如下所示：

根據(jù)變壓器的原理，自耦變壓器中低壓及中高壓繞組之間的變比12和13分別為：

按照全電流定律，則磁勢平衡關(guān)系有：

式(4)中為線圈圈數(shù)，將式(4)代入式(1)可得：

根據(jù)基爾霍夫電流定律，對式(5)進行等量變換，可得到下式：

對式(1)~(7)進行等量代換，可得到下式：

通過對以上式子的分析，可以得到高速列車中單相三繞組自耦變壓器的等效電路模型如圖3所示(Z為勵磁阻抗)。

圖3 自耦變壓器等效電路模型

2.4 模型中各個參數(shù)的算法

因此，在工程計算中，只需要知道12，13，23和C的值，可以利用圖4的等效電路圖，進行系統(tǒng)的潮流計算，得到各個參數(shù)的數(shù)值。但是在Matlab/Simulink仿真中，還需要知道高壓側(cè)、中壓側(cè)及低壓側(cè)繞組阻抗值大小。將式(8)~(9)聯(lián)立求解，就可得到自耦變壓器各繞組漏阻抗值的計算矩陣：

2.5 修正后的阻尼梯形法

在高速鐵路供電系統(tǒng)中的自耦變壓器，由于存在“勵磁涌流”以及“漏抗”等現(xiàn)象，會在正常運行的某一段時間內(nèi)產(chǎn)生諧波，這對列車的安全運行構(gòu)成了極大的威脅。在仿真模型中仿真時，由于這些現(xiàn)象的存在，出現(xiàn)數(shù)值振蕩，波形不規(guī)范，圖像易失真。

考慮到自耦變壓器高、中壓繞組之間存在磁的聯(lián)系，根據(jù)麥克斯韋理論，存在如下的一階微分方程組：

求解上面的方程組，通常采用歐拉法、后退歐拉法、隱式梯形法和龍格庫塔法等[13]。由于本文所搭建的仿真模型，包含大量的非線性元件，運行時不可避免地會產(chǎn)生數(shù)值振蕩，即非狀態(tài)變量產(chǎn)生不正常的擺動。為了保持仿真過程中數(shù)值計算的穩(wěn)定性和準確性以及圖像的不失真，本文提出一種新型的阻尼梯形算法。為了便于討論，考慮一階常微分方程為：

對式(12)的求解實質(zhì)為對一組時間序列0，1，…，t按順序求解出對應的狀態(tài)量0，1，…，y。在[t,t+1]的時間段內(nèi)寫出式(12)的數(shù)值積分計算公式：

設計算步長=t+1?t，首先采用后退歐拉法對式(13)進行差分化：

然后，采用隱式梯形積分法對式(14)進行差 分化：

最后，將隱式梯形法和后退歐拉法按照(1?):的比例混合，形成阻尼梯形法差分公式：

式中：為阻尼因子，當=0時，上式轉(zhuǎn)化為隱式梯形法；當=1時，上式轉(zhuǎn)化為后退歐拉法；當0<<1時，上式轉(zhuǎn)化為阻尼梯形法[17]。

對于模型中有關(guān)磁路的微分方程，均可以用式(17)來表示：

由式(19)可以得到式(17)校正后的公式為：

通過引入輔助因子，并不能完全杜絕數(shù)值振蕩。因此，在仿真過程中，采用擬合函數(shù)對勵磁電流i進行振蕩補償，擬合函數(shù)如下所示：

在仿真過程中，當=3?1時該算法具有穩(wěn)定性，此時仿真誤差具有更快的衰減速率，對數(shù)值振蕩的抑制能力大大增強。

本文所提出的新型阻尼梯形算法，為了防止出現(xiàn)圖像失真，抑制數(shù)值振蕩，先對阻尼因子進行預測估值，再加入輔助阻尼因子進行校正，最后在仿真過程中對勵磁電流i進行了振蕩補償。

3 自耦變壓器模型搭建與仿真分析

本文以高速列車中的三相三繞組自耦變壓器為研究對象，根據(jù)推導出的等效電路模型與數(shù)學模型，對自耦變壓器的繞組進行參數(shù)計算。

3.1 繞組阻抗

根據(jù)自耦變壓器參數(shù)及等效的數(shù)學模型，利用Matlab強大的矩陣處理功能，可計算出各繞組漏阻抗的標幺值，如表1所示。

表1 自耦變壓器漏阻抗標幺值

3.2 Matlab/Simulink仿真模型

基于Simulink搭建的仿真平臺，對于高速列車供電系統(tǒng)中的自耦變壓器進行仿真，檢測自耦變壓器正常運行時所出現(xiàn)的諧波次數(shù)。

本文所搭建的自耦變壓器模型參數(shù)嚴格按照我國高速鐵路標準《TBT 2888—2010 電氣化鐵路自耦變壓器》進行設置，并在AT輸出端串聯(lián)4臺相位差7.5度的變壓器，可輸出24波形，使輸出的波形易于觀察諧波成分。

3.3 仿真結(jié)果分析

利用模型在Simulink中進行仿真時，采用新型的阻尼梯形算法消除了數(shù)值振蕩問題，在仿真時選用Ode23tb算法，加入阻尼因子的預測及輔助阻尼因子校正，在誤差允許的范圍內(nèi)進行振蕩補償，可以很好地解決剛性問題。

當自耦變壓器在供電系統(tǒng)中正常運行時，其飽和磁滯回線如圖4所示。

圖4 自耦變壓器器飽和磁滯回線

觀察AT輸入輸出側(cè)電壓波形，輸入側(cè)電壓波形如圖5所示，輸出側(cè)電壓波形如圖6所示，從圖中可以看出，當自耦變壓器在正常運行過程中出現(xiàn)諧波時，輸出側(cè)的電壓波形出現(xiàn)鋸齒波，與正常出現(xiàn)的交流電壓正弦波形明顯不同，而且由于諧波的存在，使得自耦變壓器2個輸出側(cè)出現(xiàn)短路，電壓幾乎為0，波動很小。

圖5 輸入側(cè)電壓波形

圖6 輸出側(cè)電壓波形

為了觀測到諧波的次數(shù)，在自耦變壓器的整流裝置輸出側(cè)接入示波器，示波器波形如圖7所示，由圖7發(fā)現(xiàn)，自耦變壓器在運行至=2 000 s左右時，出現(xiàn)15~18次的諧波，這也驗證了在2009年9月份合武線合肥分區(qū)所長安集方向的列車在運行時從供電系統(tǒng)中檢測到17和18次諧波，以及國內(nèi)學者在2011年對大秦線大同市湖東牽引變電所進行實測時出現(xiàn)低頻振蕩，在2016年1月對徐州鐵路樞紐進行頻率測試時發(fā)現(xiàn)不同頻率的髙次諧波。

圖7 示波器波形

圖8 諧波信號的FFT分析

對自耦變壓器所出現(xiàn)的諧波波形進行進一步分析，在Simulink仿真中，采用電力圖形用戶分析界面(Powergui)模塊，打開快速傅里葉變換(FFT)窗口，對自耦變壓器中所出現(xiàn)得諧波波形進行分析，其波形如圖8所示，發(fā)現(xiàn)圖形中出現(xiàn)不規(guī)則的正弦波形，當出現(xiàn)髙次諧波時，總諧波失真率降至5.01%；在對信號的FFT分析結(jié)果圖中，由于采用的是傳統(tǒng)的Nuquist采樣，對于頻率遠高于采樣頻率的信號，未能進行很好的采樣，但是仍可以看出圖中含有大量的髙次諧波。

對于Nuquist采樣頻率的缺陷，可以運用壓縮感知(Compressive Sensing CS)理論來克服[15]，該理論以遠低于Nuquist采樣頻率的速率來對髙次諧波頻率進行采樣壓縮并恢復，本文由于篇幅原因，對壓縮感知理論暫不進行討論。

4 結(jié)論

1) 采用修正后的阻尼梯形算法以及將磁路與電路結(jié)合起來對自耦變壓器進行建模，該模型不僅很好地解決了數(shù)值振蕩問題，阻止圖像失真，而且能對AT正常運行時的狀態(tài)進行仿真。

2) 在AT模型仿真過程中，出現(xiàn)的諧波成分證明了在車網(wǎng)耦合振蕩系統(tǒng)中自耦變壓器所產(chǎn)生的諧波占據(jù)主要成分，并且當自耦變壓器正常運行至=2 000 s時，系統(tǒng)檢測到出現(xiàn)15~18次的高次諧波，之后頻率又恢復正常，在整個過程中自耦變壓器始終正常運行，諧波出現(xiàn)的時間也很短暫，與近幾年來監(jiān)測系統(tǒng)所監(jiān)測到的現(xiàn)象相吻合，為抑制高次諧波的產(chǎn)生提供了數(shù)據(jù)支撐。

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Modeling simulation and harmonic mechanism analysis of AT based on numerical oscillation elimination

DONG Weiguang1, XIN Guoqing1, GAO Fengyang1, Lü Xiaoqiang2

(1. School of Electrical Engineering and Automation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China; 2. State Grid Gansu Maintenance Company, Jiuquan 735000, China)

The theoretical analysis and simulation model of the autotransformer were built, but due to the magnetic coupling effect between the windings, the numerical oscillation occurs during the simulation and the image is distorted, and it has a new type of damping trapezoidal method to suppress the oscillation. Firstly, the damp factor alpha was predicted and estimated, then the auxiliary damp factor epsilon was added to correct, Finally, the excitation currentiwas compensated. The simulation results show that the constructed model can clearly reflect the harmonic waveforms appearing in the runtime of the autotransformer, and provide a reference basis for fault early warning when the harmonics are in the system.

high speed railway; autotransformer; numerical oscillation; damping ladder algorithm; simulation model; harmonic analysis

TM922.73

A

1672 ? 7029(2019)09? 2324 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.09.026

2018?12?26

國家重點研發(fā)計劃項目(2017YFB1201003-020)

董唯光(1971?)，男，甘肅蘭州人，副教授，博士，從事壓縮感知在電氣故障診斷中應用研究；E?mail：1833295171@qq.com

(編輯 陽麗霞)