江蘇省南京市第二十九中學(xué) (210036) 王知博 郭建華(指導(dǎo)教師)

數(shù)列中的不定方程是指數(shù)列中含有未知整數(shù)的等式，它的求解是數(shù)列中的一個難點.很多同學(xué)對處理數(shù)列中的不定方程問題束手無策，甚至畏懼，所以很有必要對數(shù)列中的不等方程求解進行整理和歸類.本文通過具體的題目介紹不定方程的處理技巧和方法.

一、因式分解型

將所得到的方程一邊化為常數(shù)，另一邊化為含有未知數(shù)的代數(shù)式，并將兩邊分別做質(zhì)因數(shù)分解和因式分解，通過討論借助對應(yīng)項相等，將方程分解成若干個方程組，以此增加方程組的個數(shù)，降低方程中未知數(shù)的次數(shù)等目的，進而求出其解.

二、范圍制約型

將所得到的方程進行整理，用一個變量表示另外一個變量，借助某一變量的范圍，構(gòu)造不等式求解即可.

三、奇偶分析型

奇偶分析法是指通過對方程的兩邊是否同時取得奇數(shù)或偶數(shù)來確定方程的解的方法.一般處理數(shù)列中的方程解的存在性問題，對方程的整合變形是關(guān)鍵.

例3 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an}的前n項和為Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*．(1)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并寫出通項公式；(2)若an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列，求正整數(shù)x,y的值．

四、矛盾對立型

這種方法常用于處理數(shù)列中的存在性問題，通過對方程整合變形推出矛盾，進而說明該方程無解達到求解的目的.

例4 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-(-1)n，n∈N*．在數(shù)列{an}中是否存在某4項成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的項；若不存在，說明理由．

解析:由于an+1-an=2n+1-(-1)n+1-2n+(-1)n=2n+2(-1)n≥0，不妨設(shè)aq,ar,as,at成等差數(shù)列，其中1≤q

五、探尋約數(shù)型

探尋約數(shù)型其實就是在正整數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程，將求解方程化為一邊整式另一邊變成分式，則分式的分子一定要滿足能被分母整除，這是處理整除問題的常用方法.

求解數(shù)列中不定方程的方法有很多，在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)對數(shù)列中的不定方程的題型進行歸類，靈活選擇所對應(yīng)的解題方法進行求解.