李江　彭夢(mèng)暉

數(shù)學(xué)模型，是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，采取形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等，都可以稱之為數(shù)學(xué)模型。如，自然數(shù)“1”可以是1個(gè)人、1件玩具的抽象的結(jié)果，是反映這些事物共性的一個(gè)數(shù)學(xué)模型;方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，因此建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)模型思想，從某種意義上來(lái)說可以理解為解題模式。

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。在小學(xué)階段模型化思想更多的是指解題思路和解題模型。 在人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“鋪地磚”的教學(xué)過程中，我們將“模型化思想”滲透到了教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，讓三年級(jí)的孩子在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷“數(shù)學(xué)建?！钡囊话氵^程，充分感受到數(shù)學(xué)建模思想。

一、建模數(shù)據(jù)的選擇與優(yōu)化

1.選擇數(shù)據(jù)，聚焦建模。

人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“鋪地磚”的教學(xué)內(nèi)容是

解決此類問題一般有兩種方法：一是“分別算出客廳面積和地磚面積，用客廳面積除以地磚面積”。二是“看一看沿著客廳的長(zhǎng)可以鋪幾塊地磚，沿著客廳的寬可以鋪幾塊地磚，最后算一算一共用了多少塊地磚”。

題目中的數(shù)據(jù)看似不大，但仔細(xì)分析，考慮到在解決問題的過程中涉及單位換算，就會(huì)出現(xiàn)較大數(shù)據(jù)的乘除法計(jì)算，這可能會(huì)使學(xué)生在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)困難，反而影響了對(duì)這一類解題模型建立的準(zhǔn)確理解。所以我們將例題改編為通過小組合作探究：“一個(gè)長(zhǎng)為12厘米，寬為6厘米的長(zhǎng)方形，需要用多少個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形才能鋪滿？”

材料：一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形

學(xué)具：邊長(zhǎng)為2厘米的小正方形 （每人1個(gè)）

需要多少個(gè)小正方形才能鋪滿長(zhǎng)方形？

把例題的數(shù)據(jù)變小，讓學(xué)生不再為計(jì)算感到困惑，而把關(guān)注點(diǎn)聚焦于“解題模型”的建立上來(lái)，學(xué)習(xí)效果非常理想，也體現(xiàn)了我們一直倡導(dǎo)的“小數(shù)據(jù)建模”的策略。

2.優(yōu)化數(shù)據(jù)，理解模型。

除了將探究活動(dòng)的數(shù)據(jù)變小，我們還對(duì)數(shù)據(jù)的選擇進(jìn)行了精選優(yōu)化，如果將小正方形的邊長(zhǎng)定為l厘米，計(jì)算會(huì)較容易。但學(xué)生算出需要小正方形72個(gè)和長(zhǎng)方形的面積72方厘米兩個(gè)數(shù)值相同，這樣很容易讓學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)為計(jì)算所需小正方形的個(gè)數(shù)就是計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，而不是長(zhǎng)方形面積里包含了多少個(gè)小正方形的面積。進(jìn)而錯(cuò)誤地建立出解決這個(gè)問題的“模型”。數(shù)據(jù)優(yōu)化后，學(xué)生很容易理解了“模型”的含義，學(xué)習(xí)效果良好。

二、建模過程的完整與開放

1.過程完整，驗(yàn)證模型。

片段回放：

1.出示一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形。

（1）試著提出一個(gè)相關(guān)問題。

（2）猜一猜長(zhǎng)方形里可以放幾個(gè)小正方形。

（3）學(xué)生猜測(cè)需要多少個(gè)小正方形才能鋪滿長(zhǎng)方形。

（4）如果需要算一算，你認(rèn)為需要哪些數(shù)據(jù)？

2.教師給出相關(guān)數(shù)據(jù)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12厘米，寬是6厘米，小正方形的邊長(zhǎng)是2厘米。

3.4人小組合作，用4個(gè)小正方形在學(xué)習(xí)合作單上通過擺一擺、畫一畫，然后將擺放過程記錄在學(xué)習(xí)記錄單上。

4.師：剛才同學(xué)們用了兩種方法來(lái)解決這個(gè)問題，那這個(gè)結(jié)果是否正確？我們需要做什么？

生：驗(yàn)證。

師：你們打算怎么來(lái)驗(yàn)證？

生：擺。

師：誰(shuí)愿意來(lái)擺一擺？我們一起數(shù)。

生：1個(gè)，2個(gè)，……，18個(gè)。

師：我們通過擺的方式得出的結(jié)果和我們算的一不一樣？

生：一樣。

師：一個(gè)小正方形的面積是多少？

生：4平方厘米。

師：所以這里有多少個(gè)4平方厘米。

生：18個(gè)。

師：你可以把我們剛才擺的過程用算式表示出來(lái)嗎？18個(gè)4怎么表示？

生：18×4=72。

師：或者可以表示成4×18=72（平方厘米），72平方厘米剛好是我們長(zhǎng)方形的面積。所以說我們前面的計(jì)算是正確的。

師：剛才我們找到了幾種方法來(lái)解決這個(gè)問題？

生：兩種。

師：第一種方法誰(shuí)來(lái)說一說？

生：第一種方法先算出長(zhǎng)方形的面積，再算出正方形的面積，最后周長(zhǎng)方形的面積除以正方形的面積，就是算大長(zhǎng)方形的面積里包含了多少個(gè)小正方形面積。

師：誰(shuí)來(lái)說一說第二種方法？

生：可以先看每行擺了幾塊，再看可以擺幾行，再看有幾個(gè)幾。

師：剛才我們用了猜測(cè)、分析得出我們要的信息，通過實(shí)踐得出結(jié)論，并驗(yàn)證了我們的結(jié)果。 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷了“抽象一猜想一驗(yàn)證一捕述一建?！钡倪^程，這樣的探究活動(dòng)不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)與驗(yàn)證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過程。學(xué)習(xí)過程中學(xué)生有時(shí)獨(dú)立思考，有時(shí)小組合作學(xué)習(xí)，有時(shí)是獨(dú)立探索和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，學(xué)生在知識(shí)的探索中充分經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型的形成過程，感受到數(shù)學(xué)建模過程的完整性。

2.過程開放，自主建模。

動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。我們將數(shù)據(jù)進(jìn)行精選并優(yōu)化后，給足學(xué)生探究學(xué)習(xí)的時(shí)間與空間，讓孩子們充分的動(dòng)手操作、思考，教師只在學(xué)生遇到困難時(shí)做出適宜的引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己發(fā)現(xiàn)用較為準(zhǔn)確地語(yǔ)言進(jìn)行描述，學(xué)生發(fā)現(xiàn)我們不管采用哪一種方法就是要算出“長(zhǎng)方形面積里包含了多少個(gè)小正方形的面積”。

可以看出，學(xué)生通過開放的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)自主的建構(gòu)出了解決此類問題的一般模型，并且可以把這一模型進(jìn)行語(yǔ)言捕述和適當(dāng)符號(hào)化，達(dá)到了我們的教學(xué)預(yù)期。

三、建模結(jié)果的深化與拓展

1.運(yùn)用模型、深化結(jié)果。

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題——通過猜測(cè)探究或?qū)嵺`操作的學(xué)生自主學(xué)習(xí)——找出求解此類問題的基本思路、解決策略或數(shù)量關(guān)系——再用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言表示問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律——從而形成一種解決問題的思考過程模板。

就以“鋪地磚”為例，數(shù)學(xué)教材中提供了兩個(gè)相關(guān)練習(xí)?！白鲆蛔觥保ㄈ鐖D1）中直接給了地磚面積為已知條件，對(duì)于三年級(jí)學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平下，就意味著只能選擇用客廳面積里包含了多少地磚面積的方法來(lái)求解。因此這是一道“擇優(yōu)解題”的訓(xùn)練。而練習(xí)十六中的習(xí)題4（如圖12）條件組成和“做一做”相似，學(xué)生依舊要選擇方法。但因數(shù)據(jù)較大，可以幫助學(xué)生從“小數(shù)據(jù)建?！敝凶叱?，用“大數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證和運(yùn)用”。因此，《鋪地磚》的應(yīng)用練習(xí)設(shè)計(jì)思路是：新創(chuàng)小數(shù)據(jù)探究建模后改例8為“嘗試解題”訓(xùn)練來(lái)運(yùn)用建模結(jié)果，通過再一次對(duì)比兩種方法進(jìn)一步內(nèi)化解題思想;練習(xí)十六中的第4題為“方法選擇”和“大數(shù)據(jù)應(yīng)用”的綜合訓(xùn)練，學(xué)生靈活的運(yùn)用方法解題就達(dá)到了深化建模結(jié)果的目的。

2.拓展模型回歸生活。

學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，建立了初步的數(shù)學(xué)模型，和獲得數(shù)學(xué)環(huán)境下的應(yīng)用機(jī)會(huì)。但生活中的模型映射往往更為復(fù)雜。要讓學(xué)生獲得在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，就需要設(shè)計(jì)生活情境下的模型拓展訓(xùn)練。

實(shí)際生活中利用長(zhǎng)邊和寬邊算出一共需要幾個(gè)幾才能鋪滿——方法二，才是較為有效和精確的方法。但三年級(jí)的課堂，即沒有知識(shí)前鋪也沒有課堂時(shí)間解釋這個(gè)問題。因此以一個(gè)復(fù)雜場(chǎng)景的問題設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)一步深化和拓展建模結(jié)果。同時(shí)也滲透了在生活中解決鋪磚問題時(shí)，考慮地板長(zhǎng)、寬如何鋪滿才是解決需要多少塊磚的關(guān)鍵。（如圖3）

由于三年級(jí)知識(shí)基礎(chǔ)的局限，數(shù)據(jù)雖然不夠嚴(yán)謹(jǐn)。但當(dāng)最后一排出現(xiàn)圖中情況時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用包含除思路得到的結(jié)果不能鋪滿。再觀察后，有的學(xué)生認(rèn)為要再買幾塊磚;有的學(xué)生認(rèn)為把磚等分成3份正好可以鋪滿;有的學(xué)生認(rèn)為切分磚時(shí)容易出現(xiàn)破損，實(shí)踐用的磚多于12塊。無(wú)論學(xué)生思考方向是哪一種，都達(dá)到了練習(xí)設(shè)計(jì)的意圖。一是包含除方法得出的結(jié)果是理想情況下的最少用磚量，實(shí)際生活結(jié)果是大于這個(gè)結(jié)果;二是潛移默化地留下了一個(gè)印象，地板長(zhǎng)、寬數(shù)據(jù)和磚邊長(zhǎng)間倍數(shù)關(guān)系對(duì)磚的塊數(shù)是有影響的。為五年級(jí)的滿鋪問題埋下了思考的種子。

小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成是一個(gè)綜合性的過程。本課在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的妙處，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生更濃厚和持續(xù)的興趣。在今后數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們應(yīng)適當(dāng)滲透包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的一般數(shù)學(xué)思想、方法，讓學(xué)生多經(jīng)歷一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，積累一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。