汪永玲，馮向前，張華榮

（南京師范大學(xué)a.計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.科技處，南京 210023）

0 引言

多屬性決策作為現(xiàn)代決策科學(xué)的重要組成部分，對不同方案根據(jù)多個有影響的屬性做出評價，以選擇理想的備選方案。同時由于決策環(huán)境的不確定性日益突出以及決策者關(guān)于決策問題領(lǐng)域的知識或數(shù)據(jù)的缺乏，因此決策者在評價過程中很難用明確的數(shù)字或確定的語言術(shù)語來表達(dá)決策偏好，從而產(chǎn)生了相應(yīng)的模糊語言多屬性決策。模糊語言多屬性決策作為決策科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，該方面的研究近年來也取得了豐碩的成果。Zadeh[1]于1965年提出模糊集理論，將現(xiàn)代社會中各領(lǐng)域的研究范疇從精確化擴(kuò)展到模糊化，用隸屬度來刻畫模糊集中元素的模糊性。為了更加詳細(xì)的描述模糊信息，Atanassov[2]于1986年提出了直覺模糊集的概念，他在模糊集中同時考慮到隸屬度、非隸屬及不確定信息，從而更加細(xì)膩的描述了客觀世界的模糊性。Zhu和Xu[3]等于2012年提出對偶猶豫模糊集，它的隸屬度和非隸屬度均由[0,1]之間多個可能的數(shù)值組成，因此對偶猶豫模糊集表現(xiàn)出更強(qiáng)的模糊信息處理能力。這種新的處理模糊性的工具的提出很快引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注并得到了迅速發(fā)展。Su和Xu等[4]對對偶猶豫模糊集的距離測度和相似度度量進(jìn)行了研究并將其運(yùn)用于模式識別。Pushpinder[5]也對其距離測度和相似度度量進(jìn)行了研究并將其運(yùn)用于多屬性決策中。Ren和Xu等[6]開發(fā)了基于對偶猶豫模糊元的得分函數(shù)、比較方法和距離度量，基于此擴(kuò)展了VIKOR方法以解決多屬性群決策問題。

在多屬性決策過程中，由于決策環(huán)境的復(fù)雜性，因此決策者更喜歡用模糊語言信息來表述對決策對象的評價，諸如“好”、“一般”“差”等。但是單純的語言表述也不能很好的刻畫客觀評價的模糊性，因此，王堅強(qiáng)等[7]提出直覺語言集的定義、運(yùn)算法則、期望值、得分函數(shù)，精確函數(shù)以及直覺語言加權(quán)平均算子和集合平均算子。Yang和Ju[8]在基于語言信息和對偶猶豫模糊集的基礎(chǔ)上于2014年提出了對偶猶豫模糊語言，給出相應(yīng)的運(yùn)算法則，得分函數(shù)以及集結(jié)算子。本文提出了對偶猶豫模糊語言的距離公式和新的得分函數(shù)及方差函數(shù)，并考慮在決策過程中屬性權(quán)重未知的情況下，運(yùn)用熵權(quán)和方差權(quán)的組合權(quán)重法并結(jié)合經(jīng)典的TOPSIS決策法給出一種對偶猶豫模糊語言的多屬性決策排序方法。

1 基礎(chǔ)知識

定義1[9]:設(shè)表示為一個有限離散語言的集合，且對任意的si，sj∈S滿足下列條件：

（1）若i＞j，則si＞sj；

（2）存在負(fù)算子：neg(si)=sj，使得i+j=o；

（3）若si≤sj，則 min(si，sj)=si；

（4）若si≥sj，則 max(si，sj)=si。

定義 2[11]：設(shè)為一個特定的集合，則直覺語言集可以描述為如下的形式：

其中，sθ(xi)∈S(S為語言術(shù)語集)；μ(xi)表示xi隸屬于sθ(xi)的程度，ν(xi)表示xi非隸屬于sθ(xi)的程度，是由區(qū)間上的數(shù)構(gòu)成，且-ν(xi)表示xi屬于sθ(xi)的猶豫程度。為了方便，稱三元組為一個直覺語言數(shù)。例如

定義 3[11]：設(shè)和為任意的兩個直覺語言數(shù)，則I1和I2之間的距離可以表示為以下形式：

最常用的直覺語言的得分函數(shù)是由Liu和Wang[11]提出的但是該得分函數(shù)存在一定的局限性。如：當(dāng)τ=6時，的大小比較過程中，因此I1＜I2。但是這顯然與人類的直覺不同，I1中的不贊同率只比贊成率小0.05，I2中的贊同率只比不贊成率多0.05，而其語言術(shù)語s6是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于s1的，因此，就直覺來說，應(yīng)該是I1＞I2。針對這樣的局限性，本文提出新穎的直覺語言得分函數(shù)。因直覺語言數(shù)與的得分函數(shù)一方面受已知信息即語言術(shù)語值θ及隸屬度μ和非隸屬度ν的影響，這一方面可用該對象到擁有相同語言術(shù)語值θ的負(fù)理想點(diǎn)的海明距離來衡量；另一方面還會受到該對象的缺失信息即猶豫度的影響，這一方面可用該對象的確定程度即μ+ν來表示。最終可得直覺語言數(shù)的得分函數(shù)為：

針對上述例子：當(dāng)τ=6時，與的大小比較問題，按定義3可得?(I1)=0.451，?(I2)=0.158。所以I1＞I2，這是符合人類的主觀直覺的。由此可見，新的得分函數(shù)更能幫助解決直覺語言的大小比較問題。

2 對偶猶豫模糊語言

2.1 對偶猶豫模糊語言數(shù)的基本概念

定義5[8]:設(shè)X={x1，x2，...，xn} 為一個特定的集合，則對偶猶豫模糊語言集可以描述為如下的形式：

其中，sθ(xi)∈S(S為語言術(shù)語集)；h(xi)和g(xi)分別表示xi隸屬于和非隸屬于sθ(xi)的程度，是由[0 ，1] 區(qū)間上的不同的數(shù)構(gòu)成的非空有限集，且滿足：0≤γ，η≤1且0≤γ++η+≤1 ，其中γ∈h(xi)，η∈g(xi)，γ+=max{γ|γ∈h對偶猶豫模糊語言集中的每個元素稱為對偶猶豫模糊語言數(shù)，本文研究主要針對對偶猶豫模糊語言數(shù)展開。同時，為方便計算，稱三元組為一個雙重猶豫模糊語言數(shù)。

定義6[8]:設(shè)為兩個任意的對偶猶豫模糊語言數(shù)，則有：

（1）和運(yùn)算：

（2）積運(yùn)算：

（3）數(shù)乘運(yùn)算：

（4）冪乘運(yùn)算：

（1）0≤D(d1，d2)≤1；

（2）當(dāng)d1=d2時，D(d1，d2)=0 ；

（3）D(d1，d2)=D(d2，d1)。

證明如下：

（1）0≤D(d1，d2)≤1

綜上可得，對任意的d1和d2均有：0≤D(d1，d2)≤1。

（2）當(dāng)d1=d2時，D(d1，d2)=0

d1=d2意味著d1和d2的語言術(shù)語下標(biāo)，各隸屬度值和非隸屬度值均相等即：

因此，對任意的d1和d2均有：當(dāng)d1=d2時，D(d1，d2)=0。

（3）D(d1，d2)=D(d2，d1)

因此，對任意的d1和d2均有：D(d1，d2)=D(d2，d1)。

2.2 對偶猶豫模糊語言數(shù)的比較方法

在決策過程中，語言術(shù)語之間的比較規(guī)則一直是研究重點(diǎn)。而在探討對偶猶豫模糊語言數(shù)的比較規(guī)則時，得分函數(shù)和精確函數(shù)是重要的方式之一。Yang和Ju[8]提出對偶猶豫模糊語言的相關(guān)概念，同時也定義了相應(yīng)的得分函數(shù)和精確函數(shù)：

定義 8[8]：設(shè)為任意的對偶猶豫模糊語言數(shù)，則其得分函數(shù)和精確函數(shù)可以表示為：

然而，通過觀察可知，該得分函數(shù)和精確函數(shù)直接對對偶猶豫模糊語言數(shù)的隸屬度和非隸屬度求取平均值，沒有考慮到隸屬度和非隸屬度的猶豫度和模糊性。因此，這種比較方法是具有一定的局限性的。

Zhu和Xu等[3]于2012年提出對偶猶豫模糊集，同時也提出基于對偶猶豫模糊集的擴(kuò)展規(guī)則,運(yùn)用此規(guī)則，在實(shí)質(zhì)上是將對偶猶豫模糊集拆分成多個離散的直覺模糊數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算的。因此基于此思路，本文提出對偶猶豫模糊語言擴(kuò)展規(guī)則；將對偶猶豫模糊語言數(shù)拆分成多個離散的直覺語言，同時，考慮到對偶猶豫模糊語言數(shù)中的隸屬度和非隸屬度中元素的個數(shù)越多，其猶豫度和模糊性越強(qiáng)，該語言值越差。綜上，本文定義基于直覺語言的對偶猶豫模糊語言數(shù)的得分函數(shù)和方差函數(shù)如下：

（1）當(dāng)R(d1)＞R(d2)時，則稱d1優(yōu)于于d2，記為d1?d2；

（2）當(dāng)R(d1)=R(d2)時:

若V(d1)＜V(d2)，則稱d1優(yōu)于d2，記為d1?d2；

若V(d1)=V(d2)，則稱d1等于d2，記為d1～d2。

針對上述的例1，根據(jù)定義10和定義11可以得出R(d1)≈0.08，R(d2)≈0.0317。因?yàn)镽(d1)＞R(d2)，所以d1?d2，這是符合人類的主觀直覺的。由此可見，新的得分函數(shù)和方差函數(shù)有助于進(jìn)一步解決對偶猶豫模糊語言的大小比較問題。

3 基于對偶猶豫模糊語言TOPSIS法

3.1 對偶猶豫模糊語言的權(quán)重確定方法

第一步：構(gòu)造基于對偶猶豫模糊語言的決策矩陣。決策者對每個備選方案在每個屬性下運(yùn)用對偶猶豫模糊語言進(jìn)行打分，得到?jīng)Q策矩陣

第二步：計算屬性cj(j=1，2，…，n)離差權(quán)重權(quán)。

第三步：計算屬性cj(j=1，2，…，n)輸出的信息熵及該屬性熵權(quán)。信息熵反映了決策矩陣中各屬性的信息量的大小，信息量越大，該屬性越重要。根據(jù)基于對偶猶豫模糊語言的決策矩陣的定義可知，對于每個屬性的信息熵可以劃分為兩個部分，一部分是屬性值的得分期望輸出，另一部分是屬性值的不確定性程度即方差輸出的。因此根據(jù)信息論可知，屬性cj的熵定義為：

第四步：計算屬性cj(j=1，2，…，n)的組合權(quán)重。根據(jù)上述分析求解可以得出離差權(quán)及熵權(quán)，利用加權(quán)平均法求得綜合權(quán)重向量：

其中η表示決策者對熵權(quán)和偏差權(quán)重的偏重程度。

3.2 基于對偶猶豫模糊語言的TOPSIS排序法

其中T1和T2分別表示效益型屬性集和成本型屬性集。

第六步：利用綜合權(quán)重向量計算得每個方案xi在各個屬性下的評價值dij與正理想點(diǎn)之間的正混合加權(quán)偏好距離測度和與負(fù)理想點(diǎn)之間的負(fù)混合加權(quán)偏好距離測度：

第七步：構(gòu)造每個備選方案xi的貼近度。根據(jù)TOPSIS方法的思想，離正理想解的距離越近，離負(fù)理想解的距離越遠(yuǎn)，方案越優(yōu)。因此，可構(gòu)造貼近度計算公式為：

第八步：根據(jù)貼近度Ci的大小對方案進(jìn)行排序。Ci越大，則該方案xi越優(yōu)。

4 算例分析

第一步：構(gòu)造基于對偶猶豫模糊語言的決策矩陣。決策者對每個備選方案在每個屬性下運(yùn)用對偶猶豫模糊語言進(jìn)行打分，得到?jīng)Q策矩陣，根據(jù)上述對各屬性的分析，可以看出，四個屬性均為效益型屬性因此規(guī)范化后的決策矩陣依然為：決策者給出的方案評估結(jié)果如表1所示。

表1 初始對偶猶豫模糊語言決策信息

第二步：根據(jù)公式（8）計算得屬性cj(j=1，2，3，4)離差權(quán)重權(quán)，結(jié)果如下：

第三步：根據(jù)公式（9）和公式（10）計算得屬性cj(j=1，2，3，4)輸出的信息熵及該屬性熵權(quán)，令β=0.8結(jié)果如下：

第四步：根據(jù)公式（11）計算得屬性cj(j=1，2，…，n)的組合權(quán)重。此處取η=0.6：

w={0 .273，0.301，0.199，0.227}

第五步：基于上述對供應(yīng)商基本信息，供應(yīng)商的知識技術(shù)能力，供應(yīng)商的企業(yè)文化和戰(zhàn)略融合性，信息溝通能力的分析可以看出四個屬性均為效益型屬性，因此根據(jù)定義10和定義11可以確定每個屬性下的正理想解和負(fù)理想解分別為：

第六步：根據(jù)公式（13）計算得每個方案xi在各個屬性下的評價值aij與正理想點(diǎn)之間的正混合加權(quán)偏好距離測度和與負(fù)理想點(diǎn)之間的負(fù)混合加權(quán)偏好距離測度(i=1，2，3，4 )：

第七步：根據(jù)公式（14）可得每個備選方案xi的貼近度：

第八步：根據(jù)貼近度Ci的大小對方案進(jìn)行排序。可以得出C3＞C1＞C2＞C4，由此可知，方案的排列順序是x3＞x1＞x2＞x4。

5 結(jié)論

對偶猶豫模糊語言數(shù)不僅考慮到隸屬度的信息的多種可能，還考慮到非隸屬度信息的多種可能，這使得其在對語言偏好的描述上更精確，能避免決策中信息處理和計算過程中的信息丟失問題，在實(shí)際決策評價過程中價值更高，因此對對偶猶豫模糊語言的多屬性決策方法進(jìn)行研究有重要的理論和應(yīng)用價值。語言比較是猶豫模糊語言研究的重要內(nèi)容，也是猶豫模糊語言多屬性決策的核心內(nèi)容之一。本文提出基于對偶猶豫模糊語言的距離公式和擴(kuò)展規(guī)則，并在此基礎(chǔ)上定義新的得分函數(shù)和方差函數(shù)，通過實(shí)例，發(fā)現(xiàn)其在語言比較過程中更加精確。在多屬性決策過程中，結(jié)合TOPSIS的思想，在屬性權(quán)重未知的情況下，運(yùn)用偏差權(quán)和熵權(quán)的組合權(quán)重法給出了多屬性決策問題的排序方法。