李靜宇 周明 李庚銀

關(guān)鍵詞： 圖論; Kuramoto模型; Kron簡化; 聚類同步; 耦合振子; 風(fēng)電

中圖分類號： TN99?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2019）05?0135?06

Clustering synchronization of wind power system based on coupled oscillator model

LI Jingyu， ZHOU Ming， LI Gengyin

（State Key Laboratory of New Energy Power System， North China Electric Power University， Beijing 102206， China）

Abstract： A network coupled clustering synchronization method based on Kuramoto model is proposed to solve the serious system synchronization problem caused by the disturbance of the wind power electric system. The graph theory is used to establish the power network contraction model. On this basis， the electric system equivalent model based on Kuramoto coupled oscillator model is established， and a power network clustering algorithm based on dynamic coupling strength is proposed. This method can quickly and accurately cluster the synchronous state of oscillator in the system after system disturbance. The 39?node New England system with wind farms is verified. The simulation results show that the cluster analysis can understand the synchronization state of the power grid clearly， and avoid the further collapse of the system.

Keywords： graph theory; Kuramoto model; Kron reduction; clustering synchronization; coupled oscillator; wind power

0 ?引 ?言

隨著電力系統(tǒng)的不斷互聯(lián)，電網(wǎng)的規(guī)模變得越來越復(fù)雜，而新能源發(fā)電技術(shù)的發(fā)展，也使得越來越多的間歇性電源接入到了電力系統(tǒng)中。由于以風(fēng)電為代表的間歇性電源具有很強(qiáng)的隨機(jī)性和波動性，且通過電力電子設(shè)備與電網(wǎng)相連，對電網(wǎng)缺少必要的慣性支撐。因此，對含風(fēng)電的電力系統(tǒng)遭受嚴(yán)重暫態(tài)擾動后系統(tǒng)保持同步的能力提出了更高的要求[1]。目前常用的電力系統(tǒng)同步能力評價的方法大致可以分為：采用數(shù)值積分手段直接求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，觀察系統(tǒng)受擾后狀態(tài)變量的變化軌跡的時域仿真法[2]，根據(jù)動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論來構(gòu)造系統(tǒng)的暫態(tài)能量函數(shù)，并由暫態(tài)能量函數(shù)的性質(zhì)判斷受擾系統(tǒng)穩(wěn)定性的直接法[3]。傳統(tǒng)電力系統(tǒng)同步能力評價方法需要先確定系統(tǒng)受到擾動后的臨界能量或不平衡點(diǎn)，當(dāng)對大系統(tǒng)求解時方程維度高，求解難度大，多機(jī)系統(tǒng)適應(yīng)性差。通過對系統(tǒng)進(jìn)行等值雖然可以減小計(jì)算復(fù)雜度，但系統(tǒng)很多重要的節(jié)點(diǎn)信息也隨著系統(tǒng)等值被忽略。近年來隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步理論以及圖論理論的發(fā)展，在最大限度保留網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)和支路信息的情況下，計(jì)及系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)之間的耦合關(guān)系對系統(tǒng)受到擾動后聚類同步過程的影響逐漸成為研究熱點(diǎn)[4]。

1 ?基于圖論的電力系統(tǒng)表征

在圖論中通過定義一個無向圖[G]，包含一個[n]維節(jié)點(diǎn)集[V]和一個[e]維弧集[E]來表征網(wǎng)絡(luò)所包含的信息。如果節(jié)點(diǎn)[vi]和節(jié)點(diǎn)[vj]由一條弧進(jìn)行連接，即[e=（vi，vj）]。那么就稱作節(jié)點(diǎn)[vi]是節(jié)點(diǎn)[vj]的一個鄰居節(jié)點(diǎn)。如果圖[G]中任意兩對節(jié)點(diǎn)可以通過一條弧進(jìn)行連接，那么該圖形就是強(qiáng)連接的。因此，從網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞慕嵌瓤梢越㈦娏ο到y(tǒng)的電力網(wǎng)絡(luò)保持模型或電力網(wǎng)絡(luò)收縮模型。而對于任意一個電力網(wǎng)絡(luò)都可用其鄰接矩陣表示，鄰接矩陣反映節(jié)點(diǎn)與弧之間的連接關(guān)系。在進(jìn)行潮流計(jì)算時可用式（1）表示：

[Ax=y] （1）

式（1）與無向圖存在如下映射關(guān)系。[V]中每一個節(jié)點(diǎn)[vi]與[x，y]中每一個元素[xi，yi]形成雙映射。同時無向圖[G=][（V，E）]存在映射[φ]：[E→R]，使得[ωij=φ（eij）]，則稱[ωij]為弧[eij=（Vi，Vj）∈E]的權(quán)重，并用[G=（V，E，W）]表示加權(quán)圖[5]。與圖形相關(guān)的[N]維無向圖[G]的鄰接矩陣[A=aij∈Rn×n]表示為：

[aij=1， ? ? （vi，vj）∈E0， ? ?其他] （2）

圖的度矩陣是一個[n×n]的對角線矩陣[Δ=diag（degout（Vi））]，對角線元素表示各節(jié)點(diǎn)的出度，而其他元素均為零。圖[G]的定向可以為每條邊賦予一個方向，所以邊[（i，j）]是一條從節(jié)點(diǎn)[i]到節(jié)點(diǎn)[j]的弧線。定向?yàn)閇σ]的圖[G]可以表示為[Gσ]。定向圖[Gσ]的關(guān)聯(lián)矩陣[B（Gσ）]是一個[n×e]矩陣，該矩陣的行和列可以分別通過圖[G]的節(jié)點(diǎn)及與之相連的弧進(jìn)行表示。如果節(jié)點(diǎn)[j]通過弧進(jìn)入節(jié)點(diǎn)[i]，那么[B（Gσ）]的[（i，j）]就等于1;如果弧是從節(jié)點(diǎn)[i]進(jìn)入到節(jié)點(diǎn)[j]，則等于-1;其他情況則為0。

由于電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)和邊是不同質(zhì)的元件，采用有權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)可以更好地表達(dá)電網(wǎng)中不同元件的獨(dú)特信息即[aij=aji=ωij]，分析過程中通常采用導(dǎo)納作為邊權(quán)。因此，通過將網(wǎng)絡(luò)的中節(jié)點(diǎn)分為邊界節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，采用Kron簡化對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)進(jìn)行消除，簡化后的網(wǎng)絡(luò)不僅保留了原來電力網(wǎng)中同步發(fā)電機(jī)終端電壓和電流之間的關(guān)系，同時節(jié)點(diǎn)數(shù)量得到了大幅簡化。網(wǎng)絡(luò)中的電流平衡方程可以寫為：

[I1I2=Q11Q12Q21Q22U1U2] （3）

式中：[I1]為外部節(jié)點(diǎn)的電流向量;[I2]為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的電流向量;[U1]為外部節(jié)點(diǎn)的電壓向量;[U2]為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的電壓向量;[Q11]為外部節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣;[Q22]為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣;[Q12]，[Q21]為內(nèi)外節(jié)點(diǎn)互導(dǎo)納矩陣。通過消去內(nèi)部電壓節(jié)點(diǎn)[U2]可以得出簡化后的電流平衡方程為：

[I1-Q12Q-122I2=（Q11-Q12Q-122Q21）U1] （4）

令矩陣[Q11-Q12Q-122Q21=Qred]為[Q]中內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的爾補(bǔ)碼，因此[Qred]為相對于電力網(wǎng)絡(luò)圖[G]外部節(jié)點(diǎn)[U1]的Kron簡化矩陣。利用圖形理論基本原則，可以將電力系統(tǒng)建模成如圖1所示的電力系統(tǒng)收縮網(wǎng)絡(luò)。

因此將含風(fēng)電的電力系統(tǒng)同步問題作為一個特殊的廣義同步問題，通過Kuramoto模型進(jìn)行分析，就可以通過Kron簡化實(shí)現(xiàn)所有發(fā)電機(jī)之間的完全互連。

2 ?Kuramoto模型

2.1 ?耦合振子模型

一個包含[N]個耦合振子的網(wǎng)絡(luò)，其動力學(xué)方程可以通過Kuramoto模型描述為：

[θi=ωi-j=1nKijsin（θi-θj）] （5）

式中：[θi]表示振子相位;[K]表示耦合強(qiáng)度;[ωi]表示振子固有頻率。耦合強(qiáng)度是表征系統(tǒng)同步的重要參數(shù)，如果系統(tǒng)耦合強(qiáng)度弱，則系統(tǒng)中振子就會以與自身固有頻率不同步的方式運(yùn)行;反之，如果耦合強(qiáng)度超過相位差保持穩(wěn)定的臨界值，則會導(dǎo)致振子之間耦合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)同步。對于包含[N]個振子的系統(tǒng)而言，可以通過定義全局序參量[r]，對系統(tǒng)的同步進(jìn)行解釋。假定[N]個振子是一個圓上的各個點(diǎn)，且這些點(diǎn)會隨不同角速度進(jìn)行移動，那么在完全同步的情況下，所有點(diǎn)都會同步地圍繞著這個圓進(jìn)行移動，如圖2所示。作為同步自然測度的各點(diǎn)中心的有序參數(shù)可以被定義為：

[r（t）e（i?（t））=1Nj=1ne（iθj（t））] （6）

式中：[r（t）∈]（0，1），用于衡量這個網(wǎng)絡(luò)中振子的相位同步程度;[?（t）]為平均相位。[r]值反映了系統(tǒng)內(nèi)處于同步簇中的節(jié)點(diǎn)數(shù)量占整個系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比例，[r]越接近1，表明網(wǎng)絡(luò)中的振子相位同步程度越高，[r=0]表示網(wǎng)絡(luò)中的振子相位不同步[6]。將式（6）左右兩邊同時乘以[e-iθi]后代入到式（5）中，得到通過全局序參數(shù)表示的Kuramoto模型：

[θi=ωi-Krsin（?i-θi）] （7）

由式（7）可知：隨著耦合強(qiáng)度[K]趨于零，各振子會根據(jù)其自由頻率進(jìn)行震蕩，進(jìn)而導(dǎo)致[r]趨于0;反之，當(dāng)耦合強(qiáng)度[K]趨近于無窮大時，振子會逐漸與它們的平均相位同步，即[r]逐漸趨近于1。

2.2 ?基于Kuramoto模型電力系統(tǒng)等值模型

一個多機(jī)電力系統(tǒng)的詳細(xì)動態(tài)模型包括有轉(zhuǎn)子擺動、轉(zhuǎn)子磁鏈、動態(tài)控制等耦合非線性模型。因此，通過建立完整上述模型來表示整個電力系統(tǒng)是非常困難的。對于具備非轉(zhuǎn)移電導(dǎo)的多機(jī)電力系統(tǒng)而建立的Kuramoto模型，各發(fā)電機(jī)可以通過潮流進(jìn)行耦合，將同步問題視為暫態(tài)穩(wěn)定問題的一個特例。因此，可以從發(fā)電機(jī)動力學(xué)方程入手，建立基于Kuramoto模型的電力系統(tǒng)等值模型[7]。

一個由[n]臺發(fā)電機(jī)組構(gòu)成的電力系統(tǒng)中，第[i]臺同步發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程可表示為：

[Hiπfδi+KDiπfδi=PTi-PEi] （8）

式中：[Hi，δi，KDi，PTi，PEi]表示系統(tǒng)中第[i]臺同步發(fā)電機(jī)的慣性時間常數(shù)、轉(zhuǎn)子角度、阻尼系數(shù)、輸入的機(jī)械功率以及輸出的電磁功率的標(biāo)幺值; [f]表示同步頻率。

令[Mi=2Hiω0，Di=KDiω0]，則式（8）變?yōu)椋?/p>

[Miδi=PTi-PEi-Diδi] （9）

在電力網(wǎng)絡(luò)收縮模型中，可以將系統(tǒng)中的同步發(fā)電機(jī)視為電壓源，在發(fā)生短路故障后通過暫態(tài)電抗[x′di]與電網(wǎng)中相應(yīng)的同步發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)相連。設(shè)[E′i]為受到擾動后的電勢，同步發(fā)電機(jī)發(fā)生短路故障后的電勢可寫成如下形式：

[E′i=Vi+jx′diIi=Vi+jx′di（PGi-jQGiVi）] ?（10）

同時，在電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)收縮模型中，為了分析發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的動態(tài)特性，通常將負(fù)荷視為恒定阻抗。對于由[n]個發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)和[m]個負(fù)荷節(jié)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，通過在每個發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)處增加一個發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)，以此來形成增廣網(wǎng)絡(luò)，此時網(wǎng)路中節(jié)點(diǎn)總數(shù)[N=2n+m]?？紤]到在增廣網(wǎng)絡(luò)中負(fù)荷不僅存在于負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，還有可能在所有發(fā)電機(jī)的機(jī)端節(jié)點(diǎn)處[8]。因此，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)收縮模型中的負(fù)荷導(dǎo)納為：

[yLi=（PLi-jQLi）Vi2] （11）

式中：[Pi，Qi]分別為節(jié)點(diǎn)[i]處的有功、無功負(fù)荷;[Vi]為穩(wěn)態(tài)時節(jié)點(diǎn)[i]電壓的模。

令[Y′di=diag（yd）]代表發(fā)電機(jī)暫態(tài)導(dǎo)納矩陣;[Y′GL=diag（yGL）]代表發(fā)電機(jī)機(jī)端節(jié)點(diǎn)所帶負(fù)荷等值之后的導(dǎo)納矩陣;[Y′LL=diag（yLL）]代表負(fù)荷節(jié)點(diǎn)所形成的導(dǎo)納矩陣。因此增廣網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣可表示為：

[Y=Y′d-Y′d0-Y′dYGG+Y′d+Y′GLYGL0YLGYLL+Y′LL] （12）

令[Y11=Y′d]，[Y12=-Y′d0T]，[Y21=-Y′d0T]，[Y22=YGG+Y′d+Y′GLYGLYLGYLL+Y′LL]。

因此得到修改后網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程如下：

[In0=Y11（n×n）Y21（m×n） ? ?Y12（n×m）Y22（m×m）VnVm] （13）

使用Kron簡化的方法消去輸出電流為0的節(jié)點(diǎn)來對導(dǎo)納矩陣進(jìn)行化簡，得到僅由[n]個外部發(fā)電機(jī)內(nèi)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，其內(nèi)部則是全聯(lián)通的。簡化后的導(dǎo)納陣為：

[Yred=Y1-Y12Y-122Y21] （14）

用[Yij，red]表示簡化后導(dǎo)納陣[Yred]中第[i]行、第[j]列的元素，則有：

[Yij，red=Gij，red+jBYij，red=Yij，red∠φij] （15）

式中[φij]表示簡化后網(wǎng)絡(luò)中的導(dǎo)納陣[Yred]中第[i]行，第[j]列的元素所對應(yīng)阻抗的相角。因此，簡化后系統(tǒng)中任意一臺同步發(fā)電機(jī)組輸出的功率可表示為：

[PEi=E′i2Gii，red+E′ij∈I，j≠iE′jYii，redsinδij+φij] （16）

式中：[δij]為簡化后系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)[i]與節(jié)點(diǎn)[j]間短路故障后電位的相角差;[E′i2Gii，red]為簡化后網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)[i]處的負(fù)荷。

在這里假設(shè)簡化后的網(wǎng)絡(luò)是無損的，即[Gii，red=]0，[i≠j]，則式（16）變?yōu)椋?/p>

[PEi=E′i2Gii，red+E′ij∈I，j≠iE′jYij，redsinδi-δj] （17）

將式（17）代入同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程中，因此對于收縮網(wǎng)絡(luò)有：

[Miδi+Diδi=PTi-E′i2Gii，red-E′i?j∈I，j≠iE′jYij，redsinδi-δj] （18）

令[Pi=PTi-E′j2Gii，red]表示簡化后網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)[i]的注入功率，[Pmax=E′iE′jYii，red]表示簡化后的網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)[i，j]間能夠傳輸功率的最大值，因此可以將式（18）寫為：

[Miδi+Diδi=Pi-j∈I，j≠iPmaxijsinδi-δj] （19）

以風(fēng)電為代表的清潔能源在接入電網(wǎng)時，通過電力電子設(shè)備與電網(wǎng)進(jìn)行功率交換，與傳統(tǒng)同步機(jī)相比缺少對系統(tǒng)慣性的支撐[9]，因此當(dāng)考慮接入點(diǎn)為風(fēng)電時的振子模型采用Kuramoto一階模型表示：

[Diδi=Pi-j∈I，j≠iPmaxijsinδi-δj] （20）

式中[δ]為電力電子設(shè)備的相角。

3 ?電網(wǎng)的動態(tài)耦合強(qiáng)度聚類模型及算法

通過2.2節(jié)分析可知，在類Kuramoto電力網(wǎng)絡(luò)模型中，各節(jié)點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度可由兩節(jié)點(diǎn)間傳輸?shù)淖畲蠊β蕘肀硎?。?dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障后，潮流分布發(fā)生轉(zhuǎn)移，節(jié)點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度也隨之改變，網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài)也發(fā)生改變，此時網(wǎng)絡(luò)有可能存在多種同步狀態(tài)。因此這里通過引入動態(tài)耦合強(qiáng)度分析各節(jié)點(diǎn)的不同同步狀態(tài)，更快更合理地將電網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)分群。

令式（7）中[K=αK′i]，其中[K′i]是耦合強(qiáng)度，[α]是耦合權(quán)重，其表達(dá)式為：

[α=ηNj=1Ncos（θi-θj）] （21）

式中[η]稱為可塑性參數(shù)，由式（21）可知，耦合權(quán)重[α]的大小取決于振子相對時序。文獻(xiàn)[10]對耦合振子相互作用強(qiáng)度與振子之間的相互作用的相對時間的動態(tài)特性進(jìn)行了深入研究，此處不再贅述。

圖3表示序參量與振子同步模式之間的關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生擾動時如果沒有足夠大的耦合強(qiáng)度[K]，則系統(tǒng)將出現(xiàn)從圖3a）～3c）逐漸失去同步過程的情況。當(dāng)[K

電網(wǎng)的動態(tài)耦合強(qiáng)度的聚類算法流程和步驟如圖4所示。

1） 設(shè)置系統(tǒng)故障，記錄故障前后各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角曲線。

2） 計(jì)算所有發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角在時間序列上的標(biāo)準(zhǔn)差。

3） 計(jì)算不同聚類的數(shù)量下標(biāo)準(zhǔn)差和步長的最小值和最大值。

4） 根據(jù)步長，按轉(zhuǎn)子角同步狀態(tài)將發(fā)電機(jī)聚類。

4 ?算例分析

IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖5所示，該系統(tǒng)包含10個發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)、19個負(fù)荷節(jié)點(diǎn)以及46條輸電線路，其中3號和6號發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)由相應(yīng)容量的風(fēng)電場替代。

設(shè)置故障場景1參數(shù)為：仿真時間為5 s，在0.4 s時節(jié)點(diǎn)14發(fā)生三相短路故障，經(jīng)過0.02 s故障清除。網(wǎng)絡(luò)全局序參量[R]隨時間變化的曲線如圖6a）所示。

在整個故障發(fā)生前系統(tǒng)全局序參量[R]等于1，系統(tǒng)同步狀態(tài)近似于圖3a）。系統(tǒng)發(fā)生故障后，系統(tǒng)內(nèi)振子同步狀態(tài)發(fā)生了改變，由于故障持續(xù)時間短，因此沒有出現(xiàn)圖3c）中失去同步的情況，并最終恢復(fù)同步，此時序參量[R]接近于1，系統(tǒng)內(nèi)振子同步狀態(tài)如圖6b）所示。圖7為系統(tǒng)內(nèi)各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角隨時間變化曲線，從圖中可知故障清除后系統(tǒng)內(nèi)4，5，7號發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子角發(fā)生了小幅震蕩，但最終恢復(fù)到初始值。

設(shè)置故障場景2參數(shù)為：仿真時間為5 s，在0.4 s時節(jié)點(diǎn)14發(fā)生三相短路故障，風(fēng)電場從系統(tǒng)中切除，0.6 s后故障清除。故障清除后將系統(tǒng)發(fā)電機(jī)按照同步狀態(tài)聚類成三個機(jī)群。其中編號為2，4，5的發(fā)電機(jī)組為機(jī)群1，編號為8，9，10的發(fā)電機(jī)組為機(jī)群2。7號發(fā)電機(jī)為機(jī)群3。網(wǎng)絡(luò)中振子聚類后的各機(jī)群的序參量[R1，R2，R3]隨時間變化的曲線如圖8a）所示。聚類后各機(jī)群本身是同步的，因此[R1，R2]的數(shù)值接近于1，由于機(jī)群3中只有7號發(fā)電機(jī)一臺機(jī)組，因此[R3]的值等于1。系統(tǒng)內(nèi)振子同步狀態(tài)如圖8b）所示。

圖9為系統(tǒng)內(nèi)各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角隨時間變化曲線，從圖中可知故障清除后，系統(tǒng)內(nèi)振子失去同步，其中2，4，5號發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子角波動趨勢相近，8，9，10號發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角波動趨勢相近，7號發(fā)電機(jī)由于距離故障節(jié)點(diǎn)電氣距離較近，其轉(zhuǎn)子角波動變化較大，進(jìn)而驗(yàn)證了聚類算法的正確性。

5 ?結(jié) ?論

本文針對含有風(fēng)電電力系統(tǒng)的同步問題提出基于Kuramoto模型的網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)耦合聚類同步方法，通過對聚類后各機(jī)群序參數(shù)的分析可以更清晰地了解網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)，避免完全崩潰。

參考文獻(xiàn)

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