廣東省增城中學 (511300) 邱昌燕

一、試題回顧

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

全國卷Ⅰ文科20.設拋物線C:y2=2x，點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點．

(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN.

二、試題分析

這兩道題是2018年全國卷Ⅰ理科和文科的解析幾何解答題，第二問都是證明角相等，兩角相等本屬平面幾何范疇，但用初中平面幾何難以求證，必須把角化歸為斜率之和為零采用代數(shù)的方法求證，故兩道題都體現(xiàn)了高中解析幾何的精髓，也即考查了解析法.理科第19題以橢圓為載體，文科第20題以拋物線為載體，然這兩道題的第二問有本質(zhì)的關聯(lián)嗎?

三、本質(zhì)探究

為探究問題的本質(zhì)，用字母代替數(shù)字，且把問題設置成存在性問題進行探究.

把③④代入⑤化簡得mp=a2.此結論對于雙曲線會是怎樣情況呢？

解：對于雙曲線的運算只須把橢圓中的b2改成-b2，仍得出結論：mp=a2.探究到此，對于圓的將要探究的結論則顯而易見了.

探究4 設圓C：x2+y2=a2，過圓C內(nèi)部點P(p,0)的直線l與C交于A,B兩點，問是否在x軸上存在點M(m,0)?使得∠OMA=∠OMB,O為坐標原點.

探究5 設拋物線C:y2=2px，過拋物線C內(nèi)部點T(t,0)的直線l與C交于A,B兩點，問是否在x軸上存在點M(m,0)，使得∠OMA=∠OMB，O為坐標原點.

解：假設存在點M(m,0),使得∠OMA=

把①②代入③得m+t=0,即m=-t.

綜合探究1至探究5可得四個結論：

結論3 過拋物線C:y2=2px內(nèi)部點T(t,0)的直線l與C交于A,B兩點,則存在唯一點M(m,0)(m=-t),使得kMA+kMB=0.

結論4 過拋物線C:y2=2px外一點M(m,0)分別作兩斜率互為相反數(shù)的直線交曲線于A,B,D,E,則等腰梯形ABDE任一對角線必過定點T(t,0)(t=-m).

四、功能評價

任子朝先生在《從能力立意到素養(yǎng)導向》一文中指出：“素養(yǎng)導向不但強調(diào)知識和智力,更強調(diào)知識的遷移和后天的習得.考查目的在于更清晰、準確地考查學生的智力水平、思考深度、思維習慣和科學態(tài)度.素養(yǎng)導向的高考命題重視學科觀念、規(guī)律的考查，將這些學科知識作為素養(yǎng)養(yǎng)成和發(fā)展的基礎和先決條件.素養(yǎng)導向高考命題注重科學思維的考查，科學思維是對客觀的事物本質(zhì)的屬性以及潛在的規(guī)律和相互之間的關系的一種認知方式.素養(yǎng)導向的高考命題更注重科學探究能力的考查.素養(yǎng)導向的高考命題更注重情境化試題的考查，情境活動包括生活實踐活動與學術探究情境活動[1].”而本文選用這兩道高考試題設計的五個探究符合從能力立意向素養(yǎng)導向命題的轉變，對提升學生的數(shù)學素養(yǎng)有一定的功效，具體表現(xiàn)在下面幾個方面：

首先，用字母代替數(shù)字化的探究運算，對運算要求比較高，對提升學生的運算素養(yǎng)很有幫助，只有注意力高度集中，具有強烈運算意識和運算品質(zhì)才盡可能避免運算出錯.其次，上述探究活動本身就是一個學術知識探究情境活動，故有助于培養(yǎng)學生科學的探究素養(yǎng).再次，上述探究活動的設計有助于培養(yǎng)學生深度化思考的習慣和激發(fā)學生興趣，蘇霍姆林斯基說：接近和深挖事物的本質(zhì)及其因果聯(lián)系的實質(zhì).這一過程本身就是興趣的主要源泉.最后，經(jīng)過深度思考探究后這一類型問題有本質(zhì)的認識后也即提升了學生素養(yǎng),對探究試題后的優(yōu)美結論:mt=a2(有心曲線)和m+t=0(拋物線)了解和掌握可幫助學生快速解決同類型的試題，如：

(1)求點G的軌跡C的方程；

(2)過點T(4,0)作斜率不為0的直線l與(1)中的軌跡C交于A,B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，連接BD交x軸于點Q，求△ABQ面積的最大值．

2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預賽試題：如圖，圓C與x軸相切于點T(2,0)與y軸的正半軸相交于A,B兩點(A在B的上方).且|AB|=3.

(1)求圓C的方程；

學生會解答問題是能力問題，學生能看清問題的本質(zhì)從而能快速解答就是素養(yǎng)問題，顯然素養(yǎng)考查比能力考查要求更高，更強調(diào)平時深度的思考及后天的習得.